微分思想也在古代略见端倪，它是和求曲线的切 线问题相联系的，这是数学家们历来所关注的另一类 问题。
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光学研究中，由于透镜的设计需要运用折射定 律、反射定律，就涉及切线、法线问题。这方面的 研究吸引了笛卡儿、惠更斯、牛顿、莱布尼兹等人。 而在运动学研究中，要确定运动物体在某一点的运 动方向，就是求曲线上某一点的切线方向，这就需 要求作切线。
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如：古希腊的阿基米德（公元前287―212）用 边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为 “穷竭法”。
中国魏晋时代的刘徽在其《九章算术注》（公 元263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割 圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少。割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失 矣。”这些都是原始的积分思想。
阳时的最远和最近距离等。）
求曲线长；曲线围成的面积；曲面围成的 体积；物体的重心；一个体积相当大的物 体（如行星）作用于另一物体上的引力等。
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17世纪前期微积分的工作
费尔马 (Fermat)是在牛顿和莱布尼兹之前，在 微分和积分两个方面作出贡献最多的一个数学家。
费尔马《求极大值与极小值的方法》 (写于 1636年以前)在求曲线的切线问题和函数的极大、 极小值问题上做出了重要贡献。用现代语言来说， 他都是先取增量，而后让增量趋于0。这正是微分 学的实质之所在。
0
dx
（2）如果z dy ，则
x
zdx y.
dx
0
巴罗的确已经走到了微积分基本定理的大门口。
但在巴罗的书中，这两个定理相隔二十余个别的定理，
并且没有把它们对照起来，也几乎没有使用过它们。
这说明，巴罗并没有从一般概念意义下理解
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他们。但是我们知道，只有一般概念才能阐明问题 的本质，才能开拓广阔的应用道路。
第九讲 微积分的历史 （背景、发展与意义 ）
马克思和恩格斯非常重视微积分的 创建，恩格斯曾有这的赞誉：“在一切 理论成就中，未必再有什么像十七世纪 下半叶微积分的发明那样看作人类精神 的最高胜利了。”
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一、微积分名称的由来
在变量数学中，决定性的一步是17世纪后半叶 由牛顿和莱布尼兹创始的微分法和积分法。微积分 的诞生，与其说是全部数学史上的一个伟大的创举， 不如说是整个人类历史的一个伟大的创举。
1665年初，伦敦发生了严重的鼠疫。剑桥大学 出于慎重考虑而把学生遣返回家。这样，牛顿于 1665年6月到1666年12月在家乡伍尔索普呆了一年 半的时间。
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在科学史上，这段时期具有非同寻常的重要性， 因为牛顿在此期间几乎完成了他平生所有的重要发现。 下面这段话来自牛顿的个人回忆：
1665年初，我发现了级数逼近法和把二项式的 任意次幂展开成这一级数的规则。同年5月，我发 现了格里高利（James Gregory，1638-1675） 和司罗斯（Rene-Francois de Slues， 16221685）的切线方法。11月，得到了直接流数法。 次年1月，提出了光的颜色理论。5月，我开始学 会反流数方法……
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导致微积分创立的几类基本问题
已知物体移动的距离表示为时间的函数， 求物体在任意时刻的速度和加速度；反 之，已知物体运动的加速度表为时间的 函数，求速度和距离。 （这一问题不久人们发现，这一问题 是计算一个变量对另一个变量的变化率 问题以及它的逆问题的特例。）
求曲线的切线。
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求函数的最大值和最小值。 （如抛射体获得最大射程时的发射角，行星离开太
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意大利科学家伽利略主张自然科学研究必须进 行系统的观察与实验，充分利用数学工具去探索大 自然的奥秘。这些观点对科学(特别是物理和数学) 的发展有巨大的影响。他的学生卡瓦列里创立了 “不可分原理”。依靠这个原理他解决了许多现在 可以用更严格的积分法解决的问题。“不可分”的 思想萌芽于1620年，深受开普勒和伽利略的影响， 是希腊欧多克索斯的穷竭法到牛顿、莱布尼茨微积 分的过渡。
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怪异的牛顿
牛顿并不善于教学，他在讲授新近发现的微积分 时，学生都接受不了。但在解决疑难问题方面的能力， 他却远远超过了常人。还是学生时，牛顿就发现了一 种计算无限量的方法。他用这个秘密的方法，算出了 双曲面积到二百五十位数。他曾经高价买下了一个棱 镜，并把它作为科学研究的工具，用它试验了白光分 解为的有颜色的光。
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法国数学家和天文学家拉普拉斯（Pierre Laplace，1749-1827）曾经这样说过：“不会产生 两个牛顿，因为要发现的世界只有一个。”
在牛顿的墓志铭上刻着著名诗人波普 （Alexander Pope，1688-1744）优美的赞美诗句：
自然和她的法则在黑暗中隐藏//上帝说，让牛顿 去吧//于是一切都已照亮
过程 牛顿、莱布尼茨工作的简单比较 微积分的历史意义
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古代至中世纪的有关工作
早在古代数学中，就产生了微分和积分这两个 概念的思想萌芽，形成两种基本的数学运算。两者 分别地被人们加以研究和发展。
