多元变量的最值
最值问题，特别是多元变量的最值问题是近几年高考的热点．这类最值问题因为变量多，结构式复杂，相互之间的制约关系较难把握，导致处理难度大．
一、利用基本不等式
求二元解析式的最值时，若关于两个变元的和式或积式为定值，可用基本不等式求最值． 例1 已知x>0，y>o ，lg2x +lg8y =1g2，则
113x y +的最小值是
二、构造方程
牵涉多个变量，通过设立主元，其他看成系数，构造一元二次方程，运用根的判别式求解． 例2 已知实数a ，b ，c 满足a+b+c=9，ab+ac+bc=24，则b 的取值范围是 ．
三、转化为函数问题
有时变量虽多，但巧妙利用两个等式之间的关系，构造出函数，再利用函数求最值是处理中学最值问题的一个常规手段．
例3 已知x,y,z ∈R ，且x+y+z=1，x 2+y 2+z 2=3，则xyz 的最大值是 ．
四、降元化归思想
题中变量较多时，可以利用不等关系将三元变量降为二元，利用齐次结构式将二元转换为一元，体现数学中的化归思想。

例4 已知三次函数32()()32a b f x x x cx d a b =
+++<在R 上单调递增，则a b c b a
++-的最小值为
五、三角换元法
形如“约束条件f(x,y)=0的二次式下求解w=g(x,y)的最值、值域"等问题，利用三角代换来求解一样有它自己的特色和魅力．利用三角求解一样有别致新颖、干净利落一面，而且学生也易于掌握．
例5 若实数x,y 满足221,x y xy ++=，则x+y 的最大值是 ．
六、运用式子的几何意义
在解题时充分利用好题目中的原始条件，结合一些常见的思想方法，从不同角度、用不同的知识处理这类问题(不是简单的重复或类比)，既可以充分利用所学的知识，又不失创造性。

例6 已知点P(x ，y)到原点的距离为1，则m 22
x y x y +-=
-+的最大值为 ．
练习
1.已知正数x ,y 满足xy +x +2y =6，则xy 的最大值为 .
2.已知a b ∈R ，，45222=+-b ab a ，则a b +的取值范围为 ab 的最小值为 ..
3. 已知正实数,x y 满足ln ln 0x y +=,且22
(2)4k x y x y +≤+恒成立,则k 的最大值是________.
4.设0,,>z y x ，满足82
2=++z y xyz ，则z y x 224log log log ++的最大值是 ．
5.若实数a ，b ，c ，满足2221a b c ++=，则2332ab bc c -+的最大值为________．
6.若实数y x ,满足02422=+++y y x x ，则y x +2的范围是
8.已知实数0,>y x 且2=xy ，则848223
3+++y x y x 的最小值是 ．
9.实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则max min 1
1S S += ．
10. 若11,,11
x y R x y +∈=+＋，则2x y +的最小值是 ．
11.设,x y 为实数，若142
2=+y x ，则y x +的最大值是
12.已知直线022=-+y x a 与直线01)1(2=-+-y a bx 互相垂直，则||ab 的最小值为
13.若实数0>y ,x 且1=xy ，则y x 2+的最小值是 ，y x y x 242
2++的最小值是 ． 14.设,x y 是正实数，且3x y +=，则22
11
y x x y +++的最小值是 ．
15.已知不等式22
2xy ax y ≤+，若对任意[1,2]x ∈及[2,3]y ∈，该不等式恒成立，则实数a 的范围是
16.若存在0[1,3]x ∈，使得不等式200043x ax x -+≤成立，则实数a 的取值范围
是 ．
17．设,a b ∈R ,关于,x y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范
围是（ ）
A ．[]16,16-
B ．[]8,8-
C ．[]4,4-
D ．[]2,2- A
18.若正数,a b 满足
111a b +=，则1411a b +--的最小值为
19. 设正实数x,y,z 满足4,5x y z xy yz zx ++=++=，则y 的取值范围为 .
20．已知实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则ab bc ca ++的取值范围是
21. 已知实数,,a b c 满足
22211144
a b c ++=，则22ab bc ca ++的取值范围是
22. 已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为
23.已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则22
42x y x y +-的最小值为 24.设,,x y z 为正实数，满足230x y z -+=，则2
y xz
的最小值是 25.设,x y 是正实数，且1x y +=，则22
21
x y x y +++的最小值是 26.设实数x,y 满足3≤2
xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43
y x 的最大值是 .
27.已知函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )，则ab ＋a ＋b 的取值范围
是 ．。