一、中考数学压轴题1．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接 BD，点E在⊙O上，连接 BE交 AD于点F，∠BDC+45°=∠BFD，连接ED．（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB；（2）如图2，点G是 AB上一点，过点G作 AB的垂线分别交BE和 BD于点H和点K，若HK=BG+AF，求证：AB=KG；（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接 CN分别交BD和 AD于10点 M 和点 P，连接 OP，∠APO=∠CPO，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB的长．2．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出DP满足的条件：．3．综合与实践A纸是我们学习工作最常用的纸张之一，2，我们定义：长宽之比是42的矩形纸片称为“标准纸”．操作判断：()1如图1所示，矩形纸片2=是一张“标准纸”，将纸片折叠一次，使点ABCD AD AB()AB=求CF的B与D重合，再展开，折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F，若1,长，()2如图2，在()1的基础上，连接,BD 折痕EF 交BD 于点O ，连接,BE 判断四边形BFDE 的形状，并说明理由．探究发现：()3如图3所示，在(1)和(2)的基础上，展开纸片后，将纸片再折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，痕MN 交AD 边于点M ，BC 交边于点,N 交BD 也是点O .然后将四边形ENFM 剪下，探究纸片ENFM 是否为“标准纸”，说明理由．4．如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的一半，则称这样的方程为“半等分根方程”．（1）①方程2280x x --= 半等分根方程（填“是”或“不是”）；②若(1)()0x mx n -+=是半等分根方程，则代数式2252m mn n ++= ； （2）若点(,)p q 在反比例函数8x y =的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程吗？并说明理由； （3）如果方程20ax bx c ++=是半等分根方程，且相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，试说明方程20ax bx c ++=的一个根为53． 5．如图，在平面直角坐标中，点O 为坐标原点，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()A O m ,，(),B m O -，(),C n O ，5AC =且OBA OAB ∠=∠，其中m ，n 满足725m n m n +=⎧⎨-=⎩．（1）求点A ，C 的坐标；（2）点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿y 轴负方向运动，设点P 的运动时间为t 秒.连接BP 、CP ，用含有t 的式子表示BPC ∆的面积为S （直接写出t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t 的值，使得ΔΔ32PAB POC S S =，若存在，请求出t 的值，并直接写出BP 中点Q 的坐标；若不存，请说明理由．6．如图，直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣32x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当32MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．7．如图，直角三角形ABC ∆中，90460ACB AC A ∠︒=∠︒＝，，＝，O 为BC 中点，将ABC ∆绕O 点旋转180︒得到DCB ∆．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0<t<10)直线PM 与QN 截四边形ABDC 所得图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在BC 3CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ∆为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请说明理由． 8．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围．9．对于平面内的点M 和点N ，给出如下定义：点P 为平面内的一点，若点P 使得PMN 是以M ∠为顶角且M ∠小于90°的等腰三角形，则称点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点P ．