题型突破练——压轴题专练压轴题专练(一)建议用时：40分钟1．[2015·山西质监]已知椭圆E 的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，且经过点⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，22. (1)求椭圆E 的方程；(2)过P (－2,0)的直线l 交E 于A ，B 两点，且PB →＝3PA →，设A ，B 两点关于x 轴的对称点分别是C ，D ，求四边形ACDB 的外接圆的方程．解 (1)由题意知c ＝1,2a －22＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222，∴a ＝2，b ＝a 2－c 2＝1，椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设l ：x ＝my －2，代入椭圆方程得(m 2＋2)y 2－4my ＋2＝0， 由Δ＝8m 2－16＞0得m 2＞2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m m 2＋2，①y 1y 2＝2m 2＋2.②由PB →＝3PA→，得y 2＝3y 1.③由①②③解得m 2＝4，符合m 2＞2.不妨取m ＝2，则线段AB 的垂直平分线的方程为y ＝－2x －23，则所求圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0.又B (0,1)，∴圆的半径r ＝103.∴圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x ＋132＋y 2＝109.2．已知函数f (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x 在[0,1]上单调递减且满足f (0)＝1，f (1)＝0.(1)求实数a 的取值范围；(2)设g (x )＝f (x )－f ′(x )，求g (x )在[0,1]上的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝1，f (1)＝0得c ＝1，a ＋b ＝－1， 则f (x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ，f ′(x )＝[ax 2＋(a －1)x －a ]e x .依题意知，对任意的x ∈[0,1]，有f ′(x )≤0.当a ＞0时，因为二次函数y ＝ax 2＋(a －1)x －a 的图象开口向上，而f ′(0)＝－a ＜0，所以f ′(1)＝(a －1)e ≤0，即0＜a ≤1；当a ＝0时，对任意的x ∈[0,1]，f ′(x )＝－x e x ≤0，符合条件；当a ＜0时，f ′(0)＝－a ＞0，不符合条件．故实数a 的取值范围是[0,1]．(2)因为g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ，g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x ， ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x ＞0，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对任意的x ∈[0,1]有g ′(x )＝－2x e x ≤0，g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0＜a ＜1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a＞0.a ．当1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e.b ．当1－a 2a ＜1，即13＜a ＜1时，g (x )在x ＝1－a 2a处取得最大值g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2a ＝2a e 1－a 2a ，在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ，g (1)＝(1－a )e ，则当13＜a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1＜a ＜1时，g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交⊙O 于点E .证明：①BE ＝EC ； ②AD ·DE ＝2PB 2.(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)，M 为C 1上的动点，P点满足OP →＝2OM→，点P 的轨迹为曲线C 2. ①求C 2的参数方程；②在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |. (3)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f (x )＝|x －m |＋|x ＋6|(m ∈R )．①当m ＝5时，求不等式f (x )≤12的解集；②若不等式f (x )≥7对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)证明：①∵PC ＝2PA ，PD ＝DC ，∴PA ＝PD ，△PAD 为等腰三角形．连接AB ，则∠PAB ＝∠DEB ＝β，∠BCE ＝∠BAE ＝α， ∵∠PAB ＋∠BCE ＝∠PAB ＋∠BAD ＝∠PAD ＝∠PDA ＝∠DEB ＋∠DBE ，∴β＋α＝β＋∠DBE ，即α＝∠DBE ，即∠BCE ＝∠DBE ，所以BE ＝EC .②∵AD ·DE ＝BD ·DC ，PA 2＝PB ·PC ，PD ＝DC ＝PA ，BD ·DC ＝(PA －PB )PA ＝PB ·PC －PB ·PA ＝PB ·(PC －PA )， PB ·PA ＝PB ·2PB ＝2PB 2.(2)①设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x2＝2cos αy 2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos αy ＝4＋4sin α(α为参数)．②曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.(3)①当m ＝5时，f (x )≤12即|x －5|＋|x ＋6|≤12， 当x ＜－6时，得－2x ≤13， 即x ≥－132，所以－132≤x ＜－6； 当－6≤x ≤5时，得11≤12成立，所以－6≤x ≤5； 当x ＞5时，得2x ≤11， 即x ≤112，所以5＜x ≤112.故不等式f (x )≤12的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－132≤x ≤112.②f (x )＝|x －m |＋|x ＋6|≥|(x －m )－(x ＋6)|＝|m ＋6|， 由题意得|m ＋6|≥7，则m ＋6≥7或m ＋6≤－7，解得m ≥1或m ≤－13，故m 的取值范围是(－∞，－13]∪[1，＋∞)．压轴题专练(二)建议用时：40分钟1．如图，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为12，点C 在x 轴上，BC ⊥BF ，B ，C ，F 三点确定的圆M 恰好与直线x ＋3y ＋3＝0相切．(1)求椭圆的方程；(2)过F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在点N ，使得NF 恰好为△PNQ 的内角平分线，若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由．