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正方形的性质与判定_完整


△CMD≌△ADF
试一试
看能不能完成证明???
例4、已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线上
一点,CE⊥AF于E,交AD于M, 求证:∠MFD=45°
∴ EH=EF=FG=GH ∴ 四边形EFGH是菱形
又∵ ∠3+∠2=90°且 ∠1=∠3 ∴ ∠1+∠2=90° ∴ ∠EFG=90° ∴ 四边形EFGH是正方形(有一个角是直角的 菱形是矩形).
3 2 1
练习.如图,四边形ABCD是正 方形,E、F、G、H分别是四 边的中点。你知道四边形EFGH的 形状吗?为什么?
E A B
例1、求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个
全等的等腰直角三角形。 已知:如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。 求证: △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
3.如图(3),正方形ABCD中,AC、BD相交于O,
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N,
求证:BM=CN。
DE⊥AC,DF⊥AB。求证:四边形CEDF是正方形。
证明:∵ DE⊥AC,DF⊥AB ∴ ∠DEC=90°, ∠DFC=90° 而∠ACB=90° ∴
有三个角是 直 四边形ABCD为矩形( ) 角的四边形是矩 形
F
∵ CD平分∠ACB
DE⊥AC, DF⊥BC ∴ DE=DF(角平分线的定理 )
B
D
C.对角线相等 D.对角线平分一组对角 45°度. 3.正方形的对角线和它的边所成的角是 4.已知正方形的一条对角线长为4cm,则它的边长 为
2
2 2cm
, 面积为
8cm
2

A P
E O F
B
5.已知正方形ABCD中,对角线AC=10cm,P为AB上任意一
C
点,PE⊥AC,PF⊥BD,E、F为垂足,则PE+PF= 5cm
6 .四个内角都相等,四条边也都相等的 A) 四边形一定是:(
A.正方形 行四边形
B.菱形
C.矩形
D.平
试一试
1、如图:正方形ABCD的周长为15cm,则矩
形EFCG的周长为
7.5
cm。
A
E
D G
B
F C
A
D
4.已知:正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O,且AB=2cm,则AC= 2 2 ,2
想一想:正方形是怎样的矩形?
正方形 矩形
邻边相等 的矩形
矩形 两组 对边
四边形
分别 平行
平行四 边形 菱 形
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
定义:一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形
平行四边形,矩形,菱形,正方形的关系
平行四边形 正 方 形
正方形






90
创设情景 ☞
情景一

90
问题:
从这个图形中你想到了什么?
想一想:正方形是怎样的菱形?
正方形 菱形
一个角是直角的菱形
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
A
D
B
C
情景二
A
D
A
D
B
C
B
C
图中CD在移动时,这个图形始终是怎样的图形? (CD在移动的过程中始终保持与AB平行) 当CD移动到 C D 位置,且 AD AB 时,此 时的图形还是矩形吗?

边 角
D
质 对角线
∟D
A O D
对称性
B
C
B
文 字 语 言
对边平行, 四条边都
相等
四 个 角 都是直角
∵四边形ABCD 是正方形
符 号 语 言
∵四边形ABCD 是正方形
∴AB∥CD ∴∠A=∠B=∠C AD∥BC, =∠D=90° AB=BC=CD=AD

图 形 语 言
A

A
C
B
C
对角线互相垂直 平分且相等,每 条对角线平分一 组对角
分析:要证明BM=CN,大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ? △ABM≌△BCN 你所要证明的两个三角形已经满足 了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有: AB=BC,∠1=∠2=45 °
条件够吗?
还需要的条件是 AM=BN
你能完成证明吗???
例2、如图,正方形ABCD中,AC、BD相交于O,MN∥AB