如图，点P 是点M 关于点N 的锐角等腰点．在平面直角坐标系xOy 中，点O 是坐标原点．（1）已知点(2,0)A ，在点123(0,2),(1,3),(1,3)P P P -，4(2,2)P -中，是点O 关于点A 的锐角等腰点的是___________．（2）已知点(3,0)A ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，求实数b 的取值范围．（3）点D 是x 轴上的动点，(,0),(2,0)D t E t -，点(,)F m n 是以D 为圆心，2为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．直线24y x =-+与x 轴和y 轴分别交于点H K ，，若线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，请直接写出t 的取值范围．10．已知：如图，四边形ABCD ，AB DC ，CB AB ⊥，16AB cm =，6BC cm =，8CD cm =，动点Q 从点D 开始沿DA 边匀速运动，运动速度为1/cm s ，动点P 从点A 开始沿AB 边匀速运动，运动速度为2/cm s ．点P 和点Q 同时出发，O 为四边形ABCD 的对角线的交点，连接 PO 并延长交CD 于M ，连接QM ．设运动的时间为()t s ，08t <<．（1）当t 为何值时，PQ BD ？（2）设五边形QPBCM 的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使PQM 的面积等于五边形面积的1115？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使点Q 在MP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．11．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线(2)()y a x x m =++与x 轴交于点A C 、（点A 在点C 的左侧），与y 轴正半轴交于点B ，24OC OB ==．（1）如图1，求a m 、的值；（2）如图2，抛物线的顶点坐标是M ，点D 是第一象限抛物线上的一点，连接AD 交抛物线的对称轴于点N ，设点D 的横坐标是t ，线段MN 的长为d ，求d 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当154d =时，过点D 作DE x 轴交抛物线于点E ，点P 是x 轴下方抛物线上的一个动点，连接PE 交x 轴于点F ，直线211y x b =+经过点D 交EF 于点G ，连接CG ，过点E 作EH CG 交DG 于点H ，若3CFG EGH S S =△△，求点P 的坐标．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长； ②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．13．（1）如图1，A 是⊙O 上一动点，P 是⊙O 外一点，在图中作出PA 最小时的点A ． （2）如图2，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，以点C 为圆心的⊙C 的半径是3.6，Q 是⊙C 上一动点，在线段AB 上确定点P 的位置，使PQ 的长最小，并求出其最小值． （3）如图3，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝9，以D 为圆心，3为半径作⊙D ，E 为⊙D 上一动点，连接AE ，以AE 为直角边作Rt △AEF ，∠EAF ＝90°，tan ∠AEF ＝13，试探究四边形ADCF 的面积是否有最大或最小值，如果有，请求出最大或最小值，否则，请说明理由．14．在ABC ∆中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ∆为n 倍角三角形．例如，在ABC ∆中，80A ∠=︒，75B ∠=︒，25C ∠=︒，可知3∠=∠B C ，所以ABC ∆为3倍角三角形．（1）在ABC ∆中，55A ∠=︒，25B ∠=︒，则ABC ∆为________倍角三角形；（2）若DEF ∆是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的13，求DEF ∆的最小内角． （3）若MNP ∆是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠<︒，请直接写出MNP ∆的最小内角的取值范围．15．将一个直角三角形纸片ABO ，放置在平面直角坐标系中，点0(3)A ，，点()0, 3B ，点(0,0)O(I)过边OB 上的动点D (点D 不与点B ，O 重合)作DE OB ⊥交AB 于点E ，沿着DE 折叠该纸片，点B 落在射线BO 上的点F 处．①如图，当D 为OB 中点时，求E 点的坐标；②连接AF ，当AEF ∆为直角三角形时，求E 点坐标：(Ⅱ) P 是AB 边上的动点(点 P 不与点B 重合)，将AOP ∆沿OP 所在的直线折叠，得到'A OP ∆，连接'BA ，当'BA 取得最小值时，求P 点坐标(直接写出结果即可)．