2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（九）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1.集合{|2lg 1}A x x =<，{}2|90B x x =-≤，则A B =（ ）A. [3,3]-B.C. (0,3]D. [-【答案】C 【解析】 【分析】通过解不等式分别得到集合,A B ，然后再求出A B ⋂即可．【详解】由题意得{}{1|2lg 1|lg |02A x x x x x x ⎧⎫=<=<=<<⎨⎬⎩⎭， {}{}2 |9|33B x x x x =≤=-≤≤，∴{}(]|030,3A B x x ⋂=<≤=．故选C ．【点睛】解答本题的关键是正确得到不等式的解集，需要注意的是在解对数不等式时要注意定义域的限制，这是容易出现错误的地方，属于基础题． 2.复数121z i z i =+=，，其中i 为虚数单位，则12z z 的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. iD. i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数共轭的概念得到__1z ，再由复数的除法运算得到结果即可.【详解】11211,1,z i z i i z i-=-==-- 虚部为-1， 故选A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的共轭复数等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算. 3.已知sin α，sin()10αβ-=-，,αβ均为锐角，则β=（ ） A.512π B.3π C.4π D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得22ππαβ-<-<，利用三角函数的基本关系式，分别求得cos ,cos()ααβ-的值，利用sin[(]sin )ααββ=--，化简运算，即可求解.【详解】由题意，可得α，β均锐角，∴－2π <α－β<2π. 又.又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝5×310－25×10⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭＝22.∴β＝4π. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值问题，其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式，合理构造sin[(]sin )ααββ=--，及化简与运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.把60名同学看成一个总体，且给60名同学进行编号，分5为00，01，…，59，现从中抽取一容量为6的样本，请从随机数表的倒数第5行（下表为随机数表的最后5行）第11列开始向右读取，直到取足样本，则抽取样本的第6个号码为（ ）A. 32B. 38C. 39D. 26【答案】D 【解析】 【分析】从随机数表的倒数第5行第11列开始，依次向右读取两位数，大于等于60的数据应舍去，与前面取到的数据重复的也舍去，直到取足6个样本号码为止．【详解】根据随机数表抽取样本的六个号码分别为：18，00，38，58，32，26； 所以抽取样本的第6个号码为26. 故选：D.【点睛】本题主要考查了抽样方法，随机数表的使用，在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的，属于基础题．5.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，点P 是平面1111D C B A 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体分析正视图和侧视图的形状，结合题干中的数据可计算出结果.【详解】由三视图的性质和定义知，三棱锥P BCD -的正视图与侧视图都是底边长为2高为1的三角形，其面积都是11212⨯⨯=，正视图与侧视图的面积之和为112+=， 故选：A.【点睛】本题考查几何体正视图和侧视图的面积和，解答的关键就是分析出正视图和侧视图的形状，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.6.在等比数列{}n a 中，“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”与“81a =-”的互相推出情况，判断出是何种条件. 【详解】因为4124123,1a a a a +=-=，所以4120,0a a <<， 所以等比数列中4840a a q =<，所以84121a a a =-=-；又因为在常数列1n a =-中，81a =-，但是412,a a 不是所给方程的两根．所以在等比数列{}n a 中，“412,a a 是方程2310x x ++=的两根”是“81a =-”的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查数列与充分、必要条件的综合应用，难度一般.在等比数列{}n a 中，若()*2,,,,m n p q c m n p q c N +=+=∈，则有2m n p q c a a a a a ==.7.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米），左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为1.160.5ˆ37yx =-，以下结论中不正确的为（ ）A. 15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D. 身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米， 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图和回归方程的表达式，得到两个变量的关系，A 根据散点图可求得两个量的极差，进而得到结果；B ，根据回归方程可判断正相关；C 将190代入回归方程可得到的是估计值，不是准确值，故不正确；D ，根据回归方程x 的系数可得到增量为11.6厘米，但是回归方程上的点并不都是准确的样本点，故不正确. 