数学人教A 选修2-3第一章 计数原理单元检测(时间：45分钟，满分：100分)一、选择题(每小题6分，共48分)1．(2013广东广州模拟)若621x ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中x 3的系数为52，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2012课标全国高考，理2)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种3．(2012陕西高考，理8)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A ．10种B ．15种C ．20种D ．30种4．二项式3nx⎛⎝的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为( )A ．9B ．－15C ．135D ．－1355．一次考试中，要求考生从试卷上的9个题目中选6个进行答题，要求至少包含前5个题目中的3个，则考生答题的不同选法的种数是( )A ．40B ．74C ．84D ．2006．将二项式8的展开式中所有项重新排成一列，有理式不相邻的排法有( )种．A ．37AB ．6366A AC ．6367A AD ．7377A A7．“2012”中含有数字0,1,2，且数字2有两个，则含有0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数是( )A ．18B ．24C ．27D ．368．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中的常数项为( )A ．－40B ．－20C ．20D ．40二、填空题(每小题6分，共18分)9．(2012湖南高考，理13)6⎛⎝的二项展开式中的常数项为________．(用数字作答)10．设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，则a 10＋a 11＝__________．11．将三个分别标有A ，B ，C 的球随机放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，则1号盒子中有球的不同放法种数为__________．三、解答题(共34分)12．(10分)(1)四面体的一个顶点为A ，从其他顶点和各棱中点中取3个点，使它们和点A 在同一平面上，有多少种不同的取法？(2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，从其中取4个不共面的点，有多少种不同的取法？13．(12分)已知(23x＋3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．求：(1)展开式中二项式系数最大的项；(2)展开式中系数最大的项．14．(12分)三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？参考答案1答案：B 解析：通项T r ＋1＝6C r·a －r x 12－3r，当12－3r ＝3时，r ＝3，所以x 3的系数为36C ·a －3＝52，解得a ＝2． 2答案：A 解析：将4名学生均分为2个小组共有224222C C 3A =种分法， 将2个小组的同学分给两名教师带有22A 2=种分法， 最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有22A 2=种分法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．3答案：C 解析：甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有23C 3=种情形；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有24C 6=种情形，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C ．4答案：C 解析：由已知2n ＋1＝4，n ＝6，∴633n x x ⎛⎛= ⎝⎝，∴展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(3x )6－r·r＝(－1)r 36－r ·3626C rr x -⋅．令6－32r ＝0，∴r ＝4． ∴T 5＝32·46C ＝9×15＝135． 5答案：B 解析：分三类：第一类：前5个题目的3个，后4个题目的3个， 第二类：前5个题目的4个，后4个题目的2个， 第三类：前5个题目的5个，后4个题目的1个，由分类加法计数原理得334251545454C C +C C +C C 74=．6答案：C解析：8展开式的通项T r＋1＝1638848C C 2rr rrr r x --⋅⋅=⋅，r ＝0,1,2，…，8．当1634r -为整数时，r ＝0,4,8．∴展开式共有9项，其中有有理项3项，先排其余6项有66A 种排法，再将有理项插入形成的7个空档中，有37A 种方法．∴共有6367A A 种排法．7答案：B 解析：有两个数字相同时，共有三类：0,0,1,2；0,1,1,2；0,1,2,2．第一类：由0,0,1,2组成四位数时，千位有2种选法，再将剩余的非零数字填入个位、十位、百位中的一个位置，有3种方法，再将0,0填入其余位置有一种方法，共有6个不同四位数．第二类：当千位是2时，将0填入个位、十位、百位中的一个位置有3种方法，再将1,1填入其余位置有一种方法，∴当千位是2时有3个不同的四位数．当千位是1时，将0,1,2填入个位、十位、百位有6种方法．当由0,1,1,2组成四位数时，共有9个．第三类，同第二类，由0,1,2,2组成四位数时，共有9个． ∴符合条件的四位数有6＋9＋9＝24个．8答案：D 解析：在512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭中令x ＝1得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1．原式＝5511122x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故常数项为x ·35C (2x )231x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1x ·25C (2x )321x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－40＋80＝40．9答案：－160 解析：6⎛⎝的通项为T r ＋1＝6C r (6－r r⎛- ⎝＝(－1)r 6C r 26－r x 3－r．当3－r ＝0时，r ＝3．故(－1)336C 26－3＝－36C 23＝－160．10答案：0 解析：(x －1)21的通项为T r ＋1＝21C r x21－r (－1)r ， ∴T 12＝1121C x 10(－1)11＝－1121C x 10．∴a 10＝1121C -．T 11＝1021C x 11(－1)10＝1021C x 11，∴a 11＝1021C ．∴a 10＋a 11＝1121C -＋1021C ＝0．11答案：37 解析：分三类，1号盒子中有1个球，2个球，3个球．当有1个球时，放法有13C (23A ＋13C )＝27种；有2个球时，放法有2133C C 9⋅=种；有3个球时，放法有1种，∴共有27＋9＋1＝37种． 12答案：解：(直接法)如图，在含顶点A 的四面体的3个面上，除点A 外都有5个点，从中取出3点必与点A 共面，共有353C 种取法；含顶点A 的3条棱上各有3个点，它们与所对的棱的中点共面，共有3种取法．根据分类加法计数原理，与顶点A 共面的3点的取法有353C ＋3＝33种．答案：(间接法)如图，从10个点中取4个点的取法有410C 种，除去4点共面的取法种数后可以得到结果．从四面体同一个面上的6个点取出的4点必定共面，有464C 60=种，四面体每一棱上的3点与所对棱的中点共面，共有6种共面情况；从6条棱的中点中取4个点时有3种共面情形(对棱中点连线两两相交且互相平分)．故4点不共面的取法有410C －(60＋6＋3)＝141种．13答案： 解：令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n ， 又∵展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n －2n ＝992，即n ＝5．(1)∵n ＝5，展开式共6项，二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝22335C ()x (3x 2)2＝90x 6，T 4＝23235C ()x (3x 2)3＝223270x．答案：设展开式中第r ＋1项系数最大， 则T r ＋1＝5Cr (23x )5－r(3x 2)r ＝3r10435C r r x+，于是115511553C 3C 79223C 3C r r r r r r r r r --++⎧≥⎪⇒≤≤⎨≥⎪⎩． 因此r ＝4，即展开式中第5项系数最大，T 5＝2435C ()x (3x 2)4＝263405x．14答案：解：(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有66A 种不同排法．对于其中的每一种排法，三个女生之间又都有33A 种不同的排法，因此共有6363A A 4 320⋅=种不同的排法．答案：(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空，这样共有4个空，加上两边两个男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻．由于五个男生排成一排有55A 种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个来让三个女生插入都有36A 种方法，因此共有5356A A 14 400⋅=种不同的排法．答案：解法1：(位置分析法)因为两端不能排女生，所以两端只能挑选5个男生中的2个，有25A 种不同排法，对于其中的任意一种排法，其余六个位置都有66A 种排法，所以共有2656A A 14 400⋅=种不同的排法．解法2：(间接法)3个女生和5个男生排成一排共有88A 种不同的排法，从中扣除女生排在首位的1737A A ⋅种排法和女生排在末位的1737A A ⋅种排法，但这样两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有2636A A ⋅种不同的排法，所以共有8172683736A 2A A A A 14 400-+=种不同的排法．。