拓展讨论:
正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形?
A
D
O
B
C
结论:
分成八个等腰直角三角形,分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ; △AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
你觉得什么样的四边形是 正方形呢?( 判断一个四边形 是正方形有哪些方法?)
图形之间的变化关系
B O
4 正方形的面积S=______.
5.已知:在正方形ABCD中,对角线AC、
A
2
C
D
BD相交于点O,且AC=6
2
cm,
O
36 6 面积S=________. 则边长AB=______,
B
C
5、已知四边形ABCD是平行四边形,对角线 AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC,则四边形ABCD是( 菱形 )
巩固练习:判断下列命题是否正确,不是正 方形的补充什么条件能让它成为正方形? • • • • • • 四个角都相等的四边形是正方形; (× ) 四条边都相等的四边形是正方形; (× ) 对角线相等的菱形是正方形; ( √) 对角线互相垂直的矩形是正方形; (√ ) 对角线垂直且相等的四边形是正方形; (×) 四边相等,有一个角是直角的四边形 是正方形. ( )√
矩形
菱形
正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩 形,也是特殊的菱形。
回顾平行四边形,矩形,菱形的性质,完成表格前三列
性质 分类 图形
平行四 边形
对边平行 且相等 对角相等 对角线互 相平分
矩 形 (所特有)
菱形 (所特有)
四条边相等
正方形
对边平行且 四条边相等 四个角都 是直角
边 角
四个角都 是直角 对角线 相等
矩形
有一组邻边相等
平行四边形
正方形
有一个角是直角
菱形
正方形的判定方法:
(可从平行四边形、矩形、菱形为基础)
1、
平行四边形 一内角是直角
一组邻边相等
正方形
定义法
2、
一内角是直角
菱形
正方形
菱形法
3、
矩形
一组邻边相等
正方形
矩形法
判断四边形是正方形有哪些方法?
1、先说明它是矩形,再说明这个矩形 (邻边相等的矩形是正方形) 有一组邻边相等.
2、先说明它是菱形,再说明这个菱形 (有一个角是直角的菱形是正方形) 有一个角是直角.
3、先说明它是平行四边形,再说明有 一组邻边相等,并且一个角是直角。
(对角线平分且垂直又相等的四边形是正方形)
以四边形为基础:
①四条边相等,四个角都是直角 四边形 ②对角线互相垂直、平分且相等 正方形
既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
A
有一组邻边相 ∴四边形ABCD是正方形( ) 等的矩形是正 方形
4.已知:如图(4)在正方形ABCD中,F为CD延长线
上一点,CE⊥AF于E,交AD于M,
求证:∠MFD=45°
分析:
欲证∠MFD=45°,由于
△MDF是直角三角形,只须证 △MDF是等腰三角形,即只要证
_____=_____ 要证MD=FD,大家只须证得哪两个三角形全等?
∵四边形ABCD是正 方形 ∴AC⊥BD,AC=BD, OA=OB=OC=OD
轴 对 称 图 形 中 心 对 称 图 形

二、 例1、如图,正方形ABCD中, 正 2 (1)一条对角线把它分成 个全等的三 方 角形。 问:这些三角形是什么三角形? 形 (2)两条对角线把 的 它分成 4 个全等的 A B 性 等腰直角 三角形。 质 (3)对角线AC与正 O 的 方形的一边所成的角 应 45 为 度。 D C 用
3、下列命题正确的是( D ) A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
4.四个内角都相等的四边形一定是(C )
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D平行四边形 5.在四边形ABCD中,O是对角线的交点, 能判定这个四边形是正 方形的是:( A ) A.AO=BO=CO=DO,AC⊥BD B.AD∥BC ∠A=∠C C.AO=CO BO=DO AB=BC D.AC=BD
几种特殊四边形的性质


对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等, 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
菱 对边平行, 对角线互相垂直 形 四边都相 对角相等, 平分,每条对角 轴对称图形、 邻角互补 等 线平分一组对角 中心对称图形 正 对角线互相垂直平 对边平行, 方形 四个角 分且相等,每条对 轴对称图形、 四条边 都是直角 中心对称图形 角线平分一组对角 都相等
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