【详解】A ，身高极差大约为25，臂展极差大于等于30，故正确；B ，很明显根据散点图像以及回归直线得到，身高矮臂展就会短一些，身高高一些，臂展就长一些，故正确；C ，身高为190厘米，代入回归方程可得到臂展估计值等于189.65厘米，但是不是准确值，故正确；D ，身高相差10厘米的两人臂展的估计值相差11.6厘米，但并不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点,故说法不正确. 故答案为D.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.8.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为5，2，则输出的n 等于（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】当1n =时，1542a b ==，，满足进行循环的条件； 当2n =时，45,84a b == 满足进行循环的条件； 当3n =时，135,168a b ==满足进行循环的条件； 当4n =时，405,3216a b ==不满足进行循环的条件， 故输出的n 值为4. 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 9.已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则||MN =A.163B. 83C. 2D.83【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线y 2＝2x 的方程组成方程组，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段AB 的长． 【详解】解：抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F （12，0），准线为l ：x ＝﹣12，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），M ，N 到准线的距离分别为d M ，d N ， 由抛物线的定义可知|MF |＝d M ＝x 1+12，|NF |＝d N ＝x 2+12，于是|MN |＝|MF |+|NF |＝x 1+x 2+1． ∵3PF MF =，则2PM QM =，易知：直线MN 的斜率为±3，∵F （12，0）， ∴直线PF 的方程为y 3（x ﹣12）， 将y 3（x ﹣12），代入方程y 2＝2x ，得3（x ﹣12）2＝2x ，化简得12x 2﹣20x +3＝0， ∴x 1+x 253=，于是|MN |＝x 1+x 2+153=+183= 故选：B ．点睛】本题考查抛物线的定义和性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．10.已知圆1C ：2220x y kx y +-+=与圆2C ：2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过定点()P a b ，，且点P 在直线20mx ny --=上，则mn 的取值范围是（ ）A. 104⎛⎫ ⎪⎝⎭， B. 104⎛⎤ ⎥⎝⎦，C. 14⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，D. 14⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】【详解】2220x y kx y +-+=与2240x y ky ++-=,相减得公共弦所在直线方程：(2)40kx k y +--=，即()(24)0k x y y +-+=，所以由240y x y +=⎧⎨+=⎩得2,2-==y x ，即(2,2)P -，因此2211122201,=(1)()244m n m n mn m m m m m +-=∴+=-=-=--+≤， 选D.点睛：在利用基本不等式求最值或值域时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.11.已知F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，定点A 为双曲线虚轴的一个顶点，过,F A 的直线与双曲线的一条渐近线在y 轴左侧的交点为B ，若(21)FA AB =-，则此双曲线的离心率是（ ）C.【答案】A 【解析】 【分析】设(),0,)0,(F c A b - ，渐近线方程为b y x a =，求出AF 的方程与b y x a =联立可得,acbc B a c a c ⎛⎫ ⎪⎝-⎭-，利用 ()21FA AB =-，可得,a c 的关系，即可求出双曲线的离心率．【详解】设(),0,)0,(F c A b -，渐近线方程为by x a=，则 直线AF 的方程为 1x y c b -=，与b y x a = 联立可得,ac bc B a c a c ⎛⎫ ⎪⎝-⎭- ， ∵()2 1FA AB =-，),,(()1)ac bcc b b a c a c∴--=+--，)1acca c∴-=-，∴cea==故选：A．【点睛】本题考查双曲线的性质，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.已知函数()(2)3,(ln2)()32,(ln2)xx x e xf xx x⎧--+≥⎪=⎨-<⎪⎩，当[,)x m∈+∞时，()f x的取值范围为(,2]e-∞+，则实数m的取值范围是（）A.1,2e-⎛⎤-∞⎥⎝⎦B. (,1]-∞ C.1,12e-⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. [ln2,1]【答案】C【解析】【分析】求导分析函数在ln2x≥时的单调性、极值，可得ln2x≥时，()f x满足题意，再在ln2x<时，求解()2f x e≤+的x的范围，综合可得结果.【详解】当ln2x≥时，()()()'12xf x x e=---，令()'0f x>，则ln21x<<；()'0f x<，则1x>，∴函数()f x在()ln2,1单调递增，在()1,+∞单调递减.∴函数()f x在1x=处取得极大值为()12f e=+，∴ln2x≥时，()f x的取值范围为(],2e-∞+，∴ln2m1≤≤又当ln2x<时，令()322f x x e=-≤+，则12ex-≥，即1x ln22e-≤<，∴1e22m ln-≤<综上所述，m的取值范围为1,12e-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选C.