阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究
• 代数和三角学的确立 • 对无限和运动的研究
代数和三角学的确立
• 从7世纪开始，阿拉伯帝国逐渐崛起，到8世纪，它已成为一个地跨亚、欧、非三洲，阿拉 伯帝国在所辖的较大城市建立图书馆和天文馆，政府组织人力进行天文观测，编制星表， 集中学者翻译和注释希腊罗马古典名著.正当欧洲处在黑暗时期，“阿拉伯数学”却成了 这时期西方科学的代表.希腊罗马的古典名著正是通过“阿拉伯人”的工作才得以保存下 来，这是阿拉伯人对人类文明的重要贡献之一.不仅如此，阿拉伯也是东西科学文化交流 的桥梁，今天通行的“印度—阿拉伯数码”以及我国古代“四大发明”等，都是通过阿拉 伯从东方传到西方去的，这为欧洲以后科学文化的复苏创造了重要条件.有继承才有发展， 阿拉伯人在保留古希腊罗马文化和传统文化的同时，也有一定的发展和创造.代数和三角 学的确立就是他们对数学所做出的贡献.
对无限和运动的研究
这一时期，除了“印度—阿拉伯数码”的逐渐普及，代数和三角学已经确立以及数学符号化已有 端倪外，对无限的讨论以及对运动和速度的研究已成为数学家们注意的中心.例如德国的红衣主 教库萨的尼古拉，把圆与三角形分别看成边数最多和边数最少的多边形，把无限大和零分别看成 自然数的上界和下界.他还说尽管“世界不是无限的，但毕竟不能认为它是有限的，因为世界没 有一条把它包围起来的界限”，这表明了他把无限看作一个过程的潜无限思想.14世纪英国很有 声誉的数学家苏依塞斯的重要著作《算术》中，已有变量、极大和极小概念的原始形式，预示了 变数和导数即将进入数学领域.他所使用的“流数”、“流量”等概念，被300年后的牛顿所采用. 在无限问题上他指出，要解决所有关于无限的诡辩，只要认识到有限和无限不能有它们的比就行 了，这是关于对有限和无限应有不同的论证的最早认识.
k
.他用这个
方法证明了德漠克利特已得出的求圆锥和棱锥体积的公式.阿基米德(Archimedes) 对穷竭法 也作出了重要贡献，他在《圆的度量》、《论圆柱和球》、《抛物线求积》、《论螺线》等著作中，
应用了穷竭法，并引用了近似现代微积分中的“大和”与“小和”概念.并且他用这种方法计 算出了球的体积和表面积、抛物线弓形的面积以及一些旋转体的体积等数学问题.
芝诺的拟难
芝诺(Zero of Elea) 是古希腊爱利亚学派的代表人，他虽然不是一个科学家，更谈不上是一位 数学家，但他提出的四个拟难——二分法、阿基里斯追龟、飞箭、运动场，客观上把微积分 中的离散和连续的对立统一惹人注目地摆了出来，对微积分发展有一定的影响.其中“二分 法”和“阿基里斯追龟”涉及无穷运算问题，比如，收敛的无穷级数，虽有无穷多项，但其 和仍为有限的；“飞箭”则是一个典型的导数问题，运动的物体在每一时刻不仅有速度，而 且还有加速度等；“运动场”明显地同运动的两个相反的方向即正负概念有关.
求长度、面积、体积、与重心问题
这些问题以计算行星或曲线运动的物体走过的路程为背景的；求曲线围成的面积，以计 算行星扫过的面积为代表；求物体的重心、求两个天体之间的引力等问题。
求最大值和最小值问题
这与天文学和力学都有关，例如求行星运行的近日点和远日点，抛射体的最大射程和最 大高度等问题都可归结为这种类型的问题。
《庄子》和《墨经》中的极限思想
• 极限概念是微积分区别于初等数学的特有概念，没有极限概念就没有现代的微积分.战国时 代的《庄子·天下篇》中，有不少极限思想，其中最脍炙人口的一句话是：“一尺之椎，日取 其半，万世不竭.”可以理解为无穷无尽、永远达不到极限的潜无限思想.无穷或无限概念，是 极限概念的特殊情况，是微积分的重要概念.《墨经》也是战国时代的重要著作之一，该书对 有穷和无穷作了明确的区分.该书说，“穷，或有前，不容尺也”，意思是有穷就是有边界的 区域，用尺沿一个方向去量它一定能量完；“穷，或不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”，即 有穷就是能量尽这个区域，如果量不尽，就是无穷.与此同时《墨经》也有丰富的微分思想， 比如：“端，体之无厚而最前者也”；“端，无间也”；“非半则不动，说在端”.第一句话 就是说，“端”就是不可度量且位于物体的最前面的东西.第二和第三句是说，如果没有空隙、 也不能再进行分割的就是端.这是对构成物质的最基本的元素相当精确的定义，实际上就是对 物体经“化整为零”后的微分概念.
极限法的早期形式穷竭法
为了计算曲边形的面积和体积，欧多克斯（Eudoxus of Cnidos）曾提出了一个计算方法， 这个方法在 17 世纪时被人称为“穷竭法”.用现代的符号表示就是：如果对于任意的正整数
n，等式 an bn

