利用极坐标解题知识点精析：椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点( 焦点 ) 的距离和一条定直线 ( 准线 ) 的距离的比等于常数 e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点 ( 双曲线的右焦点、抛物线的焦点) 为极点，过点 F 作相应准线的垂线，垂足为 K，以 FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系．椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：ep.1 ecos其中 p 是定点 F 到定直线的距离，p＞ 0 ．当 0＜ e＜ 1 时，方程表示椭圆；当 e＞ 1 时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当 e=1 时，方程表示开口向右的抛物线.引论（ 1）若ep1+ecos则0＜ e＜ 1 当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆当 e=1 时时，方程表示开口向左的抛物线当 e＞ 1 方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若ep1-esin当0 ＜ e＜ 1 时，方程表示极点在下焦点的椭圆当e=1 时，方程表示开口向上的抛物线当e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在上焦点的双曲线ep（3）1+esin当 0 ＜ e ＜ 1 时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当 e=1 时，方程表示开口向下的抛物线当 e ＞ 1 时 ! 方程表示极点在下焦点的双曲线例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例 1.（复旦自招）确定方程10 表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。

3cos523 10解法一：5 31 3cos1 3cos55310e， P5 3c33 a c a25a558 b 2 10510 c15c3a c3 83b( 25 )2 ( 15 )2 5 8 823 15 长轴长 25，短轴长5方程表示椭圆的离心率 e，焦距 ，454解法二：转化为直角坐标（ 2）圆锥曲线弦长问题若圆锥曲线的弦 MN 经过焦点 F ，1、椭圆中， pa 2 cb 2 ， MNep ep) a 22ab 2 .cc1 ecos 1 ecos(c 2 cos 2若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线 的倾斜角为交椭圆于 A 、 B 两点，求弦长。

解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得，整理可得，同理可求得，则弦长。

同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）结论：椭圆过焦点弦长公式：2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。

）ep ep2ab2；若 M 、 N 在双曲线同一支上，MN1ecos1ecos() a2c2cos2ep ep2ab2若 M 、 N 在双曲线不同支上，MN1ecos1ecos c 2 cos2a2设双曲线，其中两焦点坐标为，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、 B 两点，求弦长|AB| 。

解：（ 1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、 B 在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得整理可得，同理，则可求得弦长。

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、 B 在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得，整理可得，则因此焦点在x 轴的焦点弦长为同理可得焦点在y 轴上的焦点弦长公式其中 a 为实半轴， b 为虚半轴， c 为半焦距，为AB的倾斜角。

p p 2 p3、抛物线中，MN1 cos1 cos() sin 2若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长 |AB| ？（图 4）解：过 A、 B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，，则点 A 的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得即则同理的焦点弦长为的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为例 2．已知抛物线y2=2px （p>0 ），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于 A ， B 两点，求AB 长 .练习 1：．过双曲线x2- y21的右焦点，引倾斜角为的直线，交双曲线与 A 、 B 两点，453求｜AB ｜解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系即得53cos A(,), B( 2 ,) 2133附录直角坐标系中的焦半径公式设 P （ x,y ）是圆锥曲线上的点，1、若 F 1、 F 2 分别是椭圆的左、右焦点，则 PF 1 a ex ， PF 2 a ex ；2、若 F 1、 F 2 分别是双曲线的左、右焦点，当点 P 在双曲线右支上时， PF 1 ex a ， PF 2 ex a ；当点 P 在双曲线左支上时， PF 1 a ex ， PF 2 a ex ；3、若 F 是抛物线的焦点，PFxp.2利用弦长求面积22例 3．设过椭圆xy1 的右焦点的弦 AB=8 ，求三角形 AOB 的面积。

25162 2练习 2．（ 08 年海南卷）过椭圆x y 1 的焦点 F 作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于5 4A ，B 两点， O 为坐标原点，求AOB 的面积．简解：首先极坐标方程中的焦点弦长公式| AB |2ep求弦长，然后利用公式e 2 cos 2 11| AB ||OF | sin AFO 直接得出答案。

