3.2.1几类不同增长的函数模型（二）——几种函数增长快慢的
比较
学习目标:
①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.
②学会借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.
③能恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.
④通过收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.
教学重点：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数
模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类
型增长的含义．
教学难点：怎样选择数学模型分析解决实际问题
一、合作交流与知识讲授相结合，通过学习熟悉的几种常见函数增长快慢的比较，体会比较方法，掌握基本结论，从而培养应用基本方法比较函数增长快慢的能力.
观察函数4x y y ==与在 [0，+∞）上的图象，说明在不同区间内，函数增长的快慢情况.
在同一坐标中函数图象如下
师生合作观察研究函数4x y y ==与的增长快慢.
①x ∈(0，16)
时，y =的图象在4x y =
4x
可知y =增长
②(16,)x ∈+∞
时，y 的图在4x y =
4x 可知4x y =增长 二、幂函数、指数函数、对函数增长快慢形成比较方法.
1．实例探究：比较函数y =2x ，y = x 2，y = log 2x 的增长快慢.
方法：①作图，列表比较、验证．
②应用二分法求2x = x 2的根，即y = 2x 与y = x 2的交点横坐标为 ． 观察： 2
22log x x x <<成立的x 的取值：
x x 2log 22<<成立的x 的取值 ：
2．规律总结
①对于指数函数y =a x (a ＞1)和幂函数y =x n (n ＞0)，在区间(0,)+∞上，无论n 比a 大多少，尽管在x 的一定变化范围内，a x 会小于x n ，但由于a x 的增长快于x n 的增长，
因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有a x ＞x n .
②对于对数函数y =log a x (a ＞1)和幂函数y = x n (n ＞0)在区间(0,)+∞上，随着x 的增大，log a x 增长得越来越慢.在x 的一定变化范围内，log a x 可能会大于x n ，但由于log a x 的增长慢于x n 的增长，
因此总存在一个x 0，当x ＞x 0时，就会有log a x ＜x n .
③在区间(0,)+∞上，尽管函数y = a x (a ＞1)，y = log a x (a ＞1)和y = x n (n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x 的增长，y = a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y = x n (n ＞0)的增长速度，而y = log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢.
因此，总会存在一个x 0，当x ＞x 0时，就有log a x ＜x n ＜a x .
三、举例分析
例1 同一坐标系中，函数y =x 2+7和y =2x 的图象如图.试比较x 2+7与2x 的大小.
例2 已知函数y =x 2和y =log 2(x +1)的图象如图，试比较x 2与log 2(x +1)的大小.
四、练习
1．下列说法不正确的是（ ）
A ．函数y =2x 在（0，+∞）上是增函数
B ．函数y =x 2在（0，+∞）上是增函数
C ．存在x 0，当x ＞x 0时，x 2＞2x 恒成立
D ．存在x 0，当x ＞x 0时，2x ＞x 2恒成立
2．函数y = log a x （a ＞1）、y = b x （b ＞1）和y = x c （c ＞0）中增长速度最快的是（ ）
A ．y = log
a x （a ＞1） B ．y =
b x （b ＞1）
C ．y = x c （c ＞0）
D ．无法确定
3．已知幂函数y =x 1.4、指数y =2x 和对数函数y =ln x 的图象.如图，则A 表示
函数互换 的图象，B 表示函数 的图象，C 表示函数 的
图象.
4．（P101练习）在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象，并比较它们的增长情况：
（1）]10,1[,1001.0∈-=x e y x
（2）]10,1[,100ln 20∈+=x x y
（3）]10,1[,20∈=x x y
五、课堂小结：1．幂函数、指数函数、对函数增长快慢的差异；
2．会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义.
六、作业： 1 函数3y x =（ ） A 是奇函数，且在R 上是单调增函数 B 是奇函数，且在R 上是单调减函数 C 是偶函数，且在R 上是单调增函数 D 是偶函数，且在R 上是单调减函数
2．比较函数y = x n （n ＞0）和y = a x （a ＞0），下列说法正确的是（ ）
A ．函数y = x n 比y =a x 的增长速度快
B ．函数y = x n 比y =a x 的增长速度慢
C ．因a ，n 没有大小确定，故无法比较函数y = x n 与y = a x 的增长速度
D ．以上都不正确
3.某厂原来月产量为a ，一月份增产10%，二月份比一月份减产10%，设二月份产量为b ，则（ ）
A a=b
B a>b
C a<b
D 不确定 4 若22x
x ≥，则x 的取值范围是____________ 七、本节学习小结：。