[ 1 ] 涂荣豹 . 数学教学认识论 [ M ] . 南京 : 南京师范大学出版社 , 2003. [ 2 ] 同济大学 , 天津大学 , 浙江大学 , 重庆大学 . 高等数学 [ M ] . 北 京 : 高等教育出版社 ,2002. [ 3 ] 张学元 . 高等数学能力题解 [ M ] . 武汉 : 华中理工大学出版社 , 2001. [ 4 ] 徐安农 . Mat hematica 数学实验 [ M ] . 北京 : 电子工业出版社 , 2006.
2 ex 100 n →∞ x 1
n 1 ( 1 - x 2 ) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x4 ) …( 1 + x 2 ) 1- x n 1 ( 1 - x 4 ) ( 1 + x 4 ) …( 1 + x 2 ) = 1- x n+ 1 1 ( 1 - x2 ) = … 1- x n+1 1 1 ( 1 - x2 ) = ∴ 原式 = lim n →∞ 1 - x 1- x 3. 有理化法 有理化方法是指对被求极限的算式乘除同一适当因式 以达到消去无穷小因式或者不定式的目的 。
x →∞
( 1 ) 用 Mat hematica 5. 0 的 文 件/ 控 制 面 板/ B asic T y peseti n g ( 基本排版) 、 B asic I n p ut ( 基本输入) ( 2) 在 Mat hematica5. 0 软件中 ,调用命令语句 ,其格式 为 :Limit [ f [ x ] , x - > a]. 其中 a 既可以是常数 ,也可以是无穷大 ,其中 + Infinity 表示正无穷 , - Infinity 表示负无穷 . In[ 9 ] : = Limit [ Sqrt [ x ∧z + x ] - Sqrt [ x ∧z + 1 ] ,x → + Infinity ] 1 Out [ 9 ] = 2 以上归纳了九种函数求极限的特殊求法和利用数学软件 求极限方法。有时需要综合运用上述常用求法和特殊求法。 [参 考 文 献]
n
n
nnn=源自1 π 1 2 ( ) π π 0 sin x d x = π - co s x | 0 = π 9 . 用收敛级数 、 泰勒 ( 或麦克劳林) 展开式求极限
∫
nn e2 ; ( 2) lim n →∞ ( n !) n →∞ ∞ nn 解 : ( 1) 考虑 6 2 的收敛性 n = 0 ( n !)
6. 导数定义法 若 y = f ( x) 在 x 0 处 有 定 义 , 则 利 用 导 数 定 义 lim
h→ 0
例3 求 lim (
n →∞
x+
x+
x -
x)
f ( x 0 + h) - f ( x 0 ) ( x 0 ) , 可常常求自变量趋向于零的 = f′ h
极限 。
[ 收稿日期 ]2009 - 04 - 21 [ 作者简介 ]蒋志强 (1959 - ) ,男 ,江苏常州人 ,常州轻工职业技术学院副教授 ,研究方向为课程与教学论 、 高等职业教育 。
・122 ・
例 6 设 f ′( a ) 存 在 且 f ( a ) ≠ 0 , 求 H = lim
f (a+ f (a-
n →∞
用比值判别法
lim
n →∞
1
n
n
) , n ∈Z. )
1 ) - 1n f ( a - 1 ) ]
n n n →∞
1
n
解 : 原式 = H = lim en[ 1n f ( a +
= lim e I , 而
n →∞
1n f ( a + 1/ n) - 1n f ( a) 1n f ( a - 1/ n) - 1n f ( a) I = lim + n →∞ 1/ n - 1/ n ( a) / f ( a) = 2 [ 1n f ( x) ]′ | x = a = 2 f′ ( a) / f ( a) 所以 H = e2 f ′ 7. 解方程法 因为单调有界数列必有极限 , 对某些单调有界数列的 极限问题可用此法 : ( 1) 验证数列单调 。 ( 2 ) 找数列的上界 ( 或者下界 ) 。 ( 3 ) 设数列的极限为 x 。 ( 4 ) 解关于 x 的方 程。
2009 年第 5 期 牡丹江教育学院学报 No1 5 , 2009 ( 总 第 1 1 7期) J OU RNAL O F MUDANJ IAN G COLL EGE O F EDUCA TION Serial No1 117
函数极限的几种特殊求法
0 ” 型 ,但无法直接应用洛必达法则 , 0 需换元后再用洛必达法则 。 1 令 2 = t , 则 x →∞ 时 , t →+ ∞
解 : 此题虽然属 “
x
原式 = lim
t →+ ∞
t50 ∞ 50 t49 50 ! ( ) = lim = …= lim t =0 t →+ ∞ t →+ ∞ e et ∞ et
人弗拉基米尔 ・伊万诺维在其诗 《在叶赛宁的故乡》 中所 写“ : 你像一滴永远不干的眼泪 , 残留在俄罗斯母亲的脸 上。 ” 这滴眼泪 ,是乡村之梦 、 信仰之梦 、 爱情之梦纷纷破碎 的悲伤凝结而成的 。这正印证了费尔巴哈的那句名言 : 痛 苦是诗歌的源泉 。 [参 考 文 献]