【点睛】本题考查了利用导数分析函数值域的方法，考查了分段函数的性质，属于难题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()2sin15,2sin 75a =︒︒，||1a b -=，a 与a b -的夹角为3π，则a b ⋅=__________. 【答案】3. 【解析】 【分析】先求a ，再分别根据向量数量积定义以及数量积运算绿求()a ab -，即可得出结果. 【详解】因为2224sin 4sin 154cos 152a ==+=，()cos13a ab a a b π-=-=，又()241a a b a a b a b -=-⋅=-⋅=， 所以3a b ⋅=. 故答案：3.【点睛】本题考查了向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属于基础题.14.()5212x ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是_________．【答案】42- 【解析】 【分析】由于52⎫⎪⎭的通项为()552rr r C -⋅⋅-，可得()5212x⎫+-⎪⎭的展开式的常 【详解】()555221222x x ⎫⎫⎫+-=-+-⎪⎪⎪⎭⎭⎭由于52⎫⎪⎭的通项为()55 2rrr C -⋅⋅-，故由题意得4r =或5,故的展开式的常数项是()()5152242C ⋅-+-=-，故选：42-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．15.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()2f x x x =-，则不等式()f x x >的解集用区间表示为__________．【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞ 【解析】设0x ＜ ，则0x -＞ ，由题意可得222222f x f x x x x x f x x x -=-=---=+∴=--（）（）（）（），（），故当0x ＜ 时，22f x x x （）．=-- 由不等式f x x （）＞ ，可得20 2x x x x ⎧⎨-⎩＞＞ ，或202x x x x ⎧⎨--⎩＜，＞ 求得3x ＞ ，或30x -＜＜， 故答案为（303，）（，）．-⋃+∞ 16.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名;乙说：我是第三名;丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是__________. 【答案】甲 【解析】 【分析】若甲正确,则乙与丙错误.则甲不是第三名,乙不是第三名,丙是第一名,矛盾,假设不成立;若乙正确,甲与丙错误.则甲是第三名,乙是第三名,丙是第一名,矛盾,假设不成立;若丙正确,甲与乙错误.则甲是第三名,乙不是第三名,丙不是第一名,即乙是第一名,丙是第二名,甲是第三名,假设成立.【详解】解:若甲的预测正确,乙与丙预测错误.则甲不是第三名,乙不是第三名,丙是第一名,即甲乙丙都不是第三名,矛盾,假设不成立;若乙的预测正确,甲与丙预测错误.则甲是第三名,乙是第三名,丙是第一名,即甲乙都是第三名,矛盾,假设不成立;若丙的预测正确,甲与乙预测错误.则甲是第三名,乙不是第三名,丙不是第一名,即乙是第一名,丙是第二名,甲是第三名,假设成立. 故答案为:甲【点睛】本题主要考查合情推理和演绎推理,考查学生的逻辑推理能力和辨析能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）17.在平面四边形ABCD中，已知AB =，3AD =，2ADB ABD ∠=∠，3BCD π∠=.（1）求BD ；（2）求BCD ∆周长的最大值. 【答案】（1）5BD =（2）15 【解析】 【分析】（1）设BD x =,ABD α∠=,则2ADB α∠=,利用正弦定理求出6cos α=,在利用余弦定理26cos 32263α==⨯⨯5x =或3x =,最后检验即可得出结果. （2）设CBD β∠=,利用正弦定理有2sin sinsin 33BDBC CDππββ==⎛⎫- ⎪⎝⎭,从而得出 BC 和CD 的表示方法,然后10sin 106BC CD πβ⎛⎫+=+≤ ⎪⎝⎭,即可得出BCD ∆周长最大值.【详解】解:（1）由条件即求BD 的长,在ABD ∆中,设BD x =,ABD α∠=,则2ADB α∠=,∵sin 2sin AB AD αα=,∴6cos 3α=,∴26cos 32263α==⨯⨯整理得28150x x -+=,解得5x =或3x =. 当3x =时可得22ADB πα∠==,与222AD BD AB +≠矛盾,故舍去∴5BD =（2）在BCD ∆中,设CBD β∠=,则2sin sinsin 33BDBC CDππββ==⎛⎫- ⎪⎝⎭∴10323BC πβ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,103CD β= ∴10333sin 10sin 103226BC CD πβββ⎛⎫⎛⎫+=+=+≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴BCD ∆周长最大值为15.【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理解三角形,考查三角形周长的最大值,是中档题.18.如图所示，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，45ABC ∠=︒，2AD AP ==，22AB DP ==，E 是CD 中点，点F 在线段PB 上.（Ⅰ）证明：AD PC ⊥； （Ⅱ）若PF = ,PB λ []0,1λ∈，求实数λ使直线EF 与平面PDC 所成角和直线EF 与平面ABCD 所成角相等.【答案】(Ⅰ) 见解析；(Ⅱ) 33-【解析】 【分析】(Ⅰ)由线面垂直的判定定理，先证明AD ⊥平面PAC ，进而可得AD PC ⊥；（Ⅱ）先结合(Ⅰ)证明PD ⊥底面ABCD ，以A 为原点，DA 延长线、AC 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系，用λ表示出直线EF 的方向向量与平面PDC 的法向量的夹角余弦值，以及直线EF 的方向向量与平面ABCD 的法向量的夹角余弦值，根据两角相等，即可得出结果.