第八篇二次函数的图像及性质【考纲传真】1. 理解二次函数的有关概念．2．会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．4．熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．5．会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．【复习建议】二次函数是中考的重点容，题型主要有选择题、填空题及解答题，而且常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查，且一般为压轴题．中考命题不仅考查二次函数的概念、图象和性质等基础知识，而且注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决实际问题能力的考查．【考点梳理】考点一二次函数的概念一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．注意：(1)二次项系数a≠0；(2)ax2＋bx＋c必须是整式；(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；(4)自变量x的取值围是全体实数．考点二二次函数的图象及性质考点三二次函数图象的特征与a，b，c及b2－4ac的符号之间的关系考点四二次函数图象的平移抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2，y＝ax2＋k，y＝a(x－h)2＋k中|a|相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置的不同．它们之间的平移关系如下表：考点五二次函数的应用设一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值．考点六二次函数与方程不等式之间的关系1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．2．ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标．3．当Δ＝b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个不同的交点；当Δ＝b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当Δ＝b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．【典例探究】考点一二次函数的概念【例1】下列各式中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．xy+x 2=2B ．x 2-2y+2=0C ．y=21x D ．y 2-x=0 【变式1】若y=（m+1）562--m mx 是二次函数，则m 的值为 ．考点二 根据实际问题列二次函数关系式 【例2】图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）A ．22x y -=B ．22x y =C ．221x y -=D ．221x y -=【变式2】如图，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别是边BC 和CD 上的动点（不与正方形的顶点重合），不管E 、F 怎样动，始终保持AE ⊥EF ．设BE=x ，DF=y ，则y 是x 的函数，函数关系式是（ ）A ．1+=x yB ．1-=x yC ．12+-=x x yD ．12--=x x y考点三 二次函数对称轴、顶点、与坐标轴的交点【例3】已知抛物线y=ax 2+bx 和直线y=ax+b 在同一坐标系的图象如图，其中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【变式3】抛物线y=-x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值围是 ．考点四 二次函数图象的平移【例4】二次函数y ＝－2x 2＋4x ＋1的图象怎样平移得到y ＝－2x 2的图象( )．A ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位【变式4】已知二次函数y=-23212+--=x x y ． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（2）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值围；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．考点五二次函数的应用【例5】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜50 50≤x≤90售价（元/件）x+40 90每天销量（件）200-2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．【变式5】如图，已知抛物线y=x2-x-6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．考点六二次函数与方程及不等式之间的关系【例6】如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值围．【变式6】如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）【课堂小结】1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线x ＝ h ，也可应用对称轴公式ab x 2-=，顶点坐标（a b ac a b 44,22--）来求顶点坐标及对称轴．2．比较两个二次函数值大小的方法：(1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断；(3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．3．根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意开口方向与a 的关系，抛物线与y 轴的交点与c 的关系，对称轴与a ，b 的关系，抛物线与x 轴交点数目与b 2-4ac 的符号的关系；当x=1时，决定a+b+c 的符号，当x=-1时，决定a-b+c 的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．4．二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．5．运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：(1)．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值围．(2)．在自变量取值围，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．【课堂练习】1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y（2）2)1()2)(2(---+=x x x y （3）x x y 12+= （4）322-+=x x y2、二次函数5)3(22---=x y 的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；3、当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k kx k y 为二次函数？画出其函数的图象．3、函数)32(x x y -=，当x 为 时，函数的最大值是 ；4、二次函数x x y 2212+-=，当x 时， 0<y ;且y 随x 的增大而减小；5、如图，抛物线的顶点P 的坐标是(1，－3)， 则此抛物线对应的二次函数有（ ）(A)最大值1 (B)最小值－3 O(C)最大值－3 (D)最小值1 X P6、已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图3所示，给出以下结论：①a +b +c ＜0；② a -b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 . 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．③④ B ．②③ C ．①④ D ．①②③7．一次函数b kx y +=的图象过点（m ，1）和点（1-，m ），其中m ＞ 1，则二次函数k b x a y ++=2)(的顶点在第 象限；8、对于二次函数为y=x 2－x －2，当自变量x ＜0时，函数图像在 （ ） (A) 第一、二象限 (B) 第二、三象限 (C) 第三、四象限 (D) 第一、四象限9、已知点A （1,1y ）、B （2,2y -）、C （3,2y -）在函数()21122-+=x y 上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是A 1y ＞2y ＞3yB 1y ＞3y ＞2yC 3y ＞1y ＞2yD 2y ＞1y ＞3y10、直线)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y =2的图象大致为 （ ）y y y yO OO x xx O xABCD11、若二次函数22-+-=mx x y 的最大值为49，则常数_____=m ；12、若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则直线c abx y += 不经过 象限；13、（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．14、抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？15.抛物线的对称轴是2=x ，且过（4，－4）、（－1，2），求此抛物线的解析式；x【课后作业】 一、选择题1．二次函数y=x 2+2x-7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ）A ．3B ．5C ．-3和5D ．3和-5 2．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ） A ．函数有最小值 B ．对称轴是直线21=x C ．当21<x ，y 随x 的增大而减小 D ．当-1＜x ＜2时，y ＞03．已知二次函数y=-x 2+2bx+c ，当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小，则实数b 的取值围是（ ）A ．b ≥-1B ．b ≤-1C ．b ≥1D ．b ≤14．如图，平面直角坐标系中，点M 是直线y=2与x 轴之间的一个动点，且点M 是抛物线c bx x y ++=221的顶点，则方程1212=++c bx x 的解的个数是（ ）A．0或2 B．0或1C．1或2 D．0，1或28 5．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，-2）．它与反比例函数y=-x 的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2-x-2 B．y=x2-x+2C．y=x2+x-2 D．y=x2+x+26．已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014D．20157．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为直线x=1，若关于x的一元二次方程x2+bx-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的围有解，则t的取值围是（）A．t ≥-1 B．-1≤ t＜3C．-1≤ t＜8 D．3＜t＜88．在矩形ABCD的各边AB，BC，CD和DA上分别选取点E，F，G，H，使得AE=AH=CF=CG，如果AB=60，BC=40，四边形EFGH的最大面积是（）A．1350 B．1300C．1250 D．1200二、填空题1．抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），对称轴是直线x=-1，则a+b+c= ．2．对于二次函数y=ax2-（2a-1）x+a-1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a 取何值，函数图象都经过同一个点．其中所有正确的结论是 ．（填写正确结论的序号）3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线221x y =经过平移得到抛物线x x y 2212-=，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为 ．4．如图示：己知抛物线C 1，C 2关于x 轴对称，抛物线C 1，C 3关于y轴对称．如果抛物线C 2的解析式是1)2(432+--=x y ，那么抛物线C 3的解析式是 ．三、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=2x 2+mx+n 经过点A （0，-2），B （3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴，并画出图像；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图象，求点D纵坐标t的取值围．2．如图，已知抛物线y=x2-x-6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；（2）求sin∠OCB的值；（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．3．如图，二次函数的图象与x轴交于A（-3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值围．4．某机械公司经销一种零件，已知这种零件的成本为每件20元，调查发现当销售价为24元时，平均每天能售出32件，而当销售价每上涨2元，平均每天就少售出4件．（1）若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少？（2）如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元，该公司想要每天获得150元的销售利润，销售价应当为多少元？。