第12讲 二次函数【考点导引】1.理解二次函数的有关概念．2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题． 4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题． 5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【难点突破】1. 二次函数2y ax bx c =++，配方为22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，顶点坐标是(2b a -，244ac b a -)，对称轴是a ＝2ba-，与y 轴交点坐标是(0，c )，与x 轴交点的横坐标是20ax bx c ++=的根，当a ＞0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小．2. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a 、b 、c 关系，再结合对称轴x ＝ab2-，确定a 、b 之间等量关系，判断与x 轴交点情况则利用判别式b 2－4ac ． 3. 抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体为：（1）上下平移：抛物线y =a (x －h )2+k 向上平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k +m ；抛物线y =a (x －h )2+k 向下平移m （m >0）个单位，所得抛物线的解析式为y =a (x －h )2+k －m ．（2）左右平移：抛物线y=a(x －h)2+k 向左平移n （n>0）个单位，所得抛物线的解析式为y=a(x －h+n)2+k ；抛物线y=a(x －h)2+k 向右平移n （n>0）个单位，所得的抛物线的解析式为y=a(x －h －n)2+k. 特别地，要注意其中的符号处理． 【解题策略】1. （1）二次函数y ＝2ax bx c ++（≠0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系：，， 的代数式决定图象特征说明决定抛物线的开口方向 ＞0开口向上 ＜0 开口向下决定抛物线与y 轴交点的位置，交点坐标为＞0 与y 轴交点在轴上方 ＝0抛物线过原点（2）二次函数y ＝ax bx c ++（≠0）的图象与轴两个交点的横坐标就是一元二次方程ax bx c ++＝0（≠0）的两个根．2. 在探讨动态问题时，首先要对运动过程做一个全面、全程的答案，弄清楚运动过程中的变量和常量，其次，要分清运动过程中不同的位置关系，找到相邻两种状态的分界点，例如这道题的分界点是x =2，根据不同的情况分类讨论，画出图形，然后把图中的线段用含有运动时间t 或者自变量x 的代数式表示出来，然后考虑构建方程、不等式或函数关系式；3. 解答有关二次函数图象问题时，要抓住抛物线与x 轴、y 轴的交点、对称轴、顶点坐标、特殊点，解决此类题型常用的方法是从二次函数的图象性质出发，通常采用把已知点坐标代入解析式中找出a 、b 、c 关系，再结合对称轴x ＝ab2-，确定a 、b 之间等量关系，判断与x 轴交点情况则利用判别式b 2－4ac ． 4. 抛物线上点的纵坐标比较大小的基本方法有以下三种：（1）把各点利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把各点转化到对称轴的同侧，再利用二次函数的增减性进行比较大小；（2）当已知具体的抛物线的解析式及相应点的横坐标确定时，可先求出相应点的纵坐标，然后比较大小； （3）利用“开口向上，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越小，开口向下，抛物线上的点距离对称轴越近，点的纵坐标越大”也可以比较大小. 【典例精析】类型一：二次函数的图象及性质【例1】( 2019甘肃省兰州市) （5分）已知，点A （1，y 1），B （2，y 2）在抛物线y ＝－（x+1）2 +2上，则下列结论正确的是（ ）A. 2> y 1> y 2B. 2 > y 2 > y 1C. y 1> y 2>2D. y 2 > y 1>2 【答案】A ．【解析】根据二次函数顶点式得到函数的开口向下，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标（－1，2 ），根据函数增减性可以得到，当x>－1时，y 随x 的增大而减小.因为－1<1<2.，所以2> y 1> y 2 .故选A. 【点评】比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断． 类型二：利用二次函数图象判断a ，b ，c 的符号【例2】(2019，四川成都，3分）如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象经过点A （1，0），B （5，0），下列说法正确的是（ ）A.0>cB.042<-ac b C.0<+-c b a D.图象的对称轴是直线3=x【答案】D【解析】此题考查二次函数的基本概念以及二次函数的图象。

A 选项中，C 表示的是二次函数c bx ax ++=2y 与x 轴的交点，由图象可知图象与y 轴交点位于y 轴正半轴，故c>0. B 选项中，表示△，函数图象与x 轴有两个交点，所以△>0，即。

C 选项中，令x 曲-1，可得y=a －b ＋c ，即x=－1时函数的取值。

观察图象可知x ＝－1时y ＞0，所以a －b ＋c ＞0. 最后D 选项中，根据图象与x 轴交点可知，对称轴是（1，0）.（5，0）两点的中垂线，251+=x ，x ＝3即为函数对称轴。

