第一章 集合与常用逻辑用语第3课时 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (对应学生用书(文)、(理)5～6页)1. (选修11P20第4(1)题改编)命题“若a 、b 、c 成等比数列，则ac ＝b2”的逆否命题是________________________________________________________________________． 答案：若ac≠b 2，则a 、b 、c 不成等比数列2. (选修11P20第6题改编)若命题p 的否命题为q ，命题q 的逆否命题为r ，则p 与r 的关系是__________． 答案：互为逆命题3. (选修11P20第7题改编)已知p 、q 是r 的充分条件，r 是s 的充分条件，q 是s 的必要条件，则s 是p 的__________条件． 答案：必要不充分4. (原创)写出命题“若x ＋y ＝5，则x ＝3且y ＝2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．答案：逆命题：若x＝3且y ＝2，则x ＋y ＝5.是真命题． 否命题：若x ＋y≠5，则x≠3或y≠2.是真命题． 逆否命题：若x≠3或y≠2，则x ＋y≠5.是假命题． 5. 下列命题中的真命题有________．(填序号) ① x ∈R ，x ＋1x ＝2； ② x ∈R ，sinx ＝－1； ③ x ∈R ，x2>0； ④x ∈R ，2x>0.答案：①②④解读：对于①，x ＝1时，x ＋1x ＝2，正确；对于②，当x ＝3π2时，sinx ＝－1，正确；对于③，x ＝0时，x2＝0，错误；对于④，根据指数函数的值域，正确．6. 命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：____________________________．答案：所有的三角形都不是等边三角形1. 四种命题及其关系(1) 四种命题(2) 四种命题间的逆否关系(3) 四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2. 充分条件与必要条件(1) 如果p q，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．(2) 如果p q，且q p，那么称p是q的充要条件，记作p q.(3) 如果p q，q p，那么称p是q的充分不必要条件．(4) 如果q p，p q，那么称p是q的必要不充分条件．(5) 如果p/ q，且q/ p，那么称p是q的既不充分也不必要条件．3. 简单的逻辑联结词(1) 用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．(2) 用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．(3) 对一个命题p全盘否定记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．(4) 命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．4. 全称量词与存在量词(1) 全称量词与全称命题短语“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，并用符号“x”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．(2) 存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，并用符号“x ”表示．含有存在量词的命题，叫做存在性命题．存在性命题“存在M 中的一个x ，使p(x)成立”可用符号简记为x ∈M ，p(x)，读作“存在一个x 属于M ，使p(x)成立”． 5. 含有一个量词的命题的否定x ∈M ，p(x) x ∈M ，p(x)； x ∈M ，p(x)x ∈M ，p(x).[备课札记]题型1 否命题与命题否定例1 (1) 命题“若a ＞b ，则2a ＞2b －1”的否命题为____________________________； (2) 命题：“若x2＋x －m ＝0没有实根，则m≤0”是____(填“真”或“假”)命题； (3) 命题p ：“有些三角形是等腰三角形”，则p 是____________________． 答案：(1) 若a≤b ，则2a ≤2b －1 (2) 真 (3) 所有三角形都不是等腰三角形解读：(2) 很可能许多同学会认为它是假命题原因为当m ＝0时显然方程有根，其实不然，由x2＋x －m ＝0没实根可推得m<－14，而{m|m<－14}是{m|m≤0}的真子集，由m<－14可推得m ≤0，故原命题为真，而它的逆否命题“若m>0，则x2＋x －m ＝0有实根”显然为真，其实用逆否命题很容易判断它是真命题．(3) p 为“对任意x ∈A ，有p(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反． 变式训练把下列命题改写成“若p 则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题． (1) 正三角形的三个内角相等；(2) 已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d.