16．如图，平面直角坐标系中，抛物线228y ax ax a =--与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 右侧），与y 轴交于点A ，连接AB ，5AB =（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在第二象限的抛物线上，连接PB 交y 轴于D ，取PB 的中点E ，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，连接DH ，设点P 的横坐标为t .ODH 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，作PF y ⊥轴于F ，连接CP 、CD ，CP CD =，点S 为PF 上一点，连接BS 交y 轴于点T ，连接BF 并延长交抛物线于点R .SBC FBO 45∠+∠=︒，在射线CS 上取点Q.连接QF ，QF RF =，求直线TQ 的解析式．17．已知抛物线2y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=︒，求点Q 的坐标．18．定义：将函数l 的图象绕点P （m ，0）旋转180°，得到新的函数l '的图象，我们称函数l '是函数关于点P 的相关函数．例如：当m ＝1时，函数y ＝（x +1）2+5关于点P （1，0）的相关函数为y ＝﹣（x ﹣3）2﹣5．（1）当m ＝0时①一次函数y ＝x ﹣1关于点P 的相关函数为 ；②点（12，﹣98）在二次函数y ＝﹣ax 2﹣ax +1（a ≠0）关于点P 的相关函数的图象上，求a 的值．（2）函数y ＝（x ﹣1）2+2关于点P 的相关函数y ＝﹣（x +3）2﹣2，则m ＝ ； （3）当m ﹣1≤x ≤m +2时，函数y ＝x 2﹣mx ﹣12m 2关于点P （m ，0）的相关函数的最大值为6，求m 的值．19．已知菱形ABCD 中，∠ABC=60°，AB=4，点M 在BC 边上，过点M 作PM ∥AB 交对角线BD 于点P ，连接PC ．（1）如图1，当BM=1时，求PC 的长；（2）如图2，设AM 与BD 交于点E ，当∠PCM=45°时，求证：BE DE 33+； （3）如图3，取PC 的中点Q ，连接MQ ，AQ ．①请探究AQ 和MQ 之间的数量关系，并写出探究过程；②△AMQ 的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 21．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值；（2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？22．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．23．如图1，在ABC 中，BD 平分ABC ∠，CD 平分ACB ∠．(1)若80A ∠=︒，则BDC ∠的度数为______；(2)若A α∠=，直线MN 经过点D ．①如图2，若//MN AB ，求NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)； ②如图3，若MN 绕点D 旋转，分别交线段,BC AC 于点,M N ，试问在旋转过程中NDC MDB ∠-∠的度数是否会发生改变?若不变，求出NDC MDB ∠-∠的度数(用含α的代数式表示)，若改变，请说明理由：③如图4，继续旋转直线MN ，与线段AC 交于点N ，与CB 的延长线交于点M ，请直接写出NDC ∠与MDB ∠的关系(用含α的代数式表示)．24．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为x 轴上的动点，点B 为x 轴上方的动点，连接OA ，OB ，AB ．（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，请直接写出P ∠的度数；（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=︒，求OAB OCB∠∠；（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ∆内一点，点M ，N 分别是线段OA ，OB 上一点，满足：1902APB AOB ∠=︒+∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=︒．以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；④AM BN AB +=．正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过程）．25．在平面直角坐标系中，直线4(0)3y x b b =-+>交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，10AB =．