故选D 。

类型三：二次函数图象的平移【例3】（2019▪黑龙江哈尔滨▪3分）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ） A ．y ＝2（x +2）2+3 B ．y ＝2（x ﹣2）2+3 C ．y ＝2（x ﹣2）2﹣3 D ．y ＝2（x +2）2﹣3【答案】B【解答】解：将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y ＝2（x ﹣2）2+3， 故选：B ．类型四：确定二次函数的解析式【例4】.(2019，山西，3分）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象-抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米（即最高点O 到AB 的距离为78米），跨径为90米（即AB=90米），以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴简历平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（ ）A.267526x y =B.267526x y -=C.2135013x y =D.2135013x y -=图1 图2【答案】B【解析】设抛物线的解析式为,2ax y =将)78,45(-B 代入得：67526,45782-=∴⋅=-a a ∴抛物线解析式为：267526x y -=，故选B 类型五：二次函数的实际应用【例5】（2019▪贵州毕节12分）某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种士特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：x （元） 15 20 30 … y （袋）252010…若日销售量y 是销售价x 的一次函数，试求：（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】（1）y ＝﹣x +40（2）当x ＝2时，w 取得最大值，最大值为225 【解答】解：（1）依题意，根据表格的数据，设日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为y ＝kx +b 得，解得故日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式为：y ＝﹣x +40 （2）依题意，设利润为w 元，得 w ＝（x ﹣10）（﹣x +40）＝﹣x 2+50x +400 整理得w ＝﹣（x ﹣25）2+225 ∵﹣1＜0∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．类型六：二次函数与几何图形的综合应用【例6】（2019•山东省滨州市•14分）如图①，抛物线y＝﹣x2+x+4与y轴交于点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．（1）求直线AD的函数解析式；（2）如图②，若点P是直线AD上方抛物线上的一个动点①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②当点P到直线AD的距离为时，求sin∠P AD的值．【答案】（1）y＝﹣x+4；（2）①点P的坐标是（6，），最大距离是；②，sin∠P AD的值是或．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，则点A的坐标为（0，4），当y＝0时，0＝﹣x2+x+4，解得，x1＝﹣4，x2＝8，则点B的坐标为（﹣4，0），点C的坐标为（8，0），∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D的坐标为（4，0），设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），则点N的坐标为（t，﹣t+4），∴PN＝（﹣t2+t+4）﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，∴PH＝＝（﹣t2+t）＝t＝﹣（t﹣6）2+，∴当t＝6时，PH取得最大值，此时点P的坐标为（6，），即当点P到直线AD的距离最大时，点P的坐标是（6，），最大距离是；②当点P到直线AD的距离为时，如右图②所示，则t＝，解得，t1＝2，t2＝10，则P1的坐标为（2，），P2的坐标为（10，﹣），当P1的坐标为（2，），则P1A＝＝，∴sin∠P1AD＝＝；当P2的坐标为（10，﹣），则P2A＝＝，∴sin∠P2AD＝＝；由上可得，sin∠P AD的值是或．【真题检测】1. （2019•浙江衢州•3分）二次函数y=（x-1）2+3图象的顶点坐标是（ ） A. (1，3) B. （1，-3) C. （-1，3） D. （-1，-3） 【答案】 A【解析】二次函数y=a （x-h ）^2+k 的性质，∵y=（x-1）2+3， ∴二次函数图像顶点坐标为：（1，3）.故答案为：A.2. （2019•山东省济宁市 •3分）将抛物线y ＝x 2﹣6x +5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A ．y ＝（x ﹣4）2﹣6 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣3 C ．y ＝（x ﹣2）2﹣2 D ．y ＝（x ﹣4）2﹣2【答案】D【解答】解：y ＝x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4，即抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2） 所以平移后得到的抛物线解析式为y ＝（x ﹣4）2﹣2．故选：D ．3. （2019▪广西河池▪3分）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1，则下列结论中，错误的是（ ）A ．ac ＜0B ．b 2﹣4ac ＞0C ．2a ﹣b ＝0D ．a ﹣b +c ＝0【答案】C【解答】解：A.由抛物线的开口向下知a ＜0，与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，可得c ＞0，因此ac ＜0，故本选项正确，不符合题意；B.由抛物线与x 轴有两个交点，可得b 2﹣4ac ＞0，故本选项正确，不符合题意；C.由对称轴为x ＝﹣2ba＝1，得2a ＝﹣b ，即2a +b ＝0，故本选项错误，符合题意； D.由对称轴为x ＝1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x 轴的另外一个交点是（﹣1，0），所以a ﹣b +c ＝0，故本选项正确，不符合题意． 故选：C ．4. （2019•山东省德州市 •4分）在下列函数图象上任取不同两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），一定能使2121y y x x --＜0成立的是（ ）A ．y ＝3x ﹣1（x ＜0）B ．y ＝﹣x 2+2x ﹣1（x ＞0）C ．y（x ＞0） D ．y ＝x 2﹣4x ﹣1（x ＜0） 【答案】D【解答】解：A.∵k ＝3＞0∴y 随x 的增大而增大，即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 ∴当x ＜0时，2121y y x x --＞0，故A 选项不符合； B.