极坐标秒杀圆锥曲线问题一、适用题型二、基本理论：（一）极坐标系、在平面内取一定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），如图对于平面内任意一点M，用ρ叫做点M 的极径，θ叫做点M 的极角，有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标为ρ,θ的点M，可表示为M (,)ρθ。
（二）圆锥曲线的统一极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点F)的距离和一条定直线(准线L)的距离的比等于常数e 的点的轨迹。
建立以焦点F 为极点，x 轴正方向为极轴的极坐标系，其统一的极坐标方程为：θρcos 1e ep-=（成为标准极坐标方程）。
（1）当0＜e＜1时，方程表示椭圆；定点F 是椭圆的左焦点，定直线L 是它的左准线。
（2）e=1时，方程表示开口向右的抛物线.（3）e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点F 是它的右焦点，定直线L 是它的右准线。
（若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线）其中：（i）ρ是动点到极点的距离（ρ＞0），θ表示极径与极轴正方向的夹角。
（ii）e 表示圆锥曲线的离心率，c e a=。
（iii）p 表示焦点到准线的距离。
由焦点与准线的不同位置关系，从而建立不同的极坐标，利用圆锥曲线定义可得其统一极坐标方程为：推广1：1+cos epe ρθ=（1）0＜e＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆（2）e=1时时，方程表示开口向左的抛物线（3）e＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线推广2：1-sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向上的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线推广3：1+sin ep e ρθ=（1）0＜e＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆（2）e=1时，方程表示开口向下的抛物线（3）e＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线（三）常用性质（1）对于圆锥曲线的标准极坐标方程θρcos 1e ep-=，则与之对应的直角坐标方程为：()22221x c y a b++=，当（0<e<1时）；()22221x c y a b++=，当（e>1时,R ρ∈）；22()y p x c =+(当e=1时)（2）记圆锥曲线的统一方程1-sin epe ρθ=，有公式1：2(0)()a ρρπ=+公式2：2(0)()c ρρπ=-公式3：22(0)()b ρρπ= 其中2a 表示椭圆长轴与双曲线实轴长，2b 表示椭圆短轴与双曲线虚轴长，2c 表示焦距。
（3）由圆锥曲线的标准极坐标方程。
易求得过焦点且倾斜角为θ的弦AB 的长度为2221cos epAB e θ=-。
i）、椭圆中，cb c c a p 22=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.ii)、双曲线中，若M、N 在双曲线同一支上，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=；若M、N 在双曲线不同支上，2222cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ.iii)、抛物线中，θθπθ2sin 2)cos(1cos 1pp p MN =--+-=附录直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2；当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；3、若F 是抛物线的焦点，2p x PF +=.三、典型例题（1）二次曲线基本量之间的互求例1、椭圆的极坐标方程532cos ρθ=-，那么它的短轴长是_______答案：25解析：短轴长5522(0)()22532cos 032cos b ρρππ===-- .例2、椭圆的极坐标方程为532cos ρθ=-，则它的短轴的两个端点的极坐标为_______答案：5(2,),2,33M N ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭解析：2(0)()4a ρρπ=+=，2(0)()2c ρρπ=-=，由图可知1cos 23c a πθθ==⇒=所以端点5(2,),2,33M N ππ⎛⎫⎪⎝⎭。
例3、求椭圆62cos ρθ=-的长轴与短轴之长。
答案：长轴长28a =，短轴长243b =解析：法一：166212cos 1cos 2ρθθ⨯==-- 166212cos 1cos 2ρθθ⨯==-- 162e ∴==，p 2221422326c a a b a c c a c c⎧=⎪=⎧⎪∴⇒⇒=-=⎨⎨=⎩⎪-=⎪⎩长轴长28a =，短轴长243b =法二：当0θ=时，ac ρ=+；当θπ=时，a cρ=-22642342a c ab ac a c c +==⎧⎧∴⇒⇒=-=⎨⎨-==⎩⎩长轴长28a =，短轴长243b =例4、确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