（1）如图1，求b 的值；（2）如图2，经过点B 的直线(4)(40)y n x b n =++-<<与直线y nx =交于点C ，与x 轴交于点R ，//CD OA ，交AB 于点D ，设线段CD 长为d ，求d 与n 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点F 在第四象限，CF 交OA 于点E ，45AEF ∠=︒,点P 在第一象限，PH OA ⊥，点N 在x 轴上，点M 在PH 上，MN 交PE 于点G ，PH EN =，过点E 作EQ CF ⊥，交PH 于点Q ， 3==EQ EF ，∠=∠OBR HNM ，BC CR =，点G 的坐标为1927,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接FN ，求EFN 的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题1．G解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）GB =． 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可知∠BDC=∠DBA ，∠A=90°，再结合已知条件∠BDC+45°=∠BFD ，通过角的等量代换可得出∠EBD=45°，又因为∠BED=90°，即可得出结论；（2）过点K 作 KS ⊥BE ，垂足为 R ，交 AB 于点 S ．证明△SRB ≌△HRK ，得出SB=HK ，再证明△ABF ≌△GKS ，即可得出结论；（3）过点 O 分别作AD 和 CN 的垂线，垂足分别为 Q 和 T ，连接 OC ．通过证明△OQD ≌△OTC ，得出AD=CN=BC ，连接ON ，证△NOC ≌△BOC ，得出∠BCO=∠NCO 设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α，由此得出∠MOC=2α，过点 M 作 MW ⊥OC ，垂足为 W在 OC 上取一点 L ，使 WL=OW ，连接 ML ，设OM=ML=LC=a ，根据勾股定理可求出OM 的值,继而求出MW=3，WC=9，∴OB=OC=OD=13，BD=26，再解直角三角形即可．【详解】解：（1）如图1，∵矩形 ABCD∴AB ∥CD ，∠A=90°∴∠BDC=∠DBA ，BD 是⊙O 的直径∴∠BED=90°∵∠BFD=∠ABF+∠A ，∠BFD=∠BDC+45°∴∠ABF+∠A=∠BDC+45°即∠ABF+90°=∠DBA+45°∴∠DBA-∠ABF=45°∴∠EBD=45°∴∠EBD=∠EDB（2）证明：如下图，在图2中，过点K 作 KS⊥BE，垂足为 R，交 AB 于点 S．∵KG⊥AB∴∠BGH=∠KRH=∠SRB=∠KGS=90°∴∠SBR=∠HKR∵∠RBK=∠RKB=45°∴BR=KR∵∠SRB=∠HRK=90°∴△SRB≌△HRK∴SB=HK∵SB=BG+SG，HK=BG+AF∴BG+SG=BG+AF∴SG=AF∵∠ABF=∠GKS，∠BAF=∠KGS=90°∴△ABF≌△GKS∴AB=KG（3）如下图，在图3中，过点 O 分别作AD 和 CN 的垂线，垂足分别为 Q 和 T，连接 OC．∵∠APO=∠CPO∴OQ=OT∵OD=OC，∠OQD=∠OTC=90°∴△OQD≌△OTC∴DQ=CT∴AD=CN=BC连接 ON∵OC=OC ，ON=OB∴△NOC ≌△BOC∴∠BCO=∠NCO设∠OBC=∠OCB=∠NCO=α∴∠MOC=2α过点 M 作 MW ⊥OC ，垂足为 W在 OC 上取一点 L ，使 WL=OW ，连接 ML∴MO=ML∴∠MOL=∠MLO=2α∴∠LCM=∠LMC=α∴ML=CL设OM=ML=LC=a则OD=a+8=OC ，∴OL=8，OW=WL=4∵OM 2-OW 2=MW 2=MC 2-CW 2∴ 24450a a +-=1a = -（9 舍去），2a = 5∴OM=5∴MW=3，WC=9，∴OB=OC=OD=13，BD=26∵∠GKB=∠CBD=∠ADB=∠BCO=∠MCW ，tan ∠MCW=13 ∴tan ∠GKB=tan ∠CBD=tan ∠ADB=tan ∠BCO=tan ∠MCW=13 ∴CD=GK=AB 13105= 在 Rt △GKB 中，tan ∠GKB=13GB GK = ∴GB 131015=【点睛】本题是一道关于圆的综合题目，难度很大，综合性很强，考查了圆周角定理、矩形的性质、全等三角形的判定及性质、解直角三角形等多个知识点，和三角形,四边形相比，圆这部分知识综合性比较强，与各方面联系比较广，所以一道题往往有多种证明方法，添加辅助线的原则是：一,运用基本图形的性质,补全基本图形，以利证明；二,运用图形转化的思想，将图形中的分散的条件相对集中，产生新的图形，运用基本图形的性质证明．2．D解析：（1）见解析；（2）存在，满足条件的x的值为6或253；（3）DP=485或10＜DP≤12【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF=∠EAB 时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF=∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围,从而得出DP的范围．