山东省数学高考模拟试题精编八
【说明】 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分．考试时间120分钟．请将第Ⅰ卷的答案填入答题栏内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．若复数(a 2
－1)＋(a －1)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a ＝( ) A ．±1 B ．－1 C ．0 D ．1 2.
设全集U ＝R ，A ＝{x |2
x (x －2)
＜1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合( )
A ．{x |x ≥1} B．{x |1≤x ＜2} C ．{x |0＜x ≤1} D．{x |x ≤1}
3．一个圆锥被过顶点的平面截去了较少的一部分几何体，余下的几何体的三视图如下，则余下部分的几何体的体积为( )
A.8π3＋15
B.16π9＋233
C.8π3＋233
D.16π3
＋ 3
4．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →
|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 5.
如果执行如右图所示的程序框图，则输出的S 值为( ) A ．－3 B ．－1
2
C ．2 D.1
3
6．(理)把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( ) A ．36种 B ．45种 C ．54种 D ．96种
(文)给出命题p ：直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0与直线l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行的充要条件是a ＝－3；命题q ：若平面α内不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A ．命题“p 且q ”为真 B ．命题“p 或q ”为假 C ．命题“p 或綈q ”为假 D ．命题“p 且綈q ”为真
7．一艘轮船从O 点的正东方向10 km 处出发，沿直线向O 点的正北方向10 km 处的港口航行，某台风中心在点O ，距中心不超过r km 的位置都会受其影响，且r 是区间[5,10]内的一个随机数，则轮船在航行途中会遭受台风影响的概率是( ) A.
2－12 B ．1－2
2
C.2－1 D ．2－ 2
8．已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2
x －1(x ∈R )，则f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值
和最小值分别是( )
A ．2，－1
B ．1，－1
C ．1，－2
D ．2，－2
9．已知三边长分别为4、5、6的△ABC 的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，则三棱锥P －ABC 的体积为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．30
10．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5²a 2n －5＝22n
(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2
C ．n 2
D ．(n －1)2
11．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且函数f (x )＝1＋2sin 2
x sin 2x 的最小值为b ，若函数g (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
－1⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4＜x ＜π28x 2
－6bx ＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫0＜x ≤π4，则不等式g (x )≤1的解集为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2
B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π
4，32
C.⎣⎢
⎡⎦⎥⎤34，32 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
34，π2 12．若曲线f (x ，y )＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f (x ，y )＝0的“自公切线”．下列方程：①x 2
－y 2
＝1；②y ＝x 2
－|x |；③y ＝3sin x ＋4cos x ；④|x |＋1＝4－y 2
对应的曲线中存在“自公切线”的有( ) A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 答题栏
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填写在题中的横线上) 13．已知抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的准线与圆x 2
＋y 2
－4x －5＝0相切，则p 的值为________．
14．(理)设a ＝∫π
0sin x d x ，则二项式⎝
⎛⎭
⎪⎫a x －
1x 6
的展开式中的常数项等于________． (文)已知函数f(x)＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]．则对∀x ∈[－1,1]，都有f(x)≥0恒成立的概率是________．
15．已知O 为坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，点N(x ，y)的坐标x 、y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0y≤1
.则OM →²ON →
的取值范围是________．
16．定义函数f(x)＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x 的最大整数，当x ∈[0，n)(n ∈N *
)时，设函数f (x )的值域为集合A ，记A 中的元素个数为a n ，则
a n ＋49
n
的最小值为________． 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤) 17．(本小题满分12分)在锐角三角形ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且3a －2c sin A ＝0. (Ⅰ)求角C 的大小；
(Ⅱ)若c ＝2，求a ＋b 的最大值． 18.(理)(本小题满分12分)
如图，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于直线AC ，EC ⊥平面ABCD ，
AB ＝1，AD ＝2，∠ADC ＝60°，AF ＝ 3.
(1)求证：AC ⊥BF ；
(2)求二面角F －BD －A 的余弦值．
(文)(本小题满分12分)如图，已知BC 是半径为1的半圆O 的直径，A 是半圆周上不同于B ，
C 的点，F 为AC 的中点．梯形ACDE 中，DE ∥AC ，且AC ＝2DE ，平面ACDE ⊥平面ABC .
(1)求证：平面ABE ⊥平面ACDE ； (2)求证：平面OFD ∥平面ABE .
19.(理)(本小题满分12分)某学校高三(1)班学生举行新年联欢活动；准备了10张奖券，其中一等奖的奖券有2张，二等奖的奖券有3张，其余奖券均为3等奖． (Ⅰ)求从中任意抽取2张，均得到一等奖奖券的概率；
(Ⅱ)从中任意抽取3张，至多有1张一等奖奖券的概率；
(Ⅲ)从中任意抽取3张，得到二等奖奖券数记为ξ，求ξ的数学期望．
(文)(本小题满分12分)第12届全运会于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”.
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；
(2)若从身高180 cm以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm以上的概率．
20.(本小题满分13分)已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＋n＝2a n(n∈N*)．
(1)证明：数列{a n＋1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝(2n＋1)a n＋2n＋1，数列{b n}的前n项和为T n，求满足不等式T n－2
2n－1
＞2 013的最小n值．
21．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝e x－ax2(a∈R)
(1)求函数f(x)在点P(0,1)处的切线方程；
(2)若函数f(x)为R上的单调递增函数，试求a的范围；
(3)若函数f(x)不出现在直线y＝x＋1的下方，试求a的最大值．
22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(－2,0)、A2(2,0)，再取两个动点N1(0，m)、N2(0，n)，且mn＝3.
(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程；
(2)已知F2(1,0)，设直线l：y＝kx＋m与(1)中的轨迹M交于P、Q两点，直线F2P、F2Q的倾斜角为α、β，且α＋β＝π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．。