求解双曲型方程的例子
例24.2.1 用 MATLAB 求解下面波动方程定解问题并动态显示解的分布
2u (2u t 2 x2
2u ) 0 y 2
u
|x
1
u
|x1
0,
u y
y 1
u y
y1 0
π
π
u(x,
y, 0)
atan[ sin(
2
x)], ut
( x,
y,
0)
2
cos(πx)
保持在100 °C，板的右边热量从板向环境空气定常流动，
t t 其他边及内孔边界保持绝缘。初始
°C ，于是概括为如下定解问题;
是板的温度为0 0
d u u0 , t
u 1 0 0 ,在 左 边 界 上
u 1， 在 右 边 界 上 n u = 0， 其 他 边 界 上 n
u t to 0
区域的边界顶点坐标为(-0.5,-0.8), (0.5,-0.8), (-0.5,0.8), (0.5,0.8)。 内边界顶点坐标(-0.05,-0.4), (-0.05,0.4) ,(0.05,-0.4), (0.05,0.4)。
第七步：单击Plot菜单中Parameter选项，打开Plot Selection对话框，选中Color,Height(3D plot)和 Show mesh三项.再单击Polt按钮，显示三维图形解， 如图22.5所示.
第八步：若要画等值线图和矢量场图，单击plot菜单 中parameter 选项，在plot selection对话框中选中 contour 和arrow两选项。然后单击plot按钮，可显示 解的等值线图和矢量场图，如图2.6所示。
网格划分，细化
Solve，Plot
如果有初始条件（与t有关），则在 Solve的Parameters里有其设定，如果 没有初始条件（与t无关），则不必设 定Plot只是确定画图的参数，包括是否 动画，是否3D，是否画出等温线，是否 有箭头。。。
Save As
保存成M-file，自动生成
例： 解热传导方程 ut u f
第五步：选择Mesh菜单中Initialize Mesh命使网格密集化，
如图22.3．
图 22.3 网格密集化
第六步： 解偏微分方程并显示图形解
选择Solve菜单中Solve PDE命令，解 偏微分方程并显示图形解，如图 2.4 所示
例如，对于细杆导热，虽然是一维问题， 可以将宽度y虚拟出来，对应于y的边界 条件和初始条件按照题意制定
Boundary Mode
PDE Mode
PDE Specification，确定偏 微分方程类型共有四种：
椭圆形Elliptic
抛物型Parabolic
双曲型Hyperbolic
Mesh Mode
图 2.6 解的等值线图和矢量场图
求解椭圆型方程的例子
单 位 圆 上 的 poisson方 程 边 值 问 题 ：
-u =1 , = ( x, y ) x 2 y 2 1 ,
u 0 问题的精确解为
u(x,y)= (1 x 2 y 2 ) . 4
求解抛物型方程的例子
考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。板的左边
第三步：选取边界
首先选择Boundary菜单中Boundary Mode 命令，进入边界模式．然后单击Boundary菜单 中Remove All Subdomain Borders选项。从而 去掉子域边界，如图22 2．单击Boundary菜单 中Specify Boundary Conditions选项，打开 Boundary Conditions对话框，输入边界件．本 例取默认条件，即将全部边界设为齐次Dirichlet 条件，边界显示为红色． 如果想将几何与边界信息存储，可选Boundary 菜单中的Export Decomposed Geometrv．Boundary Cond's命令，将它们分 别存储在g、b变量中，并通过MATLAB形成M文 件．
偏微分方程的matlab解法
PDEToolbox注意事项
只能解决二维模型，一维的扩成二维，三 维的缩成二维，时间维不计算在内 公式类型，只能解决部分偏微分方程，由 公式类型决定 边界条件两种，Dirichlet和Neumann 初始条件
先确定方程大类
Draw Mode
画图模式，先将处理的区域画出来，二 维，方形，圆形，支持多边形，可以手 动更改坐标，旋转rotate
图 22.2 定解问题的边界
第四步：设置方程类型
选择PDE菜单中PDE Mode命令，进入PDE模式， 再单击PDE菜单中PDE Secification选项，打开 PDE Secification对话框，设置方程类型．
本例取抛物型方程 du(cu)auf,
t
故参数c,a,f,d,分别是l，0，10，1．
exp[cos(
2
y)]
已知求解域是方形区域，空间坐标的个数由具体问题确定．
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
边界条件是齐次类型，定解区域自定。
【解】 第一步：启动MATLAB，键入命令pdetool并回车，就进 入GUI．在Options菜单下选择Gid命令，打开栅格，栅 格使用户容易确定所绘图形的大小． 第二步：选定定解区域本题为自定区域：自拟定解区 域如图22 1所示：E1-E2+R1-E3．具体用快捷工具分别 画椭圆E1、圆E2、矩形R1、圆E3．然后在Set formula 栏中进行编辑并用算术运算符将图形对象名称连接起 来(或删去默认的表达式，直接键入E1-E2+R1-E3)