【详解】（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠ABE=90°，AD∥BC，∴∠PAF=∠AEB，又∵PF⊥AE，∴∠PFA=90°=∠ABE，∴△PFA∽△ABE．（2）解：分二种情况：①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF=∠EAB，∴PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA=EB=6，即x=6．②如图2，若△PFE∽△ABE，则∠PEF =∠AEB ，∵AD ∥BC∴∠PAF =∠AEB ，∴∠PEF =∠PAF ．∴PE =PA ．∵PF ⊥AE ，∴点F 为AE 的中点，Rt △ABE 中，AB =8，BE =6，∴AE =22AB BE +=2286+=10，∴EF =152AE =， ∵△PFE ∽△ABE ，∴PE EF AE BE=， ∴5106x =， ∴PE =253， ∴满足条件的x 的值为6或253． （3）如图3，当⊙D 与AE 相切时，设切点为G ，连接DG ，∵AP =x ，∴PD ═DG =12﹣x ，∵∠DAG =∠AEB ，∠AGD =∠B =90°，∴△AGD ∽△EBA ， ∴AD DG AE AB =， ∴1212108x -=， ∴x =125， ∴12481255DP =-=， 当⊙D 过点E 时，如图4，⊙D 与线段有两个公共点，连接DE ，此时PD =DE =10，故答案为：DP =485或10＜DP ≤12． 【点睛】本题考查动点问题，动点在不同地方时，得到的图形是不同的，解题关键是确定动点运动过程中，有几种对应的图形，然后再根据图形性质分析求解．3．(1) CF 长为24 ；(2) 四边形BFDE 是菱形，理由见解析；(3) 纸片ENFM 是“标准纸"，理由见解析【解析】【分析】（1）1AB =，则2AD =ABCD 是矩形，得到1,2CD AB BC AD ==-=FB FD =，设CF x =，则2FB FD x ==，在Rt DCF △中，222+=CD CF DF ，可得)22212x x +=即可求解．（2）当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分BD ，可得OB OD =，90BOF DOE ∠=∠=，在矩形ABCD 中，//AD BC ，得到OBF ODE ∠=∠，在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠,，可得BOF DOE ≅，OE OF =，再根据OB OD =，可得四边形BFDE 是平行四边形，最后根据EF BD ⊥，即可求证平行四边形BFDE 是菱形．（3）由()2可知，OE OF =，同理可知，OM ON =，可得四边形ENFM 是平行四边形，根据90DOE DAB ∠=∠=︒，得到DOE DAB ，再根据2AD AB =，可得222OE AB OD AD ===，进而得到22OE OD =，22EF BD =，同理可得，22MN AC =，根据四边形ABCD 是矩形，可得AC BD =，EF MN =，四边形ENFM 是矩形，90EMF ∠=，2MF OD tan FEM ME OE ∠===，2MF ME =，即可求证纸片ENFM 是“标准纸"．【详解】解：()11,AB =则2,2AD AB ==四边形ABCD 是矩形1,2CD AB BC AD ∴==-=由折叠得FB FD =设CF x =，则2FB FD x ==-在Rt DCF △中，222+=CD CF DF()22212x x +=- 24x = 答：CF 长为2 ()2四边形BFDE 是菱形.理由：当顶点B 与点D 重合时，折痕EF 垂直平分,BDOB OD ∴=，90BOF DOE ∠=∠=在矩形ABCD 中，//,AD BCOBF ODE ∴∠=∠ 在BOF 和DOE △中，,OBF ODE OB OD BOF DOE ∠=∠=∠=∠, BOF DOE ∴≅ OE OF ∴=OB OD =∴四边形BFDE 是平行四边形 EF BD ⊥平行四边形BFDE 是菱形. ()3纸片ENFM 是“标准纸” 理由如下：由()2可知，,OE OF =同理可知，,OM ON = ∴四边形ENFM 是平行四边形 90DOE DAB ∠=∠=︒ DOE DAB ∴ 2AD =222OE AB OD AD ∴=== 22OE OD ∴= 2EF BD ∴= 同理可得，2MN AC =四边形ABCD 是矩形， AC BD ∴=， EF MN ∴=∴四边形ENFM 是矩形. 90EMF ∴∠=.MF ODtan FEM ME OE∴∠===MF ∴=.∴纸片ENFM 是“标准纸".【点睛】此题主要考查矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、菱形的判定及三角函数，灵活运用判定和性质是解题关键．4．