解 (1)由题意可知F (－c,0)，∵e ＝12，∴b ＝3c ，即B (0，3c )，∵k BF ＝3c 0－(－c )＝3，又∵k BC ＝－33，∴C (3c,0)，圆M 的圆心坐标为(c,0)，半径为2c ， 由直线x ＋3y ＋3＝0与圆M 相切可得|c ＋3|1＋(3)2＝2c ，∴c ＝1.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在满足条件的点N (x 0,0)由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2) ∵NF 为△PNQ 的内角平分线， ∴k NP ＝－k NQ ，即y 1x 1－x 0＝－y 2x 2－x 0，∴k (x 1＋1)x 1－x 0＝－k (x 2＋1)x 2－x 0⇒(x 1＋1)(x 2－x 0)＝－(x 2＋1)(x 1－x 0)．∴x 0＝x 1＋x 2＋2x 1x 2x 1＋x 2＋2.又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 24＋y23＝1，∴3x 2＋4k 2(x ＋1)2＝12.∴(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2.∴x 0＝－8k 23＋4k 2＋8k 2－243＋4k 22－8k 23＋4k 2＝－4，∴存在满足条件的点N ，点N 的坐标为(－4,0)．2．[2015·沈阳质监(一)]已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数．(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；(2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ；(3)在区间(1，e)上f (x )x －1＞1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，a ＝4.(2)令g (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ，g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.令g ′(x )＞0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2＞0，解得x ＞1，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以g (x )的最小值为g (1)＝0，所以f (x )≥a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x .(3)令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝ax－1，令h ′(x )＞0，解得x ＜a .当a >e 时，h (x )在(1，e)上单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0. 当1＜a ≤e 时，h (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，e)上单调递减， 所以只需h (e)≥0，即a ≥e －1.当a ≤1时，h (x )在(1，e)上单调递减，则需h (e)≥0， 而h (e)＝a ＋1－e ＜0，不合题意． 综上，a ≥e －1.3.选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图所示，AB 为圆O 的直径，CD 为圆O 的切线，切点为D ，AD ∥OC .①求证：BC 是圆O 的切线； ②若AD ·OC ＝2，试求圆O 的半径． (2)[选修4－4：坐标系与参数方程]以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)上的点到直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2k 的距离为d .①当k ＝3时，求d 的最大值；②若直线l 与圆C 相交，试求k 的取值范围． (3)[选修4－5：不等式选讲] 设f (x )＝|x －3|＋|2x －4|. ①解不等式f (x )≤4；②若对任意实数x ∈[5,9]，f (x )≤ax －1恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)①证明：如图，连接BD 、OD . ∵CD 是圆O 的切线，∴∠ODC ＝90°. ∵AD ∥OC ，∴∠BOC ＝∠OAD . ∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA . ∴∠BOC ＝∠DOC .又∵OC ＝OC ，OB ＝OD ，∴△BOC ≌△DOC . ∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°，即OB ⊥BC . ∴BC 是圆O 的切线．②由①知∠OAD ＝∠DOC ，∴Rt △BAD ∽Rt △COD ，∴AD AB ＝OD OC. AD ·OC ＝AB ·OD ＝2r ×r ＝2，∴r ＝1.(2)①由l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝32，得l ：ρcos θcos π4＋ρsinθsin π4＝32，整理得l ：x ＋y －6＝0.则d ＝|2cos θ＋2sin θ－6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－62∴d max ＝82＝4 2. ②将圆C 的参数方程化为普通方程得x 2＋y 2＝2，直线l 的极坐标方程化为普通方程得x ＋y －k ＝0.∵直线l 与圆C 相交，∴圆心O 到直线l 的距离d <2，即|－k |2＜2，解得－2＜k ＜2.(3)①当x ＜2时，f (x )＝7－3x ≤4，得1≤x ＜2； 当2≤x ≤3时，f (x )＝x －1≤4，得2≤x ≤3； 当x ＞3时，f (x )＝3x －7≤4，得3＜x ≤113.综上可得不等式f (x )≤4的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x ≤113 ②∵x ∈[5,9]，∴f (x )≤ax －1即3x －7≤ax －1， ∴a ≥3－6x ，即a ≥3－69＝73.压轴题专练(三)建议用时：40分钟1．[2015·河南洛阳统考]已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为22，坐标原点O 到过右焦点F 且斜率为1的直线的距离为22.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过右焦点F 且与坐标轴不垂直的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，在线段OF 上是否存在点M (m,0)，使得|MP |＝|MQ |？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，F (c,0)(c ＞0)，由坐标原点O 到直线x －y －c ＝0的距离为22，得|0－0－c |2＝22，解得c ＝1.又e ＝c a ＝22，故a ＝2，b ＝1.∴所求椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在点M (m,0)(0＜m ＜1)满足条件，则以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形．