历史上，积分思想先于微分思想出现，而不象今 天的《数学分析》所讲授的那样，先微分后积分。
积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古 中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献 中都有涉及这类问题的思想和方法。
又如，中国清代著名数学家李善兰独创的“尖 锥术”，已使中国步入了微积分的大门。但还未形 成多大影响时，西方的微积分就传入了中国。
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16世纪以后，欧洲数学家们仍沿用阿基米德的 方法求面积、体积等问题，并不断加以改进。天文 学家兼数学家开普勒的工作是这方面的典型。他注 意到，酒商用来计算酒桶体积的方法很不精确，他 努力探求计算体积的正确方法，写成《测量酒桶体 积的新科学》一书，他的方法的精华就是用无穷多 小元素之和来计算曲边形的面积或体积。
1669年，他辞去了他的教授席位，并推荐牛 顿取得此席位。1673年他被任命为剑桥三一学院 院1699-1670年发表的《光
学和几何学讲义》，在这本书中我们能够找到非常
接近近代微分过程的步骤。他把作曲线的切线和曲
线的求积联系了起来，用现代符号表示就是：
(1)如果y x zdx,则 dy z；
到此为止，微积分这门学科的基础已经具备， 但象现在这样的微积分还没有。正如后来莱布尼兹 确切表达的：“在这样的科学成就之后，所缺少的 知识引出问题的迷宫的一条线。即依照代数样式的 解析计算法。”
在创建微积分的过程中究竟还有多少事情要做 呢？
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1）需要以一般形式建立新计算法的基本概念 及其相互联系，创立一套一般的符号体系，建立 计算的正确程序或算法。
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刚到剑桥大学的时候，牛顿依靠将食物与饮料 递送外卖这种勤工俭学方式来换取一日三餐。后来， 牛 顿 得 到 了 奖 学 金 。 在 著 名 几 何 学 家 巴 罗 （ Isaac Barrow ， 1630-1677 ） 教 授 的 指 导 下 ， 牛 顿 阅 读 了 开 普 勒 （ Kepler ， 1570-1630 ） 、 笛 卡 尔 （ René Descartes，1596-1650）、伽利略等人的科学书籍。 1665年，牛顿顺利地拿到了学士学位（Bachelor of Art）。
2）为这门学科重建逻辑上的一致的、严格的 基础。
第1）项由牛顿和莱布尼兹各自独立完成。 第2）项由法国伟大的分析学家A.L柯西 （Cauchy,1789_1857）及其他19世纪数学家完成。
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牛顿的微积分
牛顿（Isaac Newton， 1642-1727）是历史上伟大 的物理学家和数学家。
他和莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646-1716） 一起发明了微积分，在光的色散和光的本质方面取得 了重要成就，更重要的是他建立了万有引力理论，把 天体的运动和地球上的运动统一起来，整个近代力学 和天体力学都是在他的基础上发展起来的。
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巴罗的贡献
另一个对微积分作出预言的是牛顿的老师巴 罗 (I.Barrow，1630——1677)，他于1630年生于伦 敦，毕业于剑桥大学，他在物理、数学、天文和 神学方面都有造诣。他也是当时研究古希腊数学 的著名学者。他翻译了欧几里得的《几何原本》， 也是第一个担任剑桥大学卢卡斯讲座教授的人。
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1668年，牛顿返回剑桥不久，获得了硕士学位 （Master of Art）。之后牛顿成为三一学院的一名 成员。1669年，牛顿完成了关于流数法（微积分） 的论文，受到其导师巴罗的极力肯定，但牛顿并没 有把这一成果发表，这造成了日后他和莱布尼茨关 于微积分发明权的长期争论。同年，巴罗决定放弃 自己的卢卡斯（Lucas）讲座教授席位，专心从事 神学研究，并且由于欣赏牛顿的才能，而推荐27岁 的牛顿继任这一职位。这在科学史上被传为一段佳 话，剑桥大学三一学院前至今还树立着这对师徒的 雕像。
他在致胡克（Robert Hooke，1635-1703）的 一封信中也说过这样一句广泛流传的话：“如果我 曾比别人看得更远一些，那是因为我站在巨人的肩 膀上。”
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牛顿 生平
历史的发展有时候充满了戏剧性。1642年1月 8 日 ， 伟 大 的 意 大 利 物 理 学 家 伽 利 略 （ Galileo Galilei ， 1564-1642 ） 逝 世 。 就 像 中 国 藏 族 的 转 世灵童一样，不到一年，牛顿于1642年12月25日 （这是儒略历的日子，对应于现在公历的1643年1 月4日）出生于英国林肯郡（Lincolnshire）的伍 尔索普 (Woolsthope)镇。
牛顿是个遗腹子，在出生前两个多月，他父亲 就去世了。三岁的时候，他母亲改嫁，牛顿就和他 祖母一起生活。在11岁时，牛顿的继父又去世了， 于是他母亲就带着他的一个弟弟和两个妹妹回到沃 斯索普。从此以后，他们就在一起生活。
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大约5岁的时候，牛顿被送到了邻近的乡村小学。 在那里，牛顿平静地度过了9年的日子，家里人似乎 对于他没有什么太大的指望。牛顿有个舅舅叫艾司 考，他发现了牛顿的聪慧，在1656年送他到格兰珊 公学学习。可是，到那里不久，母亲就把他招回来 帮助料理继父留下的田产。经过艾司考与格兰珊公 学校长斯托克斯（J. Stokes）极力恳求他母亲，牛顿 才于1658年重返格兰珊公学。和当时英国的皇家中 学一样，格兰珊公学也是以教授希腊文与拉丁文文 法为主要科目的学校。在格兰珊公学的3年中，牛顿 学习十分努力，目的是为了考取当时最好的大学— —剑桥大学。1661年，牛顿如愿以偿地进入了剑桥 大学的三一学院（Trinity College）。