（1）①不是；②0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程，理由详见解析；（3）详见解析【解析】 【分析】（1）①解方程2280x x --=，根据“半等分根方程”定义作出判断即可；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2nm-=，即：n =-2m 或m =-2n ，分别代入代数式2252m mn n ++=结果均为0 （2）根据点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，得到8q p =，代入260px x q -+=，得到关于x 的方程2860px x p-+=，解方程，用含p 的式子表示x ，根据“半等分根方程”定义判断即可；（3）根据两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线上，且纵坐标相等，可以求出对称轴为52x =，根据方程20ax bx c ++=是半等分根方程，得到两根关系，根据抛物线对称轴为 12522x x +=，即可求出两个根，问题得证． 【详解】解：（1）①解方程2280x x --=得124,2x x ==-，不符合“半等分根方程”定义， 故答案为：不是；②解方程(1)()0x mx n -+=得11x =，2n x m =-，所以12n m -=或2nm-=，即：n =-2m 或m =-2n ，当n =-2m 时，()()22225522022m mn n m m n m ++=+-+-=； 当m =-2n 时，()()22225522022m mn n n n n n ++=-+-+=；故答案为：0；（2）若点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上，则关于x 的方程260px x q -+=是半等分根方程理由：∵点(,)p q 在反比例函数8y x=的图象上 ∴8q p=代入方程260px x q -+=得： 2860px x p-+= 解得：12x p=，24x p =∵1212x x =∴方程260px x q -+=是半等分根方程（3）∵相异两点(1,)M t s +，(4,)N t s -都在抛物线2y ax bx c =++上，∴抛物线的对称轴为：(1)(4)522t t x ++-==又∵方程20ax bx c ++=是半等分根方程 ∴设20ax bx c ++=的两个根分别为1x 和2x 令1212x x =则有：12522x x += 所以153x =，2103x =所以方程20ax bx c ++=的一个根为53得证． 【点睛】本题为“新定义问题”，考查了学生自主学习的能力，解决此题关键是理解新定义概念，并结合所学数学知识进行解答．5．A解析：（1）A （0，4），C （3，0）；（2）S=()()51004251042t t t t ⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩；（3）存在，满足条件的t 的值为3617或36，点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭或()2,16--．【解析】 【分析】（1）解方程组求出m ，n 即可解决问题．（2）分两种情形：如图1中，当0＜t＜4时，如图2中，当t＞4时，根据S=12•BC•OP求解即可．（3）分两种情形分别构建方程求解即可．【详解】解：（1）由725m nm n+=⎧⎨-=⎩，解得：43mn=⎧⎨=⎩，∴A（0，4），C（3，0）；（2）如图1中，当0＜t＜4时，S=12•BC•OP=12×5×（4-t）=-52t+10．如图2中，当t＞4时，S=12•BC•OP=12×5×（t-4）=52t-10．综上所述，S=()()51004251042t tt t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，（3）当04t<<时，由题意，1314(4)3222t t⨯⨯=⨯⨯-⨯，解得3617t=，此时，363241717OP =-=， 32(0,)17P ∴， (4,0)B -，BQ ∴的中点Q 的坐标为162,17⎛⎫- ⎪⎝⎭，当4t >时，由题意，1314(4)3222t t ⨯⨯=⨯⨯-⨯，解得36t =， 此时36432OP =-=， (0,32)P ∴-， (4,0)B -，BP ∴的中点Q 的坐标为(2,16)--．综上所述，满足条件的t 的值为3617或36．点Q 的坐标为16(2,)17-或(2,16)--．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解方程组，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．6．