∵对称轴为直线x ＝1，∴当0＜x ＜1时y 随x 的增大而增大，当x ＞1时y 随x 的增大而减小， ∴当0＜x ＜1时：当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时2121y y x x --＞0，故B 选项不符合；C.当x ＞0时，y 随x 的增大而增大， 即当x 1＞x 2时，必有y 1＞y 2 此时2121y y x x --＞0，故C 选项不符合； D.∵对称轴为直线x ＝2，∴当x ＜0时y 随x 的增大而减小， 即当x 1＞x 2时，必有y 1＜y 2 此时2121y y x x --＜0，故D 选项符合； 故选：D ．5. （2019•江苏连云港•3分）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD ，其中∠C ＝120°．若新建墙BC 与CD 总长为12m ，则该梯形储料场ABCD 的最大面积是（ ）A．18m2B．18 3m2C．24 3m2D．4532m2【答案】C【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，CD＝AE＝x，∠DCE＝∠CEB＝90°，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝12﹣x，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE＝12BC＝6﹣12x，∴AD＝CE＝3BE＝63﹣32x，AB＝AE+BE＝x+6﹣12x＝12x+6，∴梯形ABCD面积S＝12（CD+AB）•CE＝12（x+12x+6）•（63﹣32x）＝﹣338x2+33x+183＝﹣3388（x﹣4）2+243，∴当x＝4时，S最大＝243．即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；故选：C．6. （2019•甘肃武威•4分）将二次函数y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y＝（x﹣2）2+1．【答案】y＝（x﹣2）2+1．．【解答】解：y＝x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，所以，y＝（x﹣2）2+1．故答案为：y＝（x﹣2）2+1．7. （2019•湖北天门•3分）矩形的周长等于40，则此矩形面积的最大值是100．【答案】100．【解答】解：设矩形的宽为x，则长为（20﹣x），S＝x（20﹣x）＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣10）2+100，当x＝10时，S最大值为100．故答案为100．8. （2019•四川省凉山州•5分）当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，则a的取值范围是﹣3≤a≤1．【答案】﹣3≤a≤1【解答】解：法一：y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点则有a＝（x﹣1）2﹣3，整理得x2﹣2x﹣2﹣a＝0∴△＝b2﹣4ac＝4+4（2+a）≥0解得a≥﹣3，∵0≤x≤3，对称轴x＝1∴y＝（3﹣1）2﹣3＝1∴a≤1法二：由题意可知，∵抛物线的顶点为（1，﹣3），而0≤x≤3∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1∵y＝a，则直线y与x轴平行，∴要使直线y＝a与抛物线y＝（x﹣1）2﹣3有交点，∴抛物线y的取值为﹣3≤y≤1，即为a的取值范围，∴﹣3≤a≤1，故答案为：﹣3≤a≤19. 在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．【答案】（﹣1010，10102）．【解答】解：∵A 点坐标为（1，1），∴直线OA 为y ＝x ，A 1（﹣1，1），∵A 1A 2∥OA ，∴直线A 1A 2为y ＝x +2，解22y x y x =+⎧⎨=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩或24x y =⎧⎨=⎩， ∴A 2（2，4），∴A 3（﹣2，4），∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y ＝x +6，解26y x y x =+⎧⎨=⎩得24x y =-⎧⎨=⎩或39x y =⎧⎨=⎩， ∴A 4（3，9），∴A 5（﹣3，9）…，∴A 2019（﹣1010，10102），故答案为（﹣1010，10102）．10. （2019•湖北省鄂州市•10分）“互联网+”时代上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？【答案】（1）y＝﹣5x+500；（2）当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．【解答】解：（1）由题意可得：y＝100+5（80﹣x）整理得y＝﹣5x+500；（2）由题意，得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500∵a＝﹣5＜0∴w有最大值即当x＝70时，w最大值＝4500∴应降价80﹣70＝10（元）答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；（3）由题意，得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4220+200解之，得：x1＝66，x2 ＝74，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当66≤x≤74时，符合该网店要求而为了让顾客得到最大实惠，故x＝66∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．11. （2019•湖北省咸宁市•12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．【答案】（1）．（2）点D的坐标为（2，3）（3）E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）【解答】解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2∴A（4，0），B（0，2）把A（4，0），B（0，2），代入，得，解得∴抛物线得解析式为（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE∴∠DBE＝∠ABE∴∠DBE＝∠BAC设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF＝∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝∴＝，即解得x1＝0（舍去），x2＝2当x＝2时，＝3∴点D的坐标为（2，3）（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF设E（m，），F（m，）EF＝|（）﹣（）|＝2解得m 1＝2，，当BO为对角线时，OB与EF互相平分过点O作OF∥AB，直线OF交抛物线于点F（）和（）求得直线EF解析式为或直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）。