5 3cos
解法一：
2
3 10 53
1 3 cos 1 3 cos
5
5
e 3，P 10
5
3
c
a b2
c
3 5 10 3
5
3
3a c 5 a c 10
3
a
c
25 8 15 8
b ( 25)2 (15)2 5 8 82
方程表示椭圆的离心率e 3，焦距15，长轴长 25，短轴长5
圆锥曲线的极坐标方程
极坐标处理二次曲线问题教案
知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离 和一条定直线(准线)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点 F 作相 应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．
ab p
p
p
点睛，引申到椭圆和双曲线也是成立的。
推论：若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，则有 1 1 2
MF NF ep
例二：经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦 AB 和弦 CD,求证 1 1 为定 AB CD
值。 证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为 ep ，
1 e cos
焦点弦长公式知：
| PQ |
2 ，| MN |
2
2
1 1 cos2
1 1 cos2 ( 900 ) 1 1 sin2
2
2
2
用他们来表示四边形的面积
S 1 | PQ | | MN |
1
1
2
1 1 sin2 cos2 1 1 sin2 2
24
2 16
即求 1 的最大值与最小值
1 1 sin2 2 2 16
54
直线与椭圆交于 A，B 两点，O 为坐标原点，求 AOB 的面积．
简解首先极坐标方程中的焦点弦长公式 |
AB
|
1
2ep e2 cos
2
求弦长，然后
利用公式
SAOB
1 2
|
AB ||
OF
|
sin
AFO
直接得出答案。
变式(2005 年全国高考理科)已知点 F 为椭圆 x2 y2 1的左焦点.过点
5
4
4
解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为 0 ，因此只需
令 0，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶
点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，
简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问
题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。
2
9 cos
，设点
P1
对应的极角为
，则点
P2
与
P3
对应的极角分别
为 1200 、 1200 ， P1 、 P2 与 P3 的极径就分别是 | FP1 |
9、
2 cos
| FP2 |
9 2 cos( 1200 )
与 | FP3 |
9
，因此
2 cos( 1200 )
1 1 1 2 cos 2 cos( 1200 ) 2 cos( 1200 ) ，而在三
F1 作
倾斜角为 60°的直线和椭圆相交于 A，B 两点，| AF1 | 2 | BF1 | ．
（1）求椭圆的离心率 e ； （2）若| AB | 15 ，求椭圆方程
4
当 e＞1 时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3） ep 1+e sin
当 0＜e＜1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆
当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线
当 e＞1 时!方程表示极点在下焦点的双曲线
例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
例 1.确定方程 10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
FP1 FP 2 FP3
9
9
9
角函数的学习中，我们知道 cos cos( 1200) cos( 1200) 0 ，因此
1 1 1 2 为定值
FP1 FP 2 FP3 3
极坐标分别表示| FP1 |、| FP2 | 与| FP3 | ，这样一个角度对应一个极径．就 不会象解析几何那样，一个倾斜角，对应两个点，同时对应两条焦半
由三角知识易知：当 sin 2 1时，面积取得最小值 16 ；当 sin 2 0 时，
9
面积取得最大值 2
利用弦长公式解决常量问题
x2
例一．过椭圆 a2
y2 b2
1 (a
b
0)
的左焦点
F，作倾斜角为
60
的直线 l
交椭圆于 A、B 两点，若 FA 2 FB ，求椭圆的离心率.
简解，建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。
45
3
A、B 两点，求｜AB｜
解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系
即得
5 2 3cos
所以
A(
1,
3
),
B(
2
,
) 3
又由 AB | 1 2 |
得
|
5 2 3cos
5 2 3cos(
)
|
80 7
3ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3
注释：求椭圆和抛物线过焦点的弦长时，无需对 v
加绝对值，但
求双曲线的弦长时，一定要加绝对值，这是避免讨论做好的方法。
证明： 1 1 定值。
ab
解：以焦点 F 为极点，以 FX 轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的
极坐标方程为 p ，设 A(a, ), B(b, )
1 cos
将 A,B 两点代入极坐标方程，得 a p ,b
p
1 cos 1 cos( )
则 1 1 = 1 cos 1 cos( ) = 2 （定值）
设椭圆的极坐标方程为 e p 则 FA e p , FB e p ，
1 e cos
1 e cos 60 0
1 e cos 240 0
∴ ep 1 e
ep 2
1 e
，解得 e
2 3
；
2
2
变式求过椭圆 2 的左焦点，且倾斜角为 的弦长 AB 和左焦
3 cos
4
点到左准线的距离。
2
解：先将方程
引论（1）若 ep 1+e cos
则 0＜e＜1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线 当 e＞1 方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若 ep
1-e sin 当 0＜e＜1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向上的抛物线
径（极径），这就是极坐标表示圆锥曲线的优点．
推广 1 若放在抛物线和双曲线中是否成立呢？
推广 2 设 P1P2P3 Pn是 椭圆上的 n 个点，且 FP1,FP2,FP3 FPN 圆周角等分
n
则
1 也为定值
i=1 OPi 2
例题：（2003
年希望杯竞赛题）经过椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的焦点
化为标准形式：
1
3 1 cos
3
则离心率 e 1 ， ep 2 ，
3
3
p2
所以左焦点到左准线的距为 2。
设
A(1,
4
),
B(2
,
5 4
)
，代入极坐标方程，则弦长
AB
1 2
3
2 cos
3
2 cos
5
24 17
4
4
（3）定值问题
例 1. 抛物线 y2 2 px( p 0) 的一条焦点弦被焦点分为 a,b 的两段，
（2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F，
1、椭圆中， p a 2 c b2 ， MN ep
ep
2ab2 .
c
c
1 e cos 1 e cos( ) a2 c2 cos2
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
若 M、N 在双曲线同一支上， MN ep
6
线，交双曲线于 A,B 两点，求 AB
求｜AB｜ 解： 1
1 2 cos
A(1,
6
),
B( 2 ,
6
)
AB | 1 2 |
| 1
2
1 co（s
）
1
6
2
1 cos(
)
|
6
| 2 2
6
2 2
6
|
附录直角坐标系中的焦半径公式
设 P（x,y）是圆锥曲线上的点，
1、若 F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF1 a ex ，PF2 a ex ；
又设 A 1,1 ,B 2,
+
,C
3
,
2
+
,D
4
,
3 2
+
则代入可得
|
AB
|
1
2ep e2 cos
2
，
|
AB
|
2ep 1 e2 sin2
则
1 1 = 2-e2 AB CD 2ep
注释。此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。注意使用的范围。 推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。需要以原点为 极点建立极坐标方程。 推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。
ep
2ab2
；
1 e cos 1 e cos( ) a2 c2 cos2