B解析：（1）y ＝12x 2﹣32x ﹣2；（2）点M 的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）点P 的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意直线y ＝12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，则点A 、B 的坐标分别为：（0，-2）、（4，0），即可求解； （2）由题意直线MA 的表达式为：y ＝（12m ﹣32）x ﹣2，则点N （43m -，0），当MN AN ＝32时，则NH ON ＝32，即4343m m m ---＝32，进行分析即可求解； （3）根据题意分∠PAB=∠AOB=90°、∠PAB=∠OAB 、∠PAB=∠OBA 三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）直线y＝12x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，﹣2）、（4，0），则c＝﹣2，将点B的坐标代入抛物线表达式并解得：a＝12，故抛物线的表达式为：y＝12x2﹣32x﹣2①；（2）设点M（m，12m2﹣32m﹣2）、点A（0，﹣2），将点M、A的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：直线MA的表达式为：y＝（12m﹣32）x﹣2，则点N（43m-，0），当MNAN＝32时，则NHON＝32，即：4343mmm---＝32，解得：m＝5或﹣2或2或1，故点M的坐标为：（5，3）或（﹣2，3）或（2，﹣3）或（1，﹣3）；（3）①∠PAB＝∠AOB＝90°时，则直线AP的表达式为：y＝﹣2x﹣2②，联立①②并解得：x＝﹣1或0（舍去0），故点P（﹣1，0）；②当∠PAB＝∠OAB时，当点P在AB上方时，无解；当点P在AB下方时，将△OAB沿AB折叠得到△O′AB，直线OA交x轴于点H、交抛物线为点P，点P为所求，则BO＝OB＝4，OA＝OA＝2，设OH＝x，则sin∠H＝BO OAHB HA'=，即：2444x x=++，解得：x＝83，则点H（﹣83，0），．则直线AH的表达式为：y＝﹣34x﹣2③，联立①③并解得：x＝32，故点P（32，﹣258）；③当∠PAB＝∠OBA时，当点P在AB上方时，则AH＝BH，设OH＝a，则AH＝BH＝4﹣a，AO＝2，故（4﹣a）2＝a2+4，解得：a＝32，故点H（32，0），则直线AH的表达式为：y＝43x﹣2④，联立①④并解得：x＝0或173（舍去0），故点P（173，509）；当点P在AB下方时，同理可得：点P（3，﹣2）；综上，点P的坐标为：（﹣1，0）或（32，﹣258）或（173，509）或（3，﹣2）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、勾股定理的运用等，要注意分类讨论，解题全面．7．C解析：（1）2233(06)53103343(68)8333031503(810)t tS t t tt t t⎧+⎪⎪⎪⎪=-+-<⎨⎪⎪-+<⎪⎪⎩，S的最大值为63；（2）存在，m的值为165或32163-或163或1423-.【解析】【分析】（1）分06t、68t和810t三种情况分别表示出有关线段求得两个变量之间的函数关系即可．（2）分两种情形：①如图31-中，由题意点P在AB上运动的时间与点R在BC上运动的时间相等，即8m=．当RP BR=时，当PB BR=时，当PR PB=时，分别构建方程求解即可．②如图32-中，作RH BC⊥于H．首先证明90BPR∠=︒，根据BP PR=构建方程即可解决问题．【详解】解：（1）如图21-中，当06t时，点P与点Q都在AB上运动，PM AC⊥，//NQ PM，90ANQ AMP∴∠=∠=︒，AQ t=，2AP t=+，60A∠=︒，1122AN AQ t∴==，33QN==，112AM t=+，33PM．∴此时两平行线截平行四边形ABCD的面积为33S+．如图22-中，当68t 时，点P 在BD 上运动，点Q 仍在AB 上运动．则AQ t =，12AN t =，142CN t =-，3QN t =，6BP t =-，10DP t =-，3(10)PM t =-，而43BC =，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为： BCNQ BCMP S S S =+四边形四边形()()3111434433106222t t t t ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+⋅-++-⋅- ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭⎝⎭ 253103343t t =-+-， 如图23-中，当810t 时，点P 和点Q 都在BD 上运动．则202DQ t =-，(202)3QN t =-，10DP t =-，(10)3PM t =-．∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为2333031503S t =-+故S 关于t 的函数关系式为2233(06)53103343(68)3331503(810)t S t t t t ⎪⎪⎪=+-<⎨-+<⎪⎩， 当06t 时，S 随t 增大而增大， 当68t <时，S 随t 增大而增大， 当810t <时，S 随t 增大而减小，∴当t=8时，S 最大，代入可得S=63； （2）如图31-中，由题意点P 在AB 上运动的时间与点R 在BC 上运动的时间相等，8m =． 