逆矩阵的几种常见求法潘风岭摘 要 本文给出了在矩阵可逆的条件下求逆矩阵的几种常见方法，并对每种方法做了具体的分析和评价,最后对几种方法进行了综合分析和比较.关键词 初等矩阵； 可逆矩阵 ； 矩阵的秩； 伴随矩阵； 初等变换．1． 相关知识1.1 定义1 设A 是数域P 上的一个n 级方阵，如果存在P 上的一个n 级方阵B ，使得AB=BA=E,则称A 是可逆的，又称A 是B 的逆矩阵．当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 唯一确定，记为1-A ．定义2 设()ij n n A a ⨯=,由元素ij a 的代数余子式ij A 构成的矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为A 的伴随矩阵，记为A *.伴随矩阵有以下重要性质AA *= A *A=A E.注:注意伴随矩阵中的元素ij A 的排列顺序. 1．2 哈密尔顿-凯莱定理设A 是数域P 上的一个n n ⨯矩阵，f A λλ=E-（）是A 的特征多项式，则11122()10n n nnn f A A a a a A A E -=-+++++-=（）（）(证明参见[1]）． 1.3 矩阵A 可逆的充要条件1.3.1 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 0≠（也即()rank A n =）;1.3.2 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可写成一些初等矩阵的乘积（证明参见[1]）；1.3.3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别只通过初等行或列变换）化为n 级单位阵（证明参见[1]）；1.3.4 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是存在一个n 级方阵B ，使得AB=E （或BA=E ）；1.3.5 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值全不为0；（证明参见[2]）； 1.3.6 定理 对一个s n ⨯矩阵A 作一初等行变换就相当于在A 的左边乘上相应的s s ⨯初等矩阵；对A 作一初等列变换就相当于在A 的右边乘上相应的n n ⨯初等矩阵.（证明参见[1]）2．矩阵的求逆2.1 利用定义求逆矩阵对于n 级方阵A ，若存在n 级方阵B ，使AB=BA=E ，则1B A -=.事实上只需证AB E =或BA E =即可，若AB E =，则ABA A BA E =⇒=，同样可由BA E =得到AB E =.例1 设n 级矩阵A 满足方程220A A E --=，证明2A E +可逆.并求它的逆矩阵()12A E -+.证明 由220A A E --=，得()()3240A E A E E -++=， 即()()1324A E A E E ⎡⎤--+=⎢⎥⎣⎦或()()1234A E A E E ⎡⎤+--=⎢⎥⎣⎦由定义可知，2A E +可逆，且()()11234A E A E -+=--. 例2 设A ，B 是n 级方阵，若A+B 与A-B 可逆，试证明A B B A ⎛⎫⎪⎝⎭可逆，并求其逆矩阵．证明 令A B D B A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由假设知0,0A B A B +≠-≠，那么00A B A B B A BBD A B A B B A B A A A B++====+-≠+-， 即D 可逆. 再令12134D D D D D -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 由1DD E -=，即123400D D A B ED D B AE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 可得()1313242410(2)0(3)(4)AD BD E BD AD AD BD BD AD E +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩由（1）+（2）和（1）-（2） 可解得()113113(5)()(6)D D A B D D A B --+=+-=-由（5），（6）解得()()()()11111311,22D A B A B D A B A B ----⎡⎤⎡⎤=++-=+--⎣⎦⎣⎦ 类似由（3），（4）可解得2341,.D D D D ==()()()()()()()()1111111112A B A B A B A B A B B A A B A B A B A B --------⎡⎤++-+--⎛⎫⎢⎥∴= ⎪⎢⎥+--++-⎝⎭⎣⎦. 2.2 利用伴随矩阵*A 求逆矩阵例3 已知112,.10A A -⎛⎫= ⎪⎝⎭求解 因为*02211A A -⎛⎫==- ⎪-⎝⎭，， 所以*011122A A ⎛⎫ ⎪==⎪-⎝⎭-1A2．3 利用初等变换求逆矩阵1A E E A -−−−−→初等行变换（，）（，），（其中E 为单位阵） 有一系列初等矩阵12,,,m P P P ，使得21,mP P PA E = 12121mm A P P P P P PE -∴==把A ，E 这两个n n ⨯矩阵凑在一起，作成一个2n n ⨯矩阵（A ，E ），按矩阵分块的乘法1212121(,)(,)(,)m m mP P P A E P P PA P P PE E A -==. 所以我们在求1A -时，可将A 与E 写成一个n 行2n 列的矩阵只进行初等行变换，当A 化为E 时，E 化为1A -.读者可类似的得出1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换． 例4 设A D C ，，分别是,,m m n n n m ⨯⨯⨯A D 矩阵，，均可逆，则111100A A C D D CA D ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭-1=． 证明1111111000000.00m mmn nnA E E A E A C D E D CE D E D CA D -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫→→ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1111100.A A C D D CAD -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭2．4 利用等价标准形求逆矩阵命题 设A 是n 级可逆矩阵，A 的秩等于n ，则存在可逆矩阵B C 与，使11CAB E A C B --==，，故1A BC -=．