∵直线l 与x 轴不垂直，∴设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2y ＝k (x －1)可得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＞0恒成立，∴x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.设线段PQ 的中点为N (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k1＋2k 2. ∵|MP |＝|MQ |，∴MN ⊥PQ ，∴k MN ·k PQ ＝－1， 即－k1＋2k 22k 21＋2k 2－m ·k ＝－1，∴m ＝k 21＋2k 2＝12＋1k 2.∵k 2＞0，∴0＜m ＜12. 2．[2015·九江一模]设函数f (x )＝12x 2－(a ＋b )x ＋ab ln x (其中e 为自然对数的底数，a ≠e ，b ∈R )，曲线y ＝f (x )在点(e ，f (e))处的切线方程为y ＝－12e 2.(1)求b ；(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，f (x )有且只有两个零点，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝x －(a ＋b )＋ab x ＝(x －a )(x －b )x，∵f ′(e)＝0，a ≠e ，∴b ＝e.(2)由(1)得f (x )＝12x 2－(a ＋e)x ＋a eln x ，f ′(x )＝(x －a )(x －e )x，①当a ≤1e 时，由f ′(x )＞0得x >e ；由f ′(x )<0得1e＜x ＜e.此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增．∵f (e)＝12e 2－(a ＋e)e ＋a elne ＝－12e 2＜0， f (e 2)＝12e 4－(a ＋e)e 2＋2a e ＝12e(e －2)(e 2－2a )≥12e(e －2)⎝⎛⎭⎪⎫e 2－2e ＞0，(或当x →＋∞时，f (x )＞0亦可)∴要使得f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞上有且只有两个零点，则只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝12e2－a ＋e e ＋a eln 1e ＝(1－2e 2)－2e (1＋e 2)a2e 2≥0，即a ≤1－2e 22e (1＋e 2). ②当1e ＜a ＜e 时，由f ′(x )＞0得1e＜x ＜a 或x ＞e ；由f ′(x )＜0得a ＜x ＜e.此时f (x )在(a ，e)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，a 和(e ，＋∞)上单调递增．f(a)＝－12a2－ae＋a eln a＜－12a2－a e＋a elne＝－12a2＜0，∴此时f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，＋∞上至多只有一个零点，不合题意．③当a＞e时，由f′(x)＞0得1e＜x＜e或x＞a，由f′(x)＜0得e＜x＜a，此时f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫1e，e和(a，＋∞)上单调递增，在(e，a)上单调递减，且f(e)＝－12e2＜0，∴f(x)在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e，＋∞上至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－2e22e(1＋e2).3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，BC＝3，CD＝5.求对角线BD、AC的长．(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝12t，y＝1＋32t(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝22sin⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P.①求曲线C 的直角坐标方程； ②求1|PA|＋1|PB |的值．(3)[选修4－5：不等式选讲]已知实数m ，n 满足：关于x 的不等式|x 2＋mx ＋n |≤|3x 2－6x －9|的解集为R .①求m ，n 的值；②若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3. 解 (1)如图，延长DC ，AB 交于点E .∵∠BAD ＝60°，∴∠ECB ＝60°， ∵∠ABC ＝90°，BC ＝3，CD ＝5， ∴∠EBC ＝90°，∴∠E ＝30°，∴EC ＝2BC ＝2×3＝6，∴EB ＝3BC ＝33， ∴ED ＝DC ＋EC ＝5＋6＝11， ∵EC ×ED ＝EB ×(EB ＋AB )，则6×11＝33×(33＋AB )，解得AB ＝1333，∴AC ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13332＝1433. ∵∠EDB ＝∠EAC ，∠E ＝∠E ，∴△EDB ∽△EAC ，∴BD AC ＝BECE，∴BD ＝AC ·BECE ＝1433×336＝7.(2)①利用极坐标公式，把曲线C 的极坐标方程ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4化为ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，∴普通方程是x 2＋y 2＝2y ＋2x ， 即(x －1)2＋(y －1)2＝2.②∵直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，把直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝1＋32t代入曲线C 的普通方程(x －1)2＋(y －1)2＝2中，得t 2－t －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1·t 2＝－1，t 1＋t 2＝1，∴1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2| ＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝12－4×(－1)＝ 5.(3)①由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，即有⎩⎪⎨⎪⎧|9＋3m ＋n |≤0|1－m ＋n |≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧9＋3m ＋n ＝01－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3，经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R .②证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， ∴(a ＋b ＋c )2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3，故a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号)．