自然推理系统P定义
定义3自然推理系统P定义如下: 1字母表(1)命题变项符号:P,Q,R….
(2)联结词符号(五个基本联结词) (3)括号与逗号 2合式公式定义同2.2.1 3推理规则 (1)前提引入规则 (2)结论引入规则 (3)置换规则 (4)假言推理规则
自然推理系统的定义
（ 4 ） 假 言 推 理 规 则（4）若今天下雪,则将去滑雪。
形式定系义2统一个定形式义系统I由下列四个部分组成:
(1)非空的字母表A(I)
(2)A(I)正符号构成的合式公式,记作E(I)
(3)E(I)中一些特殊的公式组成的公理集 AX(I) (4)推理规则R(I)
可以将符号I记作四元组<A(I),E(I), AX(I) ,R(I)>,其中<A(I),E(I)>是I 的形 式语言系统,而< MAX(I) ,R(I)>为I的形式语言系统. 形式系统一般分为两类,一类是自然推理系统,另一类是公理推理系统,本 书只介绍 一个自然推理系统P,他由三部分组成
(3) (A→B)∧A B 假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A 析取三段论
推理定律--重言蕴含式
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C) 假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D)
构
造
性
二
难
(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) (┐A∨┐C)
破坏性二难
关于推理定律的几点说明
A,B,C为元语言符号，代表任意的命题公式。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵式一致，则不用证明 就可断定这个推理是正确的。 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推理定律。例如双重否 定律A A产生两条推理定律A A和 AA。 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了推理系统中的推理规 则。
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推 理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
例题
例1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {P,P→Q}├Q (2) {P,Q→P}├ Q
正确 不正确
p(p→q
p(q→p
p q)
q)
q
00
0
0
0
0
表示蕴涵式为重言式。
判断推理是否正确的方法
真值表法 等值演算法 主析取范式法 当命题变项较少时,这三种方法比较方便。
例题
例2 判断下列推理是否正确。（等值演算法）
（1） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所以，她去游泳了。
解：设P:马芳下午去看电影，Q:马芳下午去游泳。 前提： P∨Q，┐P 结论： Q
小节结束
2 自然推理系统P
判断推理是否正确的三种方法：真值表法、等值演 算法和主析取范式法。
当推理中包含的命题变项较多时，上述三种方法演 算量太大。
对于由前提A1,A2,…,Ak推B的正确推理应该给出严谨 的证明。
证明是一个描述推理过程的命题公式序列，其中的 每个公式或者是前提，或者是由某些前提应用推理 规则得到的结论（中间结论或推理中的结论）。
AB
今天下雪，所以去滑雪。
A B
（5）现在气温在冰点以下。 因此，要么现在气温在冰点
（ 5 ） 附 加 规 则 以下，要么现在下雨。
A AB
（6）现在气温在冰点以下并 且正在下雨。因此，现在气
（ 6 ） 化 简 规 则 温在冰点以下。
AB
A
自然推理系统的定义
（7）拒取式规则 AB B
A
（8） 假言三段论规则 AB BC
有效推理的定义
定义1 设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak和B中出现的命题变项
的
任
意
一
组
赋
值
，
（
1
）
或
者
A1∧A2
∧…∧Ak
为
假
;
（ 2 ） 或 者 当 A1∧A2 ∧…∧Ak 为 真 时 ， B 也 为 真 ;
则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称B是有效结论。
AC
（9）析取三段论规则 AB B
牡丹江师范学院本科生课程
2.7 推理的形式结构
理学院 季丹丹
命题逻辑的推理理论
本节的主要内容 – 推理的形式结构 – 自然推理系统N
本节与后续各章的关系 – 本节是一阶逻辑推理的特殊情况和先行准备
1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 前提是已知命题公式集合。 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 证明是描述推理正确或错误的过程。 要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。
01
0
1
0
1
10
0
0
1
0
有效推理的等价定理
定理1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 (A1∧A2∧…∧A{ A1, A2, …, Ak}，记为┣B。 (2)A1A2…AkB (3)前提： A1, A2, … , Ak
结论： B
当推理正确时， 形式（1）记为 ╞ B。 形式（2）记为A1A2…AkB。
推理的形式结构： ((P∨Q)∧┐P)→Q ((P∨Q)∧┐P)→Q
┐((P∨Q)∧┐P) ∨ Q ((┐P∧┐Q)∨P) ∨ Q ((┐P∨P )∧(┐Q∨P)) ∨ q (┐Q∨P) ∨ Q 1
由定理 3.1可知，推理正确。
推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B) 附加律
(2) (A∧B) A 化简律
关于有效推理的说明
由前提A1，A2，…，Ak推结论B的推理是否 正确与诸前提的排列次序无关。
＝
{
A1，A2，…，Ak
}
由
推B的推理记为┣B
若推理是正确的，记为
╞
B
若推理是不正确的，记为 B
关于有效推理的说明
设A1，A2，…，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何 一组赋值α1α2…αn(αi=0或者1，i=1,2,…,n)，前提 和结论的取值情况有以下四种： (1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0。 (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1。 (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0。 (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1。