三余弦公式的巧用
1AO AO AO 12αθααθθθθθ２　如图：斜线和平面所成的角为，斜线在平面上的射影A B ,A C 为平面内异于A B 的直线，
A B 与A C 的夹角为，与A C 的夹角，则有：cos =cos cos
该公式本质上反映了线面角与线线角之间的数量关系，其本质特征是由两个平面互相垂直，两个平面内的三条直线所成角的定量关系。

在处理异面直线所成角、线面角的问题时效果明显。

下面通过近年高考试题予以说明。

例一: （2005全国卷I 第18题）
已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB CD ∥，
⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，
且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。

（Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
常规解法：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ，则∠PBE 是AC 与PB 所成的角. 连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，所以四边形ACBE 为正方形. 由
PA ⊥面
ABCD
得∠PEB=90°在
Rt △PEB
中
BE=
2，PB=
5，
.510cos ==
∠∴PB BE PBE .5
10
arccos 所成的角为与PB AC ∴ 析：已知条件中有PA ⊥底面ABCD 若使用三余弦公式则：PB 在平面ABCD 上的射影AB ，
222210
cos ,cos 22
55
5PBA BAC AC PB ∠=
∠=
=
∴与夹角的余弦值＝ .5
10
arccos
所成的角为与PB AC ∴ 评：只要找到三线的夹角即可，无需作图求解。

例二（2006福建卷）如图，四面体ABCD 中，
α
A
C
B
O
A
B
M
D
E
O
C
O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =2 （Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；
（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； 常规方法
方法一： （I ）证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥
,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ∆
中，由已知可得1,AO CO ==
而2,AC = 222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥
,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，
11
,1,222
EM AB OE DC ==
==
OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，
1
1,2OM AC ∴==
cos OEM ∴∠= ∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为 方法二：
（II ）解：以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1,0,0),(1,0,0),B D -
1(0,0,1),(,(1,0,1),(1,22
C A E BA C
D =-=-
.2cos ,,4
BA CD BA CD BA CD
∴<
>=
=
∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为arccos
4
由（Ⅰ）知：AO ⊥平面
BCD ；AB 在平面平面BCD 上的射影在BD 上
1
cos 22ABD CDB ∠=
∠=∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为
y
例三（2006湖南卷）如图,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.
(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.
解法一： （Ⅰ）．连结AC 、BD ，设O BD AC = .
由P －ABCD 与Q －ABCD 都是正四棱锥， 所以PO ⊥平面ABCD ，QO ⊥平面ABCD .从而
P 、O 、Q 三点在一条直线上，所以PQ ⊥平面ABCD . （II ）由题设知，ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥． 由（I ）知：231223,3,cos ,cos 33
3
AO PB AQO BPO ==∠=
=
∠=∴AQ=22 从而异面直线AQ 与PB 所成的角是3
arccos
9
. 例四（2006江西卷）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱
OA OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．
（2）求异面直线BE 与AC 所成的角； 常规方法
: 取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则
EM ∥,AC BEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角. 求得:22221517
,5,.222
=
==-==+=EM AC BE OB OE BM OM OB 22222
cos ,arccos .255+-∠==∴∠=⋅BE ME BM BEM BEM BE ME
(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(0,2,1).=-=-=-坐标法EB AC cos <,EB AC >22
,555
-=
=-⋅所以
Q
B
C
P
A
D
Ａ
Ｏ
Ｅ
Ｃ
Ｂ
异面直线BE 与AC 所成的角2
arccos 5
.
利用三余弦公式求解：BE 在平面AOC 上的射影OE=1，BE=5，
525cos ,cos 55BEO ACO ∠=
∠=所以异面直线BE 与AC 所成的角2arccos 5
. 立体几何中的计算，尤其是客观题的解答，如果过分依赖坐标法这个“鸡肋”将阻碍立体几何对空间思维能力的提升，阻碍“降维”转化思想方法的形成，从而削弱立体几何应有的思维训练价值。

同时，让我们抓住教材，充分利用教材；指导我们进行高考备考。

附：练习
1．（全国Ⅰ•理•7题）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -中，
AB AA 21=，则异面直线11AD B A 与所成角的余弦值为（ ）
A ．51
B ．52
C ．53
D ．5
4
2．（全国Ⅱ•理•7题）已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与 底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的余弦值等于（ ） A ．
6
4
B ．
10
4
C ．22
D ．32
3（北京•理•16题）如图，在Rt AOB △中，π
6OAB ∠=，斜边4AB =．
Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到， 且二面角B AO C --是直二面角．D 为AB 的中点． 则异面直线AO 与CD 所成角的大小 (6arccos 4
) （6cos cos cos cos cos 4
6
4
COD AOD ππθ=∠⨯∠==）
4（2008 四川延考理16文16）已知90AOB ∠=︒，
C 为空间中一点，且60AOC BOC ∠=∠=︒，
则直线OC 与平面AOB 所成角的余弦值为 。

22
O
C
A D
B
E
O
Q
E
N
M A B
D
C
O
P
A
B
C D
A 1
B 1
C 1
D 1 O
5（2008安徽卷理18）
如图，在四棱锥O ABCD -中，底面
ABCD 四边长为1的菱形，4
ABC π
∠=,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC
的中点则异面直线AB 与MD 所成角的大小 3π
6（2008福建卷理18）如图，在四棱锥P-ABCD 中， 面PAD ABCD ⊥，侧棱PA =PD ＝2，底面ABCD 为直角梯形，
其中，O 为AD 中点.则异面直线PD 与CD 所成角的大小
6
arccos
3
7（2009年上海卷理）如图，若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面连长为2， 高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是_________ （结果用反三角函数表示）.6arccos 6
8（2010全国卷1文数）（9）正方体ABCD -1111A B C D 中，
1BB 与平面1ACD 所成角的余弦值为
（A ） 23 （B ）33 （C ）23
（D ）63
11,BB DD ∥设O 为正三角形1ACD 的中心，
则1OD D ∠即为所求
11116cos45cos cos cos cos 3cos30
CD D CD O OD D OD D ∠=∠∠⇒∠==。