蒋 志 强
( 常州轻工职业技术学院 , 江苏 常州 213164 )
[ 摘 要] 对函数极限问题的求法进行探究 , 得到通项分解法 、 通项归一法 、 有理化法 、 两边夹法则 、 换元 法、 导数定义法 、 解方程法 、 定积分法 、 级数收敛 ( 泰勒级数展开式) 法等等 。学习掌握这些特殊方法 ,对于学好微 积分颇有益处 。
而 lim k n = 1 , lim a k = a
n →∞
中 | x| < 1 解: ∵
=
n 1 ( 1 + x) ( 1 + x 2 ) ( 1 + x4 ) …( 1 + x 2 ) 1- x
由两边夹法则知 :原式 = a 5. 换元法 部分一元函数求极限时需用变量换元法 ,问题往往迎 刃而解 。 例5 求 lim
求 lim x n 3 xn , n = 1 ,2 ,3 , …
n →∞
1 2 1 1 2 2 x + + o ( x4 ) x 2 2! 2 1 2 1 4 co s x = 1 x + x + o ( x4 ) 2! 4! 1 4 x + o( x 4 ) 12 1 原式 = lim = = n →∞ 12 x4 10. 用数学软件 Mat hematica 求极限 在 Mat hematica 系统中 ,求 lim f ( x) 的方法有两种 :
e2
=1-
x→ a
显然 , 此数列 x 1 = 3 , x 2 = 3 3 , x 3 = 3 3 3 … 为单调递增的 , 用数学归纳法可以证明 x n < 3 . 数列 { x n } 有 上界 , 所以 lim x n 存在 。
n →∞
解 : 设 lim x n = x 则 lim x n + 1 即 3x= x
n →∞ n
n →∞
1+ = lim =
n →∞
1
x
= 1 + 1
1+
1
x
1 2
+
x3
本题通过对分子有理化消去不定式 (
x ) 而得到结果 。 4 . 两边夹法则
n
x+
x+
x
两边夹法则是指 :当 x n ≤y n ≤z n 且 lim x n = lim z n =
n →∞ n →∞
A , 则 lim y n = A
un + 1 1 1 = lim ( 1 + ) n ・ = e・ 0=0<1 n →∞ un n 1+n n ∞ n 故6 2 收敛 n = 0 ( n !) nn 所以 lim 2 =0 n →∞ ( n !) ( 2) 由麦克劳林展开式知 :
x2
例 7 x 1 = 3 , x n + 1 =
n →∞ n →∞
所以解得 : x = 3 ( x = 0 不合题意 , 舍去) 8 . 极限的定积分法 对于某些和式的极限 , 可以考虑用定积分定义求 。 例8 求下列极限 π 1 2π n- 1 π lim sin + sin + …+ sin
x →∞
n
n
n
n
解 :原式 = π π 1 0π 2π n- 1 π sin + sin + sin + …+ sin π lim
n →∞
例4 求 lim
a=
n
n
n →∞
n n a1 + a2 + …+ an k , ai > 0 , i = 1 , 2 , …, k.
解 :记 a = max{ a1 , a2 , …, ak } 则
an <
1
n n n a1 + a2 + …+ an ka n = a k k ≤ n n →∞ n n
[ 关键词 ] 高职数学 ; 函数极限 ; 方法 [ 中图分类号 ] O174 [ 文献标识码 ] A
[ 文章编号 ] 1009 - 2323 ( 2009) 05 - 0122 - 02
解 : 原式 = lim
x+ x+ x+ x x + x
函数极限是高职数学课程中的基本运算技能 , 通常的 方法有 : 四则运算法 、 重要极限法 、 连续函数性质法 、 数列求 和法 、 无穷小性质求法 、 罗比达法 、 等量替换法等 。现就高 职数学中函数极限的特殊方法与技巧进行探讨研究 。 1. 通项分解法 通项分解法是指将数列通项或者因式分解经相约而化 简 ,或者通过积化和差经相消而化简的求极限的方法 。 1 2 n 例1 设 xn = + + …+ , 求 lim x n ( n + 1) ! n →∞ 2! 3! 解 :将通项 x n 中的通项 ( 进行积化和差 : n + 1) ! n n+1 - 1 1 1 = = ( n + 1) ! ( n + 1 ) ! n ! ( n + 1) ! 1 1 1 1 1 1 xn = + + …+ 1! 2! 2! 3! n ! ( n + 1) ! 1 =1( n + 1) ! 1 lim x n = lim 1 =1 ( n + 1) ! n →∞ n →∞ 2. 通项归一法 通项归一法是将数列通项乘除同一适当因式使其化为 一个简单式子 ,或者用其他方法化为一个简单的式子 。 例2 求 lim ( 1 + x ) ( 1 + x2 ) ( 1 + x4 ) …( 1 + x2 ) 其