证明 首先构造矩阵220n nA E D E ⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，然后对D 进行有限次初等行变换或列变换后，D 可化为00A E E C D E B ⎛⎫⎛⎫=−−−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等行或列变换，则存在初等矩阵1212m t P P P Q Q Q ，，，，，， 使得21122112mt m t P P PAQQ Q E P P P C QQ Q B ===，，，则11CAB E A C B --==，，.所以1A BC -=.例5 求可逆矩阵131251001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.解 构造矩阵得131100100100251010010211001001001001100000131000010000010000001000001000⎛⎫⎛⎫⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→ ⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1131100532010211211.001001001A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪∴=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2．5 利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵设f E A λλ-（）=是A 的特征多项式，若A 可逆，则0A ≠,由11122()()(1)0n n n nn f A A a a a A A E -=-+++++-=可得1112210n nnn A A a a a E A-⎡⎤-+++++-=⎣⎦n-2（）A （）， 进而可求1A -．例6 设()f x 是x 的复系数多项式，n 级复矩阵A 的特征根都不是()f x 的零点，试证 ()f A 为满秩矩阵，且()f A 的逆矩阵可表示为A 的多项式．证明 设A 的n 个特征根为1,,n λλ，所以()f A 的n 个特征根为1(),,()n f f λλ，由假设可知12()()()()0,n f A f f f λλλ=≠()f A ∴可逆.112110()(())(())(())n n n n E f A f f f b b b λλλλλλλλλλ---=---=++++其中0(1)()0n b f A =-≠，由哈密尔顿—凯莱定理[][]1110()()()0,n n n f A b f A b f A b E --++++=[][]12110001()()()n n n b b f A f A f A E E b b b ---⎧⎫∴----=⎨⎬⎩⎭[][][]11211001()()()n n n b b f A f A f A E b b b ----∴=---- 令1211001()[()][()]n n n b b g x f x f x b b b ---=----即()f A 的逆矩阵可表为A 的多项式()g x .例7 设224232111A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭，求1A -.证明 A 的特征多项式为32()4710f E A λλλλλ=-=-+-，由哈密尔顿—凯莱定理知32()47100f A A A A E =-+-=因此可得()125216114702410105010A A A E ---⎛⎫⎪=-+= ⎪ ⎪⎝⎭.3．总结第一种方法属于一种验证的方法，适用于抽象矩阵A （n 级）的求逆，首先证明存在一个n 级矩阵B 使得AB=E 或BA=E ，则A 可逆，且1A B -=，如例1，对于分块矩阵也可用此方法求逆，不过此时需首先把逆矩阵设出，然后通过解方程组得出B ，如例2.但对于有限级数字矩阵一般不用此方法因为此方法需要首先找到B ，再验证AB=E 或BA=E 是否成立，或首先用待定系数法把1A B -=设出通过解方程组求出B 的所有元素，这样很烦琐且易出错，一般不采用此方法.但对于一些特殊矩阵此方法还是适用的，如求100020003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵，可令110010021003B -⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，有AB=E ，则1A B -=．第二种方法只对低级矩阵（特别是2级矩阵）利用伴随矩阵进行计算.对高级矩阵用此方法求逆矩阵，不仅计算量大而且易出错，一般不用此方法，而对于抽象矩阵的求逆一般也不用此方法，因为一般情况下伴随矩阵根本无法求出．第三种方法简单易懂且容易计算，是一种常用方法，但要注意计算时只能进行初等行变换或初等列变换，不能二者同时进行.此方法多用于三级及三级以上的矩阵求逆，对于三级以下的矩阵虽可用此方法，但有时候用伴随矩阵的方法可能会更简单.对于分块矩阵求逆同样可用此方法，不过此时进行的是广义初等变换，如例4.当然也可以先设出逆矩阵E F B G H ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用AB E =解方程组得出B ，显然这样有些麻烦，但这种方法也不能解决所有问题，像例1此方法就不适用了．第四种求逆方法在一般教材中很少提到，同时采用初等行和列变换，把已知可逆矩阵置于含单位矩阵的分块矩阵中，以此求逆矩阵，前面提到的第三种方法只是利用初等行变换或列变换，此方法是第三种方法的推广和延伸.用此方法求逆未必比第三种方法简单，但至少有理论上的意义.第三种方法和第四种方法都是从等价标准形的角度求逆矩阵的.第五种方法对于不超过4级的数字可逆矩阵可用此方法求解，若级数较大则不易计算A 的方幂及前面的系数，故级数较大的一般不用此方法，分块矩阵的求逆一般不用此方法.如证明某一矩阵的逆矩阵可表示另一矩阵的多项式时，一般用此方法，如例6．以上讨论了矩阵求逆的几种常用方法，具体用哪种方法视具体情况而定，对于低级数字矩阵和分块矩阵的求逆，我们首先想到的是利用初等行变换或列变换的方法，即第三种方法，第三种方法是求逆矩阵的最常用的方法.但对于2级数字矩阵用第二种方法较为简单.第一种方法中体现着一种验证的思想，它首先需要找到B ，然后验证AB=E ，才能得出1A B -=，此方法对于数字矩阵的求逆不太方便，但对于某些抽象矩阵的求逆是很方便的.第五种方法利用哈密尔顿—凯莱定理，对于某些特殊矩阵或低级数字矩阵还是可以的，但对于高级矩阵或抽象矩阵的求逆就显得麻烦或根本无法求出，此方法在抽象矩阵的证明中有着广泛的应用.一般情况下我们不采用第四种方法求逆矩阵，其既涉及到了初等行变换又涉及到了初等列变换，最后还要计算两个矩阵的乘积，有些麻烦且易出错．参考文献[1] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编（第二版），高等代数，高等教育出版社，1998．[2] 扬子胥编，高等代数习题解，山东技术出版社，2001．[3] 钱吉林编，高等代数题解精粹，中国民族大学出版社，2002．[4] 徐仲，陆全，张凯院编，高等代数导教导学导考，西北工业大学出版社，2004．[5] 王萼芳编，高等代数教程，清华大学出版社，2002.。