Chapter 4(1) 正交矩阵与正交变换
教学要求：
1. 了解正交变换与正交矩阵的概念以及它们的 性质.
一. 正交矩阵的定义与性质 二. 正交变换
一. 正交矩阵的定义与性质 1. 定义 若n阶方阵 A满足 AA E,则称 A为正交矩阵. 2. 性质 (1) A 1; ( AA E, AA 1, A 2 1.) (2) A, B为正交矩阵,则AB也是正交矩阵;
an1
a12 a22
an2
a1n
a2n
(1,2 ,
,n)
ann
a11
则
A
a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
1 2
n
1
AA E 2 1,2, ,n E
n
(11,11 )1(2 1,2 ) 1n (1,n )
(22,11 )2(2 2,2
ex3. 求以1 (1,1,1,1),2 (1,1,1,1)
为前两列的正交矩阵.
Method1.取3 (1,0,0,0),4 (0,0,0,1)
显然1,2,3 ,4线性无关.
正交化, 取1 1 (1,1,1,1),
则2
2
(2 , 1 ) (1, 1)
1
(1,1,1,1),
3
3
(3 , (1,
1 ) 1 )
1
(3 , (2,
2) 2)
2
(1 2
,
1 ,0,0), 2
4
(04,0,((1241,,,12)11.))
1
(4 , 2 ) (2, 2 )
2
(4 , 3 ) (3, 3 )
3
单位化,
p1
(1 2
,
1 2
,
1, 2
1 ), 2
p2
(1, 2
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
p3 (
2 , 2
(
2, 2
2 ,0,0), 2
p4
(0,0,
2 , 2
2 ). 2
1 12
1
2 1
2 2 2
0
0
P 2 2 2
.
1 2
1 2
0
2 2
1 2
1 2
0
2 2
二. 正交变换 定义. 若P为正交矩阵, 则线性变换y=Px称为正交变换. 定理. 正交变换不改变向量的长度, 也不改变两向量间
的内积及夹角. Proof. 设y Px为正交变换, 则 PP E,
2 ,0,0), 2
p4 (0,0,
2, 2
2 ). 2
1 1 2
12
2 1
2 2
0
0
P 2 2
2
.
1 2
1 2
0
2 2
1 2
1 2
0
2 2
Method2.
设 ( x1, x2, x3, x4 )与1,2正交,则
x1 x2 x3 x4 0
x1
x2
x3
x4
0
A 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1
)
2 n
(2E,
n
)
E
(nn,11) n(2 n,2 ) nn (n,n )
(iபைடு நூலகம்
,
j
)
1, 0,
i j i j
i, j 1,2, , n.
ex1. 下列矩阵是不是正交矩阵：
1
2 1
(1)
6 1
2
2
3
11
22 11
62
1 0 2
2 2
3
2
是
Solution.
1
2 5
6 0
,
2
( ( AB)( AB) B( AA)B BB E.) (3) A是正交矩阵 A1 A; ( AA E.) (4) A是正交矩阵 A也是正交矩阵;
( ( A)A AA AA1 E.)
(5) 方阵A是正交矩阵 A的列( 行)向量组是正交的单位向量组.
Proof.
a11
设
A
a21
6
3 0 4 (2) 1 1 2.
2 0 1 不是
ex2. 若A为正交矩阵,则A*也是正交矩阵. Proof. A为正交矩阵, A1 A, A 1.
又 A* A A1 A A,
( A* )A* A A1 A A1
A A A A1
A A A A1 A 2 AA1
E.
y yy (Px)Px
xPPx xx x . The end
x1 x2
x2 x2
x3
x4
x4 x4
x1 1 0
x2 x3
x2
1 0
x4
0 1
x4 0 1
取3 (1,1,0,0),4 (0,0,1,1).
单位化,
p1
(1 2
,
1 2
,
1, 2
1 ), 2
p2
(1, 2
1 2
,
1 2
,
1 ), 2
p3