S AO B2年全国高考理科 )已知点 F 为椭圆x 2练习 3． (2005y 2 1的左焦点 .过点 F 的直线 l 1 与椭2圆交于 P 、 Q 两点， 过 F 且与 l 1 垂直的直线 l 2 交椭圆于 M 、 N 两点， 求四边形 PMQN 面积的最小值和最大值 .2解析：以点 F 为极点，建立极坐标系，则椭圆的极坐标方程为：2 2cos12设直线 l 1 的倾斜角 ，则直线 l 2 的倾斜角为900 ，由极坐标系中焦点弦长公式知：| PQ |2 ， | MN |221cos21cos 2(900)1sin2111222用他们来表示四边形的面积S1| PQ |g| MN |1 11112sin 221sin 222 4gcos2 161即求的最大值与最小值11 sin2 22 16由三角知识易知：当 sin 21时，面积取得最小值16；当 sin 20 时，面积取得最大值 29利用弦长公式解决常量问题x 2y 2 1 (a b 0)例 4．过椭圆 a 2b 2 的左焦点 F ，作倾斜角为 60 的直线 l交椭圆于 A 、B两点，若FA2 FB，求椭圆的离心率 .简解：建立极坐标系，然后利用等量关系，可很快求出离心率。

设椭圆的极坐标方程为e pe pe p1 ecos 则 FA1 ecos 60, FB1 ecos 240 0，∴ e p2 e p，解得 e2；ee31122练习 4．求过椭圆距离。

2 的左焦点，且倾斜角为的弦长 AB 和左焦点到左准线的3 cos42解：先将方程化为标准形式：3 则离心率 e121 ， ep，133cos3p 2所以左焦点到左准线的距为2。

设 A(1,), B(5) ，代入极坐标方程，则弦长4 2,4AB1222243 cos3 cos 5174（ 3）定值问题4例 5. 抛物线y 22 px( p 0) 的一条焦点弦被焦点分为a,b 的两段，证明：1 1 定值。

FFXa b解：以焦点为极点，以轴为极轴建立极坐标系，则抛物线的极坐标方程为p ，设 A(a, ), B(b,)1 cos将 A,B 两点代入极坐标方程，得ap , bp1 cos1 cos()则11 = 1 cos 1 cos() = 2（定值）ab ppp点睛：引申到椭圆和双曲线也是成立的。

推论：若圆锥曲线的弦11 2MN 经过焦点 F ，则有NFepMF例 6．经过椭圆的的焦点作两条相互垂直的弦AB 和弦 CD, 求证1 1 为定值。

ABCD证明：以椭圆的左焦点建立极坐标系，此时椭圆的极坐标方程为ep，又设1 ecos3则代入可得A 1, 1 ,B2 , + ,C3 , 2 +,D4 ,2 +| AB |2ep， | AB |2ep 则 11 = 2-e 21 e2 cos 21 e2 sin 2AB CD2ep注释。

此公式对抛物线也成立，但对双曲线不成立。

注意使用的范围。

推广 1 若经过椭圆的中心做两条相互垂直的弦，倒数和也为定值。

需要以原点为极点建立极坐标方程。

推广 2 若不取倒数，可以求它们和的最值。

例 7． (2007重理改 )中心在原点O的x2y2 1 ，点F是其左焦点，在上任3627取三个不同点P1,P2 ,P3使∠P1FP2∠P2 FP3∠ P3 FP11200．明：111FP 2定，并求此定．FP1FP3解析：以点 F 极点建立极坐系，的极坐方程：9，点 P1 2cos的极角，点 P2与 P3的极角分1200、1200， P1、 P2与 P3的极径就分是| FP1|9、 | FP2 |9与 | FP3 | 2cos2cos(1200 )9，因此2cos(120 0 )1112cos2cos(1200 )2cos(1200 )，而在三角函FP1FP 2FP3999数的学中，我知道cos cos(1200 )cos(1200 ) 0 ，因此1112定FP1FP 2FP33点睛：极坐分表示 | FP1 |、 | FP2 |与 | FP3 |，一个角度一个极径．就不会象解析几何那，一个斜角，两个点，同两条焦半径（极径），就是极坐表示曲的点．推广：若放在抛物和双曲中是否成立呢？例 8 ．（ 2006全国江）x 2y 2251的右焦点F，P1，P2，⋯，P2424个依16逆序排列在上的点，其中P1是的右点，并且∠P1FP 2= ∠ P2FP3 = ∠P FP =⋯ =∠P FP .若 24 个点到右焦点的距离的倒数和S，求 S 的．34241n 1 推广 :设 PP 12 P 3 L P n 是 椭圆上的 n 个点，且 FP 1 ,FP 2 ,FP 3 L FP N 圆周角等分则 2i=1 OP i也为定值作业（ 2003 年希望杯竞赛题） 经过椭圆 x 2 y 2 1(a b 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60°的直线和 a 2 b 2 1椭圆相交于 A ， B 两点， | AF 1 | 2 | BF 1 | ． （ 1）求椭圆的离心率 e ；（ 2）若 | AB | 15，求椭圆方程411。