解：(1) 原命题：若一个三角形是正三角形，则它的三个内角相等． 逆命题：若一个三角形的三个内角相等，则这个三角形是正三角形． 否命题：若一个三角形不是正三角形，则它的三个内角不全相等．逆否命题：若一个三角形的三个内角不全相等，那么这个三角形不是正三角形． (2) 原命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＝b ，c ＝d ，则a ＋c ＝b ＋d.逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c ＝b ＋d ，则a ＝b 且c ＝d.否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a 与b ，c 与d 不都相等，则a ＋c≠b ＋d. 逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若a ＋c≠b ＋d ，则a 与b ，c 与d 不都相等． 题型2 充分必要条件例2 已知p ：x2－8x －20≤0，q ：x2－2x ＋1－m2≤0(m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x2－8x －20＞0，得x ＜－2或x ＞10， 设A ＝{x|x ＜－2或x ＞10}，q ：x2－2x ＋1－m2＞0，得x ＜1－m ，或x ＞1＋m ，设B ＝{x|x ＜1－m 或x ＞1＋m}． ∵ p 是q 的必要非充分条件，∴ B 真包含于A ，即⎩⎪⎨⎪⎧1－m≤－21＋m≥10m ≥9.∴ 实数m 的取值范围为m≥9.备选变式（教师专享）下列四个结论正确的是________．(填序号) ① “x ≠0”是“x ＋|x|>0”的必要不充分条件；② 已知a 、b ∈R ，则“|a ＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；③ “a>0，且Δ＝b2－4ac≤0”是“一元二次不等式ax2＋bx ＋c≥0的解集是R”的充要条件； ④ “x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件． 答案：①③解读：① 因为由x≠0推不出x ＋|x|>0，如x ＝－1，x ＋|x|＝0，而x ＋|x|>0x ≠0，故①正确；因为a ＝0时，也有|a ＋b|＝|a|＋|b|，故②错误，正确的应该是“|a ＋b|＝|a|＋|b|”的充分不必要条件是ab>0；由二次函数的图象可知③正确；x ＝－1时，有x2＝1，故④错误，正确的应该是“x≠1”是“x 2≠1”的必要不充分条件． 题型3 全称命题与存在性命题的否定例3 命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是_______________________________．答案：存在一个不能被2整除的整数不是奇数 备选变式（教师专享）若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为_____________________________．答案：所有能被2整除的整数都不是奇数 题型4 求参数范围例4 已知命题p ：方程a2x2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式x2＋2ax ＋2a≤0，若命题“p 或q”是假命题，求实数a 的取值范围． 解：由a2x2＋ax －2＝0，得 (ax ＋2)(ax －1)＝0， 显然a≠0，∴ x ＝－2a 或x ＝1a .∵ x ∈[－1，1]，故⎪⎪⎪⎪2a ≤1或⎪⎪⎪⎪1a ≤1， ∴ |a|≥1.由题知命题q“只有一个实数x 满足x2＋2ax ＋2a≤0”， 即抛物线y ＝x2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴ Δ＝4a2－8a ＝0，∴ a ＝0或a ＝2，∴ 当命题“p 或q”为真命题时|a|≥1或a ＝0. ∵ 命题“p 或q”为假命题，∴ a 的取值范围为{a|－1<a<0或0<a<1}． 备选变式（教师专享）已知命题p ：函数y ＝loga(1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若p ∨q 是真命题，求实数a 的取值范围． 解：∵ 命题p ：函数y ＝loga(1－2x)在定义域上单调递增，∴ 0<a<1. 又命题q ：不等式(a －2)x2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，∴ a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）<0， 即－2<a≤2.∵ p ∨q 是真命题，∴ a 的取值范围是－2<a≤2.命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是___________________________ ________________________．答案：存在一个能被2整除的数不是偶数2. 设α、β为两个不同的平面，直线l α，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的________条件． 答案：充分不必要解读：根据定理知由l ⊥β可以推出α⊥β.反之不成立，仅当l 垂直于α、β的交线时才成立． 