压轴题专练(四)建议用时：40分钟1．[2015·九江一模]已知椭圆C 的中心在坐标原点，右焦点为F (7，0)，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△ADB 面积的最大值为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：当点P (x 0，y 0)在椭圆C 上运动时，直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点，并求直线l 被圆O 所截得的弦长L 的取值范围．解 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得(S △ADB )max ＝12·2a ·b ＝ab ＝12，①∵F (7，0)为椭圆右焦点，∴a 2＝b 2＋7，②由①②可得a ＝4，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 29＝1.(2)证明：∵P (x 0，y 0)是椭圆上的动点，∴x 2016＋y 29＝1， ∴y 20＝9－9x 2016，∴圆心O 到直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2的距离d ＝2x 20＋y 20＝2x 20＋9－916x 2＝2716x 20＋9＜1(0≤x 20≤16)， ∴直线l ：x 0x ＋y 0y ＝2与圆O ：x 2＋y 2＝1恒有两个交点，L ＝2r 2－d 2＝21－4716x 20＋9(r 为圆x 2＋y 2＝1的半径)， ∵0≤x 20≤16，∴9≤716x 20＋9≤16，∴253≤L ≤ 3.2．[2015·唐山统考]已知函数f (x )＝a e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋bx ，直线l 与曲线C 1：y ＝f (x )切于点(0，f (0))，且与曲线C 2：y ＝g (x )切于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2.(1)求a ，b 的值和直线l 的方程；(2)证明：除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧． 解 (1)f ′(x )＝a e x ＋2x ，g ′(x )＝cos x ＋b ，f (0)＝a ，f ′(0)＝a ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1＋π2b ，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝b ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝ax ＋a ，曲线y ＝g (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2处的切线方程为y ＝b ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋1＋π2b ，即y ＝bx ＋1.依题意，有a ＝b ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1. (2)证明：由(1)知f (x )＝e x ＋x 2，g (x )＝sin x ＋x .设F (x )＝f (x )－(x ＋1)＝e x ＋x 2－x －1，则F ′(x )＝e x ＋2x －1， 当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＜F ′(0)＝0； 当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞F ′(0)＝0.F (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故F (x )≥F (0)＝0.设G (x )＝x ＋1－g (x )＝1－sin x ，则G (x )≥0，当且仅当x ＝2kπ＋π2(k ∈Z )时等号成立．综上可知，f (x )≥x ＋1≥g (x )，且两个等号不同时成立，因此f (x )＞g (x )．所以除切点外，曲线C 1，C 2位于直线l 的两侧． 3．选做题(1)[选修4－1：几何证明选讲]在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，BC ＝3，以AB 为直径作圆O 交AC 于点D .①求线段CD 的长度；②点E 为线段BC 上一点，当点E 在什么位置时，直线ED 与圆O 相切，并说明理由．(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.①求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；②将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C 1.求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值．(3)[选修4－5：不等式选讲]已知a ＋b ＝1，对∀a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，求x 的取值范围．解 (1)①连接BD ，在直角三角形ABC 中，易知AC ＝5，∠BDC ＝∠ADB ＝90°，所以∠BDC ＝∠ABC ，又因为∠C ＝∠C ， 所以Rt △ABC ∽Rt △BDC ，所以CD BC ＝BC AC ，所以CD ＝BC 2AC ＝95.②当点E 是BC 的中点时，ED 与⊙O 相切；证明：连接OD ，∵DE 是Rt △BDC 的中线，∴ED ＝EB ， ∴∠EBD ＝∠EDB ，∵OB ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ， ∴∠ODE ＝∠ODB ＋∠BDE ＝∠OBD ＋∠EBD ＝∠ABC ＝90°， ∴ED ⊥OD ，∴ED 与⊙O 相切．(2)①曲线C 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝4x ，即：(x －2)2＋y 2＝4，直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.②将曲线C 上的所有点的横坐标缩为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1.再将所得曲线向左平移1个单位，得C 1：x 2＋y 24＝1.又曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)，则d p →l ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ－φ)|2≥102(其中tan φ＝12)， ∴点P 到直线l 的距离的最小值为102. (3)∵a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，∴1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4ab≥9，故1a ＋4b的最小值为9，因为对a ，b ∈(0，＋∞)，使1a ＋4b≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，所以|2x －1|－|x ＋1|≤9，当x ≤－1时，2－x ≤9，∴－7≤x ≤－1， 当－1＜x ＜12时，－3x ≤9，∴－1＜x ＜12，当x ≥12时，x －2≤9，∴12≤x ≤11，∴－7≤x ≤11.。