高等数学（上）期中测试题一 填空题：（每小题4分，共32分，要求：写出简答过程，并且把答案填在横线上） 1.设1(1),0(),0x x x f x x ax ⎧⎪-<=⎨⎪+≥⎩在(,)-∞+∞上处处连续，则a =---。

解()()11110lim 1lim 1xxx x x x e -----→→⎧⎫⎡⎤-=+-=⎨⎬⎣⎦⎩⎭()0lim x x a a +→+=,有连续性有a =-1e2. 已 知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim 2h f h f h→--=1-。

解 已知()0(3)(3)3lim2h f f h f h→--'==则00(3)(3)1(3)(3)lim lim 22h h f h f f f h h h→→----=- 3.函数()2cos f x x x =+在[0,]2π上的最大值为6π+解 令()12sin 0f x x '=-=得6x π=则最大值为6π+4. 设5(sin )5(1cos )x t t y t =+⎧⎨=-⎩， 则t dy dx=0,22t d y dx==120解()5sin 051cos t t t dy dy t dtdx dxt dt======+5. 设1(0)x y x x +=>，则y '=()1ln x x x x x ++解 两边取对数有()ln 1ln y x x =+两边关于x 求导得1ln y x x y x'+=+,整理后即得结果6. 设函数()y y x =由方程cos()0x y xy ++=确定，则dy =sin 11sin y xy dx x xy --。

解 对方程两边关于x 求导 得:sin 11sin y xy y x xy -'=- 则dy =sin 11sin y xy dx x xy-- 7. 曲线2xy e-=在点(0,1)M 处的曲率K=25解20022xx x y e-=='=-=- 20044xx x y e-==''==则()()332222425112y k y''===⎡⎤'++-⎣⎦8.函数()xf x xe =在01x =处的二阶泰勒公式为()f x =解 由()()()n xfx n x e=+,代入泰勒公式即得二．选择题：（每小题4分，共32分，每小题的四个选项中只有一个是正确的，要求写出简答过程，并且将答案对应的选项的字母填入题后括号里） 1.当0x →时，下列函数中为无穷小的函数是（D ）。

A. lg sin x ；B.1cos x ；C. 1sin x； D. 12x e-。

解0.limlg sin x A x →=-∞ 01.limcos x B x →不存在01.limsin x C x→不存在 210.lim 0x x D e -→=2.设21sin ,0()0,0x f x xx ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（C ）。

A. 极限不存在； B. 极限存在，但不连续； C ．连续，但不可导； D. 可导。

解由()201lim sin 00x f x →== 则()f x 在点0x =处连续又()()()21sin 00limlimx x f x f x f x x→→-'==-201limsin x x→=不存在 则()f x 在点0x =处不可导3.设arccos sin 2x y =，则1()2y '=（A ）。

A. 12-；B. 2-；C. 12；D. 2。

解1212arccos 111cos 222x x x y ==⎛⎫'=⋅⋅=- ⎪⎝⎭ 4.曲线cos sin x t t y t t=⎧⎨=⎩在4t π=处的切线方程是（ B ）。

A.4()848y x ππππ-+-=-+；B. 4()848y x ππππ+-=--+ ； C. y x =；D.y x =-。

解444sin cos 4cos sin 4t t t dy dy t t t dt dx dxt t tdtπππππ===++===--则切线方程为442442y x ππππ⎛⎫+-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭5.已知函数2cos xy ex =+，则(40)y=（A ）。

A.4022cos xe x ⋅+； B. 4022sin xex ⋅+；C.2cos xex +； D. 2sin xex +。

解()()()()222cos cos 2n n xn xn e ex x π⎛⎫=⋅=+ ⎪⎝⎭则即得结果A6.曲线53y x x=+的凹区间是（B ）。

A.(,0)-∞； B. [0,]+∞； C.(,)-∞+∞； D. 以上都不对。

解2133552101333y xy x-'''=+=⋅=当()0,+x ∈∞时,y <0'',则曲线是凹的7.若()(),()f x f x x -=-∞<<+∞，在(,0)-∞内()0f x '>且()0f x ''<，则在(0,)+∞内有（ C ）。

A.()0,()0f x f x '''><； B. ()0,()0f x f x '''>>； C.()0,()0f x f x '''<<； D. ()0,()0f x f x '''<>。

解 设()0,x ∈+∞ 则(),0x -∈-∞又()()()-00f x f x f x '''>∴=--<由()()-f x f x ''''= 且 ()0f x ''-< 则()0f x ''<8. 函数()y f x =对 一 切x 满足2()3[()]xf x x f x '''+1x e -=- ，若0()0f x '=，0(0)x ≠则（ B ）。

A.0()f x 是()f x 的极大值； B.0()f x 是()f x 的极小值；C.0,0(())x f x 是曲线()y f x =的拐点；D.0()f x 不是()f x 的极值，00(,())x f x 也不是曲线()y f x =的拐点。

解()000011x x x e e f x x x e---''== 当()0000x f x ''<>， 当()0000x f x ''>>也即()00f x ''≠，则0x x =不是拐点又()00f x ''>,则0()f x 是()f x 的极小值三．解答题：1.求函数2ln ()xf x x=的单调区间与极值。

（8分）解 定义区间为()0,+∞,令()2212ln ln x x x x f x x ⋅⋅-'=222ln ln 0x x x-==有1x = 或者 2x e=则在2(0,1][,)e +∞单调减少,在21,e ⎡⎤⎣⎦上单调增加极小值:()10f =, 极大值:()224fe e= 2.求下列极限。

（每小题6分）解 原式200111cos 112lim ()lim sin 2x x x x x x x x →→-==⋅=解 应用洛比塔法则,有原式()()11sin 1cos 1limcos22x x x xππ→⎡⎤--⎣⎦-=-3.确定函数11()1x xf x e-=-的间断点，并指出间断点所属的类型。

（8分）解 函数在x 0,x=1=处无定义. 由于 010lim 110xxx ee -→⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭故()0lim x f x →=∞,从而0x =是()f x 的无穷间断点又11lim ,lim 11x x x xx x+-→→=-∞=+∞--,故 所以()()10,11f f -+==,因此1x =是()f x 的跳跃间断点4.（8 分 ） 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且1(0)(1)0,()12f f f ===，证明：(1) 存在1(,1)2η∈，使()f ηη=； (2) 存在(0,1)ξ∈，使得()()1f f ξξξ'-+=。

证(1) 设()()F x f x x =-由()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导则()F x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续,可导 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上111111022222F f ⎛⎫⎛⎫=-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由零点定理,在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一点η,使()0F η=即()f ηη=(2)设()()xfx x G x e -=,()G x 在[]0,η上连续,在()0,η内可导,且()()00000fG e -==则在()0,η内至少存在一点ξ,使即()()10f e f e ξξξξξ'⎡⎤⎡⎤---=⎣⎦⎣⎦ 则 ()()1f f ξξξ'-+=因为()()0,0,1η⊆,则()0,1ξ∈,即结论成立。