3. “若a ＋b 为偶数，则a 、b 必定同为奇数或偶数”的逆否命题为__________________________．答案：若a 、b 不同为奇数且不同为偶数，则a ＋b 不是偶数4．已知命题p1：函数y ＝ln(x ＋1＋x2)，是奇函数，p2：函数y ＝x 12为偶函数，则下列四个命题：① p1∨p2；② p 1∧p2；③ (p1)∨p2；④ p 1∧(p2)． 其中，真命题是________．(填序号) 答案：①④解读：由函数的奇偶性可得命题p1为真命题，命题p2为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．1. 若a 、b 为实数，则 “0<ab<1”是“b<1a ”的________条件． 答案：既不充分也不必要解读：0<ab<1，a 、b 都是负数时，不能推出b<1a ；同理b<1a 也不能推出0<ab<1.2. 在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的个数记为f(p)，已知命题p ：“若两条直线l1：a1x ＋b1y ＋c1＝0，l2：a2x ＋b2y ＋c2＝0平行，则a1b2－a2b1＝0”．那么f(p)＝________． 答案：2解读：若两条直线l1：a1x ＋b1y ＋c1＝0与l2：a2x ＋b2y ＋c2＝0平行，则必有a1b2－a2b1＝0，但当a1b2－a2b1＝0时，直线l1与l2不一定平行，还有可能重合，因此命题p 是真命题，但其逆命题是假命题，从而其否命题为假命题，逆否命题为真命题，所以在命题p 的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，有2个正确命题，即f(p)＝2.3. 设命题p ：关于x 的不等式2|x －2|<a 的解集为；命题q ：函数y ＝lg(ax2－x ＋a)的值域是R.如果命题p 和q 有且仅有一个正确，求实数a 的取值范围． 解：由不等式2|x －2|<a 的解集为得a≤1.由函数y ＝lg(ax2－x ＋a)的值域是R 知ax2－x ＋a 要取到所有正数， 故⎩⎪⎨⎪⎧a>0Δ＝1－4a2≥00<a ≤12 或a ＝0即0≤a≤12. 由命题p 和q 有且仅有一个正确得a 的取值范围是(－∞，0)∪⎝⎛⎦⎤12，1.4. 设数列{an}、{bn}、{cn}满足：bn ＝an －an ＋2，cn ＝an ＋2an ＋1＋3an ＋2(n ＝1，2，3，…)，求证：{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn ≤bn ＋1(n ＝1，2，3，…)．证明：必要性：设{an}是公差为d1的等差数列，则bn ＋1－bn ＝(an ＋1－an ＋3) － (an －an ＋2)＝ (an ＋1－an) － (an ＋3－an ＋2)＝ d1－ d1＝0， 所以bn ≤bn ＋1(n ＝1，2，3，…)成立．又cn ＋1－cn ＝(an ＋1－an)＋2(an ＋2－an ＋1)＋3(an ＋3－an ＋2)＝ d1＋2d1 ＋3d1 ＝6d1(常数)(n ＝1，2，3，…)， 所以数列{cn}为等差数列． 充分性：设数列{cn}是公差为d2的等差数列，且bn ≤bn ＋1(n ＝1，2，3，…)． ∵ cn ＝an ＋2an ＋1＋3an ＋2， ①∴ cn ＋2＝an ＋2＋2an ＋3＋3an ＋4， ②①－②，得cn －cn ＋2＝(an －an ＋2)＋2 (an ＋1－an ＋3)＋3 (an ＋2－an ＋4)＝bn ＋2bn ＋1＋3bn ＋2.∵ cn －cn ＋2＝(cn －cn ＋1)＋(cn ＋1－cn ＋2)＝ －2d2， ∴ bn ＋2bn ＋1＋3bn ＋2＝－2d2， ③从而有bn ＋1＋2bn ＋2＋3bn ＋3＝－2d2， ④④－③，得(bn ＋1－bn)＋2 (bn ＋2－bn ＋1)＋3 (bn ＋3－bn ＋2)＝0.⑤ ∵ bn ＋1－bn ≥0，bn ＋2－bn ＋1≥0，bn ＋3－bn ＋2≥0， ∴ 由⑤得bn ＋1－bn ＝0(n ＝1，2，3，…)．由此不妨设bn ＝d3 (n ＝1，2，3，…)，则an －an ＋2＝d3(常数)． 由此cn ＝an ＋2an ＋1＋3an ＋2cn ＝4an ＋2an ＋1－3d3， 从而cn ＋1＝4an ＋1＋2an ＋2－5d3，两式相减得cn ＋1－cn ＝2(an ＋1－an) －2d3，因此an ＋1－an ＝12(cn ＋1－cn)＋d3＝12d2＋d3(常数) (n ＝1，2，3，…)， ∴ 数列{an}为等差数列．1. 在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．2. 充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．3. 含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1) p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即一真全真； (2) p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即一假即假； (3) p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．请使用课时训练(A)第3课时(见活页)．[备课札记]。