于是
U y1U1 y2U2 L ynUn
(U, U) x1 y1 x2 y2 L xn yn (, )
即 U 是酉变换.
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定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1) U是一个酉变换;
酉变换与正交变换(续)
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上节回顾：酉变换
• 数域F上内积空间V上的保长变换
f (v) v v V
• 数域F上内积空间V上的保内积变换 ( f (), f ( )) (, )
• 数域F上内积空间V上保长变换与保内积变换等价性
证明 设 O , O , .

(O
T
)

TOT

T.
则有 T TOTO TO T. i.e., (1 ) T 0.
但， (1 ) 0. （思考?） 故 T 0.
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2) U(v) v v V;
3) (U (),U ( )) (, ) , V; 4) U把标准正交基变为标准正交基;
5) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
推论 下列命题等价：
1) U 为酉阵；
2）
U
T
U

E
or
T
UU

E
；
3）U T U 1 ；
2 )
4）U 为标正基到标正基的过渡矩阵.
显然、
A A
A 1
A



1


=1 从而 1.
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正交变换
• 性质3 正交矩阵的对应于不同特征的特征向量正交.
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作业 • Page294 9.4.2, 9.4.3
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第五节 实对称矩阵相似对角化
一. 实对称矩阵的特征值和特征向量 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵
–a11
|E–A| =
–a21 …
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–an1
–a12 … –a1n
–a22 … –a2n
…… …
–an2 … –ann
5) U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
证明(续) 5) 1):
设 U 在标准正交基1，2，，n 下的矩阵 A 是
酉矩阵.因 n (Uei , Uej ) ( akiei , k 1
n
n
akje j ) = akj akj
k 1
k 1
1i j


0
i

. j
2 )
4) O把标准正交基变为标准正交基; 5) O在标准正交基下的矩阵是正交矩阵.
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正交变换
推论 下列命题等价： 1) O 为正交阵； 2） OTO E or OOT E ； 3） OT O1 ； 4） O 为标正基到标正基的过渡矩阵.
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正交变换
• 正交变换定义 实数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换
定理 O是n维欧氏空间V上的线性变换,则下列等价 1) O是一个正交变换;
2) O(v) v vV;
3) (O(),O( )) (, ) , V;
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故U1,…,Un 也是标准正交基.
设 = , = , x11 x22 xnn y11 y22 ynn 则
U x1U1 x2U2 L xnUn
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上节回顾：酉变换
• 酉变换定义
复数域上内积空间V到V自身上的保长线性变换 • 酉变换判定定理
定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 ⑴ U是一个酉变换;
⑵ U(v) v v V; ⑶ (U (),U ( )) (, ) , V;
性质1 正交矩阵的行列式只可能为1或-1 .
正交变换进行分类:如果正交变换A在某一组基下 的矩阵的行列式为1,则称A为第一类正交变换;如果行 列式为-1,则称A为第二类正交变换.
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正交变换
• 性质2 正交矩阵的特征值的绝对值等于1.
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特征值、特征向量
特征值
特征矩阵 A =
特征向量
E–A (E–A) = 0
特征多项式
|E–A| = 0
(characteristic polynomial)
特征方程
(characteristic equation)
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上节回顾：酉变换
• 数域F上内积空间保长同构
线性空间同构 保长或保内积
• 数域F上有限n维内积空间保长同构性质及判定方法
• V≌ Fn
• 两有限维内积空间保长同构的充要条件 维数相同。
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⑷ U把标准正交基变为标准正交基; ⑸ U在标准正交基下的矩阵是酉矩阵.
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定理 U是n维酉空间V上的线性变换,则下列等价 1) U是一个酉变换;
2) U(v) v v V;
3) (U (),U ( )) (, ) , V; 4) U把标准正交基变为标准正交基;