【详解】(Ⅰ)解：PAD 中222PA AD PD +=，∴90PAD ∠=︒∴AD PA ⊥； 连AC ，ABC 中2222cos 4AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠= ∴222AC BC AB +=∴AC BC ⊥，∴AD AC ⊥ 又PA AC A ⋂=∴AD ⊥平面PAC ∴AD PC ⊥(Ⅱ)由（1）：PA AD ⊥，又侧面PAD ⊥底面ABCD 于AD ，∴PD ⊥底面ABCD ，∴以A 为原点，DA 延长线、AC 、AP 分别为x 、y 、z 轴建系；∴()000A ，，，()220B ，，，()020C ，，,()200D -，，，()110E -，，，()002P ，，∴()022PC =-，，，()202PD =--，，，()222PB ，，=-， 设PFPBλ=，（[]01，λ∈），则()222PF λλλ=-，， ()2222F λλλ-+，，，()212122EF ，，λλλ=+--+ 设平面PCD 的一个法向量()m x y z =，，，则00m PC m PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得()111m =--，， 又平面ABCD 的一个法向量()001n =，，由题：cos cos EF m EF n =，，，即2223EFEFλλ-=解得：332λ-=【点睛】本题主要考查线面垂直的性质和已知线面角之间的关系求参数的问题，对于线面角的问题，通常用空间向量的方法，求出直线的方向向量以及平面的法向量，即可求解，属于常考题型.19.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）详分布列见解析，35. 【解析】 【分析】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝，则可知1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥，且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12C B B =+，再利用概率的加法公式即可求解；（2）分析题意可知1(3,)5X B ~，分别求得0331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，即可知的概率分布及其期望.【详解】（1）记事件1A =｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，2A =｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝， 1B =｛顾客抽奖1次获一等奖｝，2B =｛顾客抽奖1次获二等奖｝，C =｛顾客抽奖1次能获奖｝， 由题意，1A 与2A 相互独立，12A A 与12A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且1B =12A A ，2B =12A A +12A A ，12CB B =+， ∵142()105P A ==，251()102P A ==， ∴11212211()()()()525P B P A A P A P A ===⨯=，2121212121212()()()()()(1())(1())()P B P A A A A P A A P A A P A P A P A P A =+=+=-+-21211(1)(1)52522=⨯-+-⨯=， 故所求概率为1212117()()()()5210P C P B B P B P B =+=+=+=； （2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15， ∴1(3,)5X B ~，于是00331464(0)()()55125P X C ===；11231448(1)()()55125P X C ===；22131412(2)()()55125P X C ===；3303141(3)()()55125P X C ===，故的分布列为123P6412548125121251125的数学期望为13()355E X =⨯=. 考点：1.概率的加法公式；2.离散型随机变量的概率分布与期望.【名师点睛】本题主要考查了离散型随机变量的概率分布与期望以及概率统计在生活中的实际应用，这一直都是高考命题的热点，试题的背景由传统的摸球，骰子问题向现实生活中的热点问题转化，并且与统计的联系越来越密切，与统计中的抽样，频率分布直方图等基础知识综合的试题逐渐增多，在复习时应予以关注.20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率22e =，过右焦点F 且垂直于x 轴的弦长为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线:l y x m =+与椭圆C 交于,M N 两点，求MFN △的面积取最大值时m 的值．【答案】（1）22142x y +=；（2）2m =. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率和椭圆的几何性质，即可求出结果；（2）联立方程得22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2234240x mx m ++-=，再根据韦达定理和弦长公式可得2126||2|=3m MN x x -=-，由点到直线的距离公式可得点(2,0)F 到直线MN 的距离22d =22|2|6FMN S m m =⋅-△()22()6(2)(||6)u m m m m =-<，利用导数在函数最值中的应用，即可求出结果.【详解】解：(1)设右焦点(c,0)F ，x c =代入椭圆方程得2by a=±由题意知2222222c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩C 的方程为22142x y +=．(2)联立方程得22142x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得2234240x mx m ++-=， ()2221612248480m m m ∆=--=-+>，∴||m <． 设()11,M x y ，()22,N x y ，∴1243m x x +=-，212243m x x -=，∴12|||3MN x x =-===． 又点F 到直线MN的距离d =∴1|||||2FMN S MN d m m =⋅=<△．令()22()6((||u m mm m =-<，则()2(2u m m m m '=-++，令()0u m '=，得m=或m =或m =，当2m <-时，()0um '>；当2m -<<()0u m '<；当m <时，()0um '>m <<()0u m '<． 又324u ⎛-=⎝⎭，32u=，∴max()32u m=，∴当m =时，MFN △的面积取得最大值，最大值为833=． 