当RP BR =时，3PB BR =，则有383m m -=⋅，解得165m =， 当PB BR =时，则有38m m -=，解得32163m =-， 当PR PB =时，3BR PB =，则有33(8)m m =-，解得163m =． 如图32-中，作RH BC ⊥于H ．在Rt △CHR 中，2(8)CR m =-，30RCH ∠=︒， 182RH CR m ∴==-，8BP m =-，RH BP ∴=，HR BP ∥，∴四边形RHBP 是平行四边形，90RHB ∠=︒，∴四边形RHBP 是矩形，90BPR ∴∠=︒，当BP PR =时，则有83(12)m m -=-，解得1423m =- 综上所述，满足条件的m 的值为165或32163-163或1423-． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，多边形的面积，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．8．B解析：（1）直线x=0；（2）B（0，1a）；（3）2-≤a≤13-或13≤a≤2【解析】【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A的坐标，再利用关于x轴对称的点的坐标规律得出点B坐标；（3）分a＞0和a＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a的范围.【详解】解：（1）在抛物线21y axa=-中，2a-=，∴对称轴为直线x=0，即y轴；（2）∵抛物线与y轴交于点A，∴A（0，1a -），∵点A关于x轴的对称点为点B，∴B（0，1a）；（3）当a＞0时，点A（0，1a-）在y轴负半轴上，当点P恰好在抛物线上时，代入得：11aa a -=，解得：2a=或2-（舍），当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=或13-（舍），∴当13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；当a ＜0时，点A （0，1a -）在y 轴正半轴上， 同理可知： 当点P 恰好在抛物线上时，代入得：11a a a -=， 解得：2a =（舍）或2-，当点Q 恰好在抛物线上时，代入得：190a a -=， 解得：13a =（舍）或13-， ∴当2-≤a ≤13-时，抛物线与线段PQ 只有一个公共点；综上：若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，a 的取值范围是2-≤a ≤13-或13≤a 2. 【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．9．E解析：（1）24P P ，；（2）353b -≤<；（3）6425t >≥-【解析】【分析】（1）根据等腰锐角点的定义即得；（2）先确定极限位置：直线与圆相切于第四象限及直线过（0,3）时b 的值，进而确定范围；（3）分类讨论：E 点和F 点位于线段HK 左侧；E 点和F 点位于线段HK 右侧；利用一线三垂直模型及相似三角形的性质确定极限位置t 的值，进而确定范围．【详解】（1）∵点P 是点O 关于点A 的锐角等腰点，(2,0)A∴OA=OP=2如下图：当1(0,2)P 时，OP 1=2，OP 1⊥OA ，不成立； 当(23P 时，过P 2作P 2M ⊥x 轴 ∴OM=1，P 23∴在2Rt P MO 中，22222OP OM P M =+= ∵290P OA ∠<︒ ∴点(23P 是点O 关于点A 的锐角等腰点； 当(33P -时，390POA >︒∠ ∴点(33P -不是点O 关于点A 的锐角等腰点； 当42,2P 时，过P 4作P 4N ⊥x 轴 ∴2，P 42∴在4Rt P NO 中，22442OP ON P N =+=，445P ON =︒∠ ∴点42,2P 是点O 关于点A 的锐角等腰点． ∴点O 关于点A 的锐角等腰点有(23P ，42,2P 故答案为：24P P ， （2）以O 为圆心，OA=3为半径作圆，当直线2y x b =+与圆O 相切与第四象限时，切点即为点O 关于点A 的锐角等腰点，如下图点C ．由题意，得：OB=-b ，OD=2b ∴在Rt DOB 中，225DB OD OB =+= ∵11122OD OB DB OC = ∴21532b =⨯ 解得：35b =-如上图：当直线2y x b =+过点E ()03，时，3b =，OE ⊥OA ∴要使在直线2y x b =+上存在点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点，3b <综上所述：353b -≤<时，直线2y x b =+上存在点C 是点O 关于点A 的锐角等腰点 ．（3）如下图：当E F ，在直线左侧，4EF =时，过E 作EG HK ⊥∵90KOH EGH KHO GHE ==︒∠=∠∠∠，∴H EGH KO ∽∴KO KH EG EH= ∵()()()()0420020K H D t E t -，，，，，，， ∴KO=4，KH=5EH=4-t∴EG=8525425t -= ∵要使线段HK 上存在点E 关于点F 的锐角等腰点，则4EG ≤ ∴85545t ≤。