答案：31554e =离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解析：法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==--31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩2225155()()882b ∴=-=31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。
下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
（2）圆锥曲线弦长问题i）直接求弦长：例5、过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3π的直线，交双曲线与A、B 两点，求AB ｜｜答案：807解析：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得523cos ρθ=-所以12(,),(,)33A B ππρρπ+又由12||AB ρρ=+得5580||723cos23cos()33πππ=+=--+注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需加绝对值，但求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
点拨：由于椭圆,抛物线的弦的两个端点极径均为正值,所以弦长都是12ρρ+;对于两个端点都在双曲线右支上的弦,其端点极径均为正值,所以弦长也是12ρρ+;对于两个端点分别在双曲线左、右支上的弦,其端点极径一个为正值一个为负值,所以弦长是12ρρ+或12()ρρ-+，为统一起见，求双曲线时一律加绝对值，使用12ρρ+例6、等轴双曲线长轴为2，过其右有焦点，引倾斜角为6π的直线，交双曲线于A,B 两点，求AB 答案：4解析：12(,),(,)66A B ππρπρ+-112cos ρθ=-12||AB ρρ=+11||12cos 12cos()66πππ=+-+--（）22||42626=+=+-ii）利用弦长求面积例7、（08年海南卷）过椭圆22154x y +=的焦点F 作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∆的面积．答案：259解析：法一：首先极坐标方程中的焦点弦长公式222||1cos epAB e θ=-求弦长，然后利用公式B 1|B |||sin 2AO S A OF AFO ∆=∠直接得出答案。
法二：用公式1||||sin 2AOF S AF OF AFO ∆=∠计算一个三角形面积，同理计算另一个三角形面积，然后求和．建立极坐标系，因为点A 对应极角θ，且1cos 5θ=，易求点A 对应的极径||AF ，||OF 即为半焦距，sin AFO ∠=25例8、(2005年全国高考理科)已知点F 为椭圆2212x y +=的左焦点.过点F 的直线1l 与椭圆交于P 、Q 两点，过F 且与1l 垂直的直线2l 交椭圆于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最小值和最大值.答案：面积取得最小值169；面积取得最大值2解析：以点F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2221cos 2ρθ=-设直线1l 的倾斜角θ，则直线2l 的倾斜角为090θ+，由极坐标系中焦点弦长公式知：22||11cos 2PQ θ=-，20222||111cos (90)1sin 22MN θθ==-+-用他们来表示四边形的面积1||||2S PQ MN =22111sin cos 24θθ=+ 2111sin 2216θ=+即求2111sin 2216θ+的最大值与最小值由三角知识易知：当sin 21θ=±时，面积取得最小值169；当sin 20θ=时，面积取得最大值2iii)利用弦长公式解决常量问题例9、过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点F，作倾斜角为60的直线l 交椭圆于A、B两点，若FBF A 2=，求椭圆的离心率.答案：32=e 解析：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
设椭圆的极坐标方程为θρcos 1e p e -=则00240cos 1,60cos 1e pe FB e p e F A -=-=，∴21221e p e e p e +⋅=-，解得32=e ；例10、求过椭圆23cos ρθ=-的左焦点，且倾斜角为4π的弦长AB 和左焦点到左准线的距离。
答案：弦长AB 为2417，左焦点到左准线的距为2解：先将方程ρ=化为标准形式：2311cos 3ρθ=-则离心率13e =，23ep =，2p ∴=所以左焦点到左准线的距为2。
设125(,),(,)44A B ππρρ，代入极坐标方程，则弦长1222245173cos3cos44AB ρρππ=+=+=--（3）定值问题例11、抛物线22(0)y px p =>的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：11a b+定值。
证明：以焦点F 为极点，以FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为1cos pρθ=-，设(,),(,)A aB b θθπ+将A,B 两点代入极坐标方程，得,1cos 1cos()p pa b θθπ==--+则11a b +=1cos 1cos()p p θθπ--++=2p（定值）点拨：引申到椭圆和双曲线也是成立的。