第3章 单自由度体系—对简谐荷载的反应(续)
¾简谐振动试验确定结构的阻尼比ζ
共振放大法：
ζ=
1
= ust
半功率点法： 2Rd (ωn ) 2u0 (ωn )
ζ＝ωb − ωa = ωb − ωa
2ωn
ωb + ωa
基础：动力放大系数Rd的性质。
¾滞变阻尼理论（复阻尼理论）
滞变阻尼参数η与粘性阻尼比ζ的关系：
{φ}mT [K ]{φ}n = 0, m ≠ n
证明方法，利用特征方程（即自振频率及其振型 满足的方程）证明。
第4章 多自由度体系（续）
¾振型质量、振型刚度及与自振频率的关系：
Mn
=
{φ} T n
[M
]{φ} n
Kn
=
{φ} T n
[K ]{φ} n
ωn = Kn M n
与单自由度体系三参数关系的形式完全相同。
振型坐标的标准运动方程： q&&n (t) + 2ζ nωnq&n (t) + ωn2qn (t) = −γ nu&&g (t), n = 1,2,LN
γ
n
=
{φ}nT [M
Mn
]{I}
=
{φ}nT [M ]{I} {φ}nT [M ]{φ}n
γn称为振型参与系数
第5章 结构动力反应
数值分析方法
第5章 结构动力反应数值分析方法
¾振动测量仪器：了解原理即可。
¾隔振（震）原理：
隔断输出 隔断输入
力⎫ 位移 ⎪⎬的隔振，性质完全相同 加速度⎪⎭
¾传递率：
TR =
1 + [2ζ (ω / ωn )]2
＝ f max
[1 − (ω / ωn )2 ]2 + [2ζ (ω / ωn )]2 p0
= u0t ug
=
u&&0 t u&&g
数值算法中的基本问题
¾ 收 敛 性：当Δt→0时，数值解是否收敛于精确解；
¾计算精度：截断误差与时间步长Δt 的关系，若误差
ε ∝ O(Δtn)，则称方法具有n阶精度；
¾稳 定 性：随时间步数i的增大，数值解是否有界； ¾ 计算效率：所花费的计算时间的多少。
根据逐步积分计算公式是否为耦联方程组，逐步 积分法可分为两大类：
¾动力学的新物理量：惯性力、阻尼力。
¾建立运动方程的方法：
☼ 牛顿第二定律直接应用； ☼ D’Alembert原理：动平衡概念； ☼ 虚位移原理； ☼ Hamilton原理； ☼ 运动的Lagrange方程。
¾单自由度体系运动方程：
mu&& + cu& + ku = p(t)
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立(续)
¾Rayleigh阻尼及其性质
[C] = a0[M ]+ a1[K]
⎨⎧a0
⎫ ⎬
⎩a1 ⎭
=
2ζ ωi + ω j
⎩⎨⎧ωi1ω j
⎫ ⎬ ⎭
,
ζi =ζ j =ζ
第4章 多自由度体系（续）
¾非经典阻尼阵的构造：
可以分别采用Rayleigh阻尼构造各子结构的阻尼 矩阵，再组合形成体系的总体阻尼阵。
第1章 概述（续）
¾动力自由度 动力计算中为确定运动过程中任意时刻全部质 量的位置所需的独立几何参数的个数。
¾结构离散化方法 ☼ 集中质量法； ☼ 广义坐标法； ☼ 有限元法。
离散化：把无限自由度问题转化为有限自由度的 过程。
第2章 分析动力学基础及 运动方程的建立
第2章 分析动力学基础及运动方程的建立
∑ {u(t)}=
[K ]−1{p(t)}−
{ } Nd
n =1
φ
n
[
1
ωn
2
q&&n (t)
+
2ξn ωn
q&n (t)]
第4章 多自由度体系（续）
¾缺少采用振型叠加法分析结构地震反应的内容
实际上令等效的地震外荷载向量{p(t)}为：
{p(t)}= −[M ]{I}u&&g
则，振型荷载为：
Pn (t) = −{φ}nT [M ]{I}u&&g
当阻尼比 ζ 较小时（工程中），ωD≈ωn，TD≈Tn。
第3章 单自由度体系 （续）
¾临界阻尼(系数)定义：ccr＝2mωn＝2√(km)
¾阻尼比：ζ＝c/ccr，阻尼系数：c＝ζ ccr＝2mωnζ
⎧ < 1 低阻尼， 结构体系发生振动
ζ
⎪ ⎨
=1
临界阻尼，振动与不振动的分界点
⎪⎩ > 1 过阻尼， 结构体系不发生往复振动
第4章 多自由度体系（续）
¾振型叠加法：
N
{u(t)}= ∑{φ}n qn(t) n =1
