T p —荷载的周期
7/63
单自由度体系对周期荷载的反应
任意周期荷载作用下结构总的稳态反应为：
用复数Fourier 级数将周期荷载展开，
先计算单位复荷载e i ωj t 作用下，体系稳态反应的复幅值，设：
总的稳态反应为:
复频反应函数，也称为频响函数，传递函数
单位脉冲：作用时间很短，冲量等于1的荷载。
单位脉冲反应函数：单位脉冲作用下体系动力反应时程。
积分
时刻的一个单位脉冲作用在单自由体系上，使结构的质点获得一个单位冲量，在脉冲结束后，质点获得一个初速度：
由于脉冲作用时间很短，ε→0，质点的位移为零：
13/63
—Duhamel 积分无阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
有阻尼体系的单位脉冲反应函数为：
、单位脉冲反应函数
单位脉冲及单位脉冲反应函数
15/63
在任意时间t 结构的反应，等的和：
Duhamel 积分：
任意荷载作用下单自由度体系的反应等于作用于结构的外荷载与单位脉冲反应函数的卷积。
3.8.1时域分析方法—Duhamel 积分
无阻尼体系动力反应的Duhamel 积分公式：
阻尼体系动力反应的Duhamel 积分公式：
17/63杜哈曼积分法给出了计算线性SDOF体系在任意荷载作用下动力反应的一般解，适用于线弹性体系。
因为使用了叠加原理，因此杜哈曼积分法限于弹性范
速度和加速度的Fourier变换为：
21/63单自由度体系时域运动方程：
对时域运动方程两边同时进行Fourier 正变换，得单自由度体系频域运动方程：
—Fourier 变换法频域解为：
)—复频反应函数，i 是用来表示函数是一复数。
再利用Fourier 逆变换，即得到体系的位移解：
作Fourier 变换, 得到荷载的Fourier 谱P (ω)和复频反应函数到结构反应的频域解—Fourier 谱U (逆变换，由频域解U (ω)得到时域解u (t )：
在用频域法分析中涉及到两次Fourier 变换，均为无穷域积分，特别是Fourier 逆变换，被积函数是复数，有时涉及复杂的围道积分。
25/63频域离散化：
26/63
离散Fourier 变换（DFT ）
将离散化的值代入Fourier 正变换公式，并应用梯形积分公式得：
将离散化的谱值代入Fourier 逆变换公式，并应用梯形积分公式得：
以上公式即是求结构反应的离散Fourier 变换方法—DFT 如果取N =2m ，再利用简谐函数周期性的特点，可以得到28/63
离散Fourier 变换（DFT ）
变换时应注意事项:变换将非周期时间函数周期化
29/63
离散Fourier变换（DFT）离散Fourier变换（DFT）
Fourier变换，特别是快速Fourier变换在信号分
析和处理中得到广泛应用，目前已有标准的
Fourier变换和快速Fourier变换程序可用。
31/63
35/63
地震作用的特点：规则、快速变化。
36/63
典型地震动加速度时程
37/63
为相对位移，üg (t )为地震动加速度时程。
地震等效荷载为p (t )=-mü(t )，应用Duhamel 其中
—有阻尼体系自振频率。
观察以上方程可以发现，对一给定地震动u g ，结构地震反应仅与结构的阻尼比在实际工程中，对结构的绝对加速度ü(t )+üg (t )感兴趣，它可根据结构位移的解式直接得到：
对比以上两式可以发现
以上公式仅对于小阻尼时才成立。
实际上，这一公式可以直接由运动方程得到。
结构反应的最大相对位移S d 和最大绝对加速度间的关系：
n
工程中一般习惯采用结构的自振周期
如果改变结构的自振周期T
n
就可以得到不同的
后可以得到以结构自振周期T
n
为自变量的函数
位移反应谱,S
a —(
42/63
El Centro地震波
的
位移、速度、
加速度反应谱曲线
43/63
，则S d和S a的关系可表达成：
a 后，用mS
a
计算等效的最大地震力，然
后按静力方法可计算结构地震反应的最大值。
在建筑抗震设计规范中，给出以重力加速度位的反应谱α(T n)—地震影响系数，
49/63
1理想阶跃荷载
50/63
阶跃荷载作用下单自由度体系的反应
用Duhamel 积分法可得
ωn t r =2π(t r /T n )
3.10阶跃荷载作用下单自由度体系的反应
2具有有限上升时间的阶跃荷载
具有有限上升时间的阶跃荷载的反应谱
脉冲荷载作用下
单自由度体系的反应
脉冲荷载反应
矩形脉冲荷载反应
脉冲荷载反应
半正弦脉冲荷载
55/63
57/63半正弦脉冲荷载反应
59/63脉冲荷载反应
三角形脉冲荷载反应
60/63
三种脉冲作为集中冲量作用时体系的反应
对于矩形脉冲I = p o t d ，半周期正弦脉冲I = (2/ )p o t d ，三角形脉冲I = p o t d /2，在集中冲量作用下体系的最大反应分别为
等幅值的三种脉冲作用下的冲击反应谱
61/63
62/63。