巧用三余弦定理解题
A
O
P α
l
B
A O
1θ2
θθ
P
Q α
巧用“三余弦定理”解题
“三余弦定理”的内容：如图１，直线AO 是平面α 的斜线，AQ 是AO 在平面内的射影，直线AP 在平面α内.设
21,,θθθ=∠=∠=∠QAP OAQ OAP ，有以下结
论：21cos cos cos θθθ
⋅=.我们可以形象地把这个结论称为“三余弦定理”，
应用“三余弦定理”可以使我们的很多立体几何问题的解决变得简单. 图１
应用“三余弦定理”解题的步骤如下：
1. 明确三线：平面内的直线（以下简称“内线”），平面的斜线和斜线在平面内的射影.
2. 明确三角：斜线与“内线”所成为θ，斜线与射影所成的角为1θ，射影与“内线”所成的角为2θ.
3. 定理运算.
例1.如图２,已知AO 是平面α的一条斜线,OB ⊥α,B 是垂足,AP 是α内一直线,∠OAP=60o ,∠BAP=45o ,求斜线AO 与平面α所成的角.
分析：AP 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，所以21,,θθθ=∠=∠=∠BAP OAB OAP ，直接利用“三余弦定理”求解.解题过程略.
略解：
点评：斜线与平面所成的角即斜线与射影所成的角，明确了“三线”与“三角”，直接代定理求解.
图２
变式1：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o ,求直线AO 与AP 所成的角； 分析：同例1.
变式2：已知∠OAB=45o ,∠BAP=45o , l //AP, 求直线AO 与l 所成的角； 分析：因为l //AP ，直线AO 与AP 所成的角同AO 与l 所成的角相等.我们在解题时，只需要明确“三线”，这时l 是“内线”，AO 是斜线，AB 是射影，然后斜线 AO 与“内线”l 所成为θ，斜线AO 与射影AB 所成的角为1θ，射影AB 与“内线”l 所成的角为2θ, 问题迎刃而解.
例2．如图３，在棱长为1正方体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和CC 1的中点，求异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值.
分析：直线BA 1是平面BCC 1B 1的斜线，BB 1是射影，EF 为“内线”，这样就明确是三线 ， 再明确三角，然后定理计算即可.
解：由题意可知，直线BA 1是平面BCC1B1的斜线，
BB1是BA 1在平面内的射影，EF 为平面内的直线，
所以BA 1与EF 所成的角为θ，111θ=∠BC A ，EF 与BB 1所成的角为2θ 图３
C 1 A
B
C
D
A 1
B 1
D 1
F
E
P
A
B
C
D
E
又因为21cos cos cos θθθ⋅=， 451=θ， 452=θ， 所以2
1cos =
θ 即异面直线A 1B 与EF 所成角的余弦值为
2
1 点评：只要明确了“三线”，不管他们的位置怎样，斜线与“内线”所成为θ，斜线与射影所成的角为1θ，射影与“内线”所成的角为2θ，明确了“三角”，公式的应用水到渠成.
变式：若E 、F 是B 1C 1和CC 1上的点，满足EC 1= 3
1
，FC 1= 33，求异面直线
A 1
B 与EF 所成角的余弦值.
分析：明确“三线”，直线BA 1是斜线，BB 1是射影，EF 为“内线”，然后按规则
找出“三角”，定理计算即可.
图４ 图５
练习：1.如图４，S 是△ ABC 所在平面外一点，SA ，SB ，SC 两两垂直，求证： △ ABC 是锐角三角形
2.如图５，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形， ∠BAD=90o ，AD//BC ，AB=BC=a,AD=2a,且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30o ，且AE ⊥PD ，E 为垂足,求异面直线AE 与CD 所成角的大小
B
A
C
S
“三余弦定理”是一个容易让人忽视的问题，可能有一些同学的记忆中几乎没有它的位置.但如果我们能够准确的理解这个定理，并巧用定理去解题，就会取得事半功倍的效果，提高解题的速度并最终取得理想的成绩.所以要深刻理解“三余弦定理”应用的几个典型的例题，然后举一反三，学以致用.。