k （常数）成立，且当 n→ 时，an

A ，bn

B ，则有 A B
微积分思想的萌芽
• 古希腊罗马——微分、积分思想的发源地 • 阿拉伯和欧洲中世纪——无限和运动的研究 • 古代中国——面积、体积与极限思想的丰富
古希腊罗马——微分、积分思想的发源地
• 原子论朴素的微分和积分思想 • 极限法的早期形式穷竭法 • 芝诺的拟难
原子论朴素的微分和积分思想.
古希腊的原子论者具有朴素的微分和积分思想，该学派的创始人是留基伯(Leucippcus of Miletus)，代表人物则是百科全书式的学者德漠克利特(Democritus of Abdera).原子论者把宇 宙间的万物看成由不可再分的原子构成，以及原子虽然不能再分但仍有内部结构的思想，表 现在数学上就是对于表示有限的长度、面积和体积的量 x，进行了一次微分(dx)和二次微分 (dx2). 德漠克利特曾用原子论思想第一次算出圆锥和棱锥的体积分别等于和它们同底同高 的圆柱和棱柱体积的三分之一.
古代中国——面积、体积与极限思想的丰富
• 简单几何图形面积和体积的计算. • 《庄子》和《墨经》中的极限思想 • 极限思想的运用——割圆术
简单几何图形面积和体积的计算
在微积分的发展历史上，对任意封闭的平面曲线围成图形面积的计算，和任意封闭的空 间曲线包围立体图形体积的计算，是产生积分概念的主要途径之一.计算面积和体积可以追 溯到原始农业社会，根据我国甲骨文记载，约在300年以前的殷代，就把耕种的土地分成方 形小块以求面积.积分概念就是在初等几何计算面积和体积的基础上逐渐形成的.来自极限思想的运用——割圆术.
• 我国三国时的数学家刘徽提出的“割圆术”，他从圆内接正六边形做起，令边数成倍 地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，……，直到正3072边形，用这个正3072边 形面积来逼近圆面积，就得到Π的较精确的值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割， 以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和” 的思想方法.
微积分产生的数学背景
• 数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了 数学，有了变数，微分学和积分学也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生，并且是 有牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。 ——恩格斯
• 解析几何是代数与几何相结合的产物，它将变量引进了数学，使运动与变化的定量表述成 为可能，从而为微积分的创立搭起了舞台.
微积分产生的背景
微积分产生的社会背景
• 从15世纪初欧洲文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成 了一个新的经济时代，宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进的科学技术通过阿拉 伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层面前呈现 出一个完全斩新的面貌。而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很 大的发展，生产实践的发展向自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础学 科的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动的数学的发展。科学对数学提 出的种种要求，最后汇总成4个核心问题： 运动中速度与距离的互求问题、求曲线的切线 问题、求长度、面积、体积、与重心问题、求最大值和最小值问题。
运动中速度与距离的互求问题
已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；或 者反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度，或已知物体速 度表示为时间的函数，求物体在任意时刻的移动距离。
求曲线的切线问题
物体作曲线运动时，在每一瞬间的速度方向是该曲线相应的点的切线的方向；在光学中 对光的折射和反射的研究要求出界面的法线方向，法线方向是由切线方向决定的。