【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系和椭圆中三角形面积最值的求法，属于中档题.21.已知函数()()1xf x a x e =--，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间及极值； （2）设()()22ln m g x x t x t ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，当1a =时，存在()1,x ∈-∞+∞，()20,x ∈+∞，使方程()()12f x g x =成立，求实数m 的最小值．【答案】（1）单调递增区间为(,1)x a ∈-∞-，单调递减区间为(1,)x a ∈-+∞.函数()f x 有极大值且为1(1)1a f a e --=-，()f x 没有极小值.（2）1e-【解析】 【分析】（1）通过求导，得到导函数零点为1x a =-，从而可根据导函数正负得到单调区间，并可得到极大值为()1f a -，无极小值；（2）由()f x 最大值为0且()0g x ≥可将问题转化为ln x xm=有解；通过假设()ln h x x x =，求出()h x 的最小值，即为m 的最小值.【详解】（1）由()()1x f x a x e =--得：()()1x f x a x e '=--令()0f x '=，则()10xa x e --=，解得1x a =-当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '> 当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '<()f x 的单调递增区间为(),1x a ∈-∞-，单调递减区间为()1,x a ∈-+∞当1x a =-时，函数()f x 有极大值()111a f a e--=-，()f x 没有极小值（2）当1a =时，由（1）知，函数()f x 在10x a =-=处有最大值()0010f e =-= 又因为()()22ln 0m g x x t x t ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭∴方程()()12f x g x =有解，必然存在()20,x ∈+∞，使()20g x =x t ∴=，ln mx t =等价于方程ln x xm=有解，即ln m x x =在()0,∞+上有解记()ln h x x x =，()0,x ∈+∞()ln 1h x x '∴=+，令()0h x '=，得1x e=当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增所以当1x e =时，()min 1h x e=- 所以实数m 的最小值为1e-【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.【选修4-4：极坐标与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:y t C x t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩t 为参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2226:2cos C ρθ=+．（1）求曲线1C 的普通方程及2C 的直角坐标方程；（2）设121,1t t ==-在曲线1C 上对应的点分别为,,A B P 为曲线2C 上的点，求PAB △面积的最大值和最小值．【答案】（1）0x y +-=，22123x y +=；（2）最大值和最小值分别为 【解析】 【分析】（1）先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把极坐标方程化成普通方程；（2）由(1)得点)P θθ，利用点到直线距离公式可得点P 到直线AB距离d =；再由121,1t t ==-，可得||AB =，由此即可求出PAB △面积的最值．【详解】(1)由曲线1:y t C x t ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩1C 的普通方程为0x y +-=．由2226:2cos C ρθ=+得()222cos 6ρθ+=，2222cos 6ρρθ+=，22326x y +=，所以曲线2C 的直角坐标方程为22123x y+=．(2)由(1)得点)P θθ，点P 到直线AB 的距离d ==tan ϕ=，所以max d ==，min d ==．又当121,1t t ==-时，(1,1A -+，(1,1B -+，||AB =所以PAB △面积的最大值和最小值分别为．【点睛】本题考查普通方程、参数方程与极坐标方程之间的互化，同时也考查了利用极坐标方程和参数方程求解面积最值问题，考查计算能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()|||2|(0)f x x m x m =-++>. （1）若函数()f x 的最小值为3，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，若正数,,a b c 满足2a b c m ++=，求证：114a b b c+≥++. 【答案】（1）1m =；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用绝对值三角不等式可得()|||2||()(2)||2|f x x m x x m x m =-++≥--+=+,则|2|3m +=,即可求解；（2）由（1）可得21a b c ++=,即()()1a b b c +++=,则1111[()()]a b b c a b b c a b b c ⎛⎫+=++++ ⎪++++⎝⎭,进而利用均值不等式证明即可.【详解】（1）解:∵()|||2||()(2)||2|f x x m x x m x m =-++≥--+=+, ∴|2|3m +=, 又∵0m >,∴1m =.（2）证明:由（1）知1m =,∴21a b c ++=,即()()1a b b c +++=,正数,,a b c,∴1111[()()]2224b c a ba b b ca b b c a b b c a b b c++⎛⎫+=++++=++≥+= ⎪++++++⎝⎭,当且仅当b c a ba b b c++=++时等号成立.【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值,考查利用均值不等式证明不等式,考查“1”的代换的应用.。