M nq&&n (t) + Cnq&n (t) + Knqn (t) = Pn (t), n = 1, 2, L, N
Mn、Cn、Kn、Pn (t) —振型质量、振型阻尼系数、 振型刚度和振型荷载。
Cn = 2ωn M nζ n
η＝2ζ（ ω ) ωn
η = 2ζ (共振时)
滞变阻尼能量耗散与频率ω无关，符合结构试验规律。
¾结构对周期荷载的反应
利用Fourier级数展开，化任何周期荷载为简谐荷载。
第3章 单自由度体系—对任意荷载的反应
¾单位脉冲反应函数：h(t)。单位脉冲：δ(t) ¾复频反应函数：H(iω)，单位复(简谐)荷载 eiωt
作用下结构的反应。
h(t) ←⎯F → H (iω)
¾时域解法：Duhamel积分
u(t) =
∫t 0
p(τ )h(t −τ )dτ
¾频域解法：Fourier变换
∫ u(t) = 1 ∞ H (iω)P(ω)eiωtdω
2π −∞
适用范围：应用了叠加原理，仅适用于线弹性结构结 构体系。
¾离散Fourier变换，快速付氏变换FFT
ζn — 振型阻尼比。
第4章 多自由度体系（续）
¾不满足阻尼正交条件的振型叠加解法：
（1）直接解一个低阶的代数方程组，L<N； （2）用迭代法求解； （3）用复模态法分析。
注意：对比第7章Rayleigh-Rtz法计算缩减的刚度 阵和质量阵的公式与本章采用振型展开法求振 型刚度和振型质量的公式。
第4章 多自由度体系（续）
运动约束法；静力凝聚法；混合方法。
¾重力的影响
¾地基运动的影响
第3章 单自由度体系
第3章 单自由度体系
¾无阻尼自振频率：ωn＝√(k/m) ¾无阻尼自振周期：Tn＝2π/ ωn
自振周期Tn（或ωn）是结构的固有特性，与振幅大小 无关（线弹性范围内）。 工程频率：fn＝1/Tn
¾有阻尼自振频率：ωD＝ωn√(1－ζ 2) ¾有阻尼自振周期：TD＝Tn/√(1－ζ 2)
¾结构非线性反应计算方法：
用fs=fs(u)代替ku ， 用增量运动方程代替全量运动方程（中心差分法除 外）。
¾采用中心差分法求解非线性反应
无需迭代，直接算。
¾采用Newmark—β求解非线性反应
在每一计算时间步内需要迭代求解. ☼ Newton—Raphson法（变刚度迭代法）； ☼ 修正的Newton—Raphson法（常刚度迭代法）。
ω1 < ω2 < ω3 < L < ωN 为多自由度结构自振频率，说明结构自由振动时
以固定的频率振动，即以自振(固有)频率振动。
第4章 多自由度体系（续）
分别将结构的自振频率代入运动方程的特征方程 得到与自振频率对应的各阶振型
⎧φ1i ⎫
ωi :
{φ} i
=
⎪⎪⎨⎪φM2i
⎪⎪ ⎬ ⎪
,
i
= 1, 2,L, N
(3)正交归一化。
{ }φ n = {φ}n Mn , Mn = {φn}T [M ]{φ}n, n = 1, 2, L, N
第4章 多自由度体系（续）
¾振型的正交性： 对于N个振型和自振频率
{φ}n , ωn , n = 1,2,L, N
满足正交条件
{φ}mT [M ]{φ}n = 0, m ≠ n
1
[1− (ω /ωn )2 ]2 +[2ζ (ω /ωn )]2
无阻尼：ω→ωn时，位移→∞。
有阻尼 )
接近最大值。
¾位移反应滞后相角φ：
⎧ω ⎪⎨ω
/ ωn / ωn
→ 0, → 1,
⎪⎩ω /ωn → ∞,
φ → 0o φ → 90o φ → 180o
第3章 单自由度体系—对简谐荷载的反应(续)
第3章 单自由度体系—对任意荷载的反应(续)
¾结构地震反应初步
☼(绝对)加速度反应谱：Sa(Tn)＝|ü(t)＋üg(t)|max
☼(相对)位移反应谱： Sd(Tn)＝|u(t)|max 关系式：Sd＝Sa/ωn2， ωn2＝k/m
Sa是给定的地震荷载形式(比如规范),可用公式： kSd=F＝mSa求最大位移反应。 ☼常用反应谱： α＝Sa/g－地震影响系数,
☼Newmark-β法：对区间[ti, ti+1]内加速度值的形式给予假 设，在离散时间点上满足运动方程。
☼ Wilson-θ法：一种等效的线性加速度法。
⎧平均加速度法
Newmark-β法可以成为 ⎪⎨线性加速度法
⎪⎩ 中心差分法
β＝1 4
β＝1 6 （γ＝ 1）
β＝0
2
第5章 结构动力反应数值分析方法（续）