依此类推 Bm=P-1AmP .
此结论利用数学归纳法可以证明
若设 A~B, 且φ(A)=a0+a1A +a2A2+…+ anAn , 则 φ(B)=P-1φ(A)P
2009.7.22
4-1-4
相似矩阵与矩阵对角化
特别是,当A为对角矩阵时,
a1 0 0
a
m
1
0
0
0 0
a2
0
0 an
m
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4-1-8
相似矩阵与矩阵对角化
二、利用相似变换将方阵对角化
定对理于2n阶n阶矩矩阵阵A,若A与存对在角可阵逆相矩似阵的P,充使分P-必1A要P=条Λ 件是 为是对矩角阵阵A有,则n个称线将性方无阵关A对的角特化征.向量.
证明 必要性
假设A~ Λ,则存在可逆矩阵P,使P-1AP=Λ
0 0
am 2
0
0
a
m
n
a1
0 0
0
a2
0
0 0
an
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4-1-5
相似矩阵与矩阵对角化
定理1 若n阶矩阵A~B,则A与B有相同的多项式, 特征多项式,特征值,秩,且可逆性相同. 证明 若A~B, 则存在可逆矩阵P,使得B=P-1AP
(1) |B|=|P-1AP|=|A|
则有
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4-1-19
相似矩阵与矩阵对角化
注意
即矩阵P的列向量与对角阵中特征值的位置 要相对应．
2009.7.22
4-1-20
相似矩阵与矩阵对角化
定理3 n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件 是对于每一个ni重特征根λi ,矩阵λi E-A的秩为 n-ni. 说明 例2中的方阵A可对角化的理论依据.
1
推论
若n阶方阵A与对角阵
2
n
相似,则λ1,λ2, …,λn为A的n个特征值.
若存在可逆矩阵P,使P-1AP=Λ为对角矩阵,
则有Ak=PΛ kP-1 , φ(A)=Pφ(Λ)P-1
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4-1-7
相似矩阵与矩阵对角化
其 中,
k 1
k
k 2
,
k n
(1)
(
)
(1)
,
(1)
第二节 相似矩阵与矩阵对角化
相似矩阵与相似变换的性质 利用相似变换将方阵对角化 约当矩阵的概念
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4-1-1
相似矩阵与矩阵对角化
一、相似矩阵与相似变换的性质
定义 设A,B为n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使 P-1AP=B (2.1)
则称B为A的相似矩阵,或称矩阵A与B相似. 记为 A~B.
11 , 22 , , nn
Ai ii i 1,2, , n. 矩阵相等
因P可逆,故|P|≠0,于是αj(j=1,2, …,n)均为非零
向量,且α1,α 2,…,α n线性无关.
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4-1-10
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4-1-11
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4-1-12
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(2) 由于|B|=|A|,同时为0或不为0,故A与B同时 可逆或不可逆.
(3) 由于B=P-1AP,则A与B相同的秩. (4) 由于|B-λE|=|P-1AP- P-1(λE)P|
=|P-1(A-λE)P| =|A-λE| 所以A与B有相同的特征多项式与特征值.
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4-1-6
相似矩阵与矩阵对角化
1 1 0 0 0
0 1 1 0 0
0
0
4-1-22
相似矩阵与矩阵对角化
若一个准对角矩阵的主对角线上的各子块均为
约当块,即
称此矩阵为约当矩阵,或称为约当标准型. 说明 对角矩阵可看成约当矩阵,每一个约当块
是一阶矩阵.
2009.7.22
4-1-23
相似矩阵与矩阵对角化
定理4 任一个n阶矩阵A,都存在可逆矩阵T,使
即 任一个n阶矩阵A,都与n阶约当矩阵J相似.
说明 A相似于B,也称矩阵A经过相似变换化为B, 而可逆矩阵P称为将A变为B的相似变换矩阵.
2009.7.22
4-1-2
相似矩阵与矩阵对角化
相似矩阵与相似变换的性质 1. 等价关系 (1) 反身性 A与A本身相似 (2) 对称性 若A与B相似,则B与A相似. (3) 传递性 若A与B相似, B与C相似,则A
与C相似.
2. P 1A1 A2 P P 1 A1P P 1 A2 P .
3. 若A与B相似, 则Am与Bm相似.(m为正整数).
2009.7.22
4-1-3
相似矩阵与矩阵对角化
事实上,因A~B, 则存在可逆矩阵P,使 B=P-1AP
于是 B2=(P-1AP)(P-1AP) =P-1A2P
相似矩阵与矩阵对角化
(2) 求矩阵A的特征值与特征向量
A的特征值 λ1=λ2=λ3=-1 当λ1=λ2=λ3=-1时,有(A+E)x=0 解之得基础解系
故A不能化为对角矩阵.
2009.7.22
4-1-16
相似矩阵与矩阵对角化
例2
A能否对角化？若能
对角化,则求出可逆矩阵P,使P-1AP为对角阵.
解
于是有 AP=PΛ
记 P=(α1,α 2,…,α n)
其中 αj (1,2, … ,n)是矩阵P第j列构成的列向量.
2009.7.22
4-1-9
相似矩阵与矩阵对角化
1
于是有 A1,2, ,n 1,2, ,n
2
n
11, 22 , , nn .
A1,2 , ,n A1, A2 , , An
4-1-13
相似矩阵与矩阵对角化
当λ1=λ2= 2时,有(A-2E)x=0
解之得基础解系
当λ3=-7时,有(A+7E)x=0 得基础解系
2009.7.22
4-1-14
相似矩阵与矩阵对角化
因
所以α1, α2, α3线性无关. 故A有3个线性无关的特征向量,因而A可以 对角化.
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4-1-15
若求A50,只需利用A50=P-1Λ50P即可.
2009.7.22
4-1-21Βιβλιοθήκη 相似矩阵与矩阵对角化三、约当矩阵的概念
定义 在n阶矩阵A=(aij)中,如果aii=λ(i=1,2, …,n), aii+1=1 (i=1,2, …,n-1), aij=λ (i≠j, j≠i+1)
称此矩阵为约当块.
2009.7.22
A的特征值 λ1=λ2= 1,λ3=-2
2009.7.22
4-1-17
相似矩阵与矩阵对角化
当λ1=λ2= 1时,有(A-E)x=0
解之得基础解系
当λ3=-2时,有(A-2E)x=0 得基础解系
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4-1-18
相似矩阵与矩阵对角化
因
所以α1, α2, α3线性无关. 故A有3个线性无关的特征向量,因而A可以 对角化. 令