西南科技大学本科期末考试试卷
《 高等数学B1》（第9套）
参考答案及评分细则
一、填空题（每空3分，共15分）
1、答案：212()x y C C x e -=+
分析：易；考查二阶常系数齐次线性微分方程的解法
2、答案：1
分析：难；考查洛比达法则、反常积分的计算方法
3、答案：x e
分析：易；考查原函数与不定积分的概念
4、答案：dx x x dy 11
2-=
分析：易；考查复合函数微分法及微分表达式
5、答案：2
分析：中；考查曲率的计算
二、选择题（每题3分，共15分）
1、答案：B
分析：中；考查变定积分求导,无穷小的阶，洛必达法则
2、答案：B
分析：难；考查利用定积分的定义求数列极限
3、答案：C
分析：中；考查极限的运算、等价无穷小的概念及等价无穷小的替换
4、答案：D
分析：易；考查连续，可导，极限之间的关系。

5、答案：B
分析：易；考查单调性及凹凸性的判定
三、解答题(每小题8分，共56分)
1、解：1
4421=lim(1+)(-)=326n n e ζζ→∞分分原式 分析：中；考查积分中值定理、重要极限
2、解：等式两边同时对x 求导得：
6620y dy dy e y x x dx dx
+++= 6分 则()626y dy e x x y dx
+=-- 则()
266y dy x y dx e x --=+ 2分 分析：易；考查隐函数确定的导数
3、解：1
22120()()a a S S ax x dx x ax dx +=-+-⎰⎰ 2分 3111323
a a =-+ 2分
2121()022S S a a '+=-=⇒=
，即2
a =使得12S S +最小。

4分
最小值为26
- 分析：难；考查最值的综合运用，定积分几何应用
4、解：533'422'2223'
753 tan sec tan sec (sec )(sec 1)sec (sec )121sec sec sec .753x xdx
x xd x x xd x x x x C ==-=-++⎰⎰⎰
分析：中；考查分部积分、直接积分
5
、解：0001|x dx ==-⎰⎰
⎰ 2分
01)1)x dx x dx =-+-⎰⎰ 3分
35531222220122224[][](2355315
x x x x =-+-=+ 3分 分析：中.考查定积分化简技巧、换元积分法、基本积分公式
分析：中；考查定积分化简技巧、换元积分法、基本积分公式
6、解：特征方程为2320r r -+=（2分），特征根为121,2r r ==（1分）.设原方程的特解为
()x y x ax b e *=+（2分），带入原方程可定出1(2)2
x y x x e *=-+（2分）.原方程的通解为2121(2)2
x x x y C e C e x x e =+-+（1分）. 分析：中；考查二阶常系数线性微分方程的求解方法
7、解：11
lim ()lim sin sin x x f x ax a --→→==，3分 1lim ()1(1)x f x f +→=-=，3分。

所以sin 1a =-，即22a n ππ=-。

2分 分析：中；考查连续性的判别
四、证明题(共7分)
证明：令)()()(x g x f x F -=，则)(x F 在),0[∞+内有二阶连续导数，且
)0(0)(,0)0(,0)0(>>''='=x x F F F 3分
)(x F 在00=x 处的泰勒公式：222)(2)(1)0()0()(x F x F x F F x F ！！！ξξ''=''+'+= （其中ξ介于0和x 之间），则当0>x 时，0)(>x F 。

故当0>x 时，)()(x g x f >。

4分 分析：难；考查辅助函数构造及二阶泰勒公式
五、应用题(共7分) 解：由22212
3
y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩
，解得抛物线与圆的两个交点为
和， 2分 由对称性知，所求弧长为
221ln(2
s x ==+ 5分
分析：难；考查求其弧长。