提技能·题组训练
1.如图所示,在☉O中,直径MN⊥弦AB,垂足为C,则下列结论中错误的是( )
A.AC=CB
B.=
C.=
D.OC=CN
【解析】选D.∵直径MN⊥AB,由垂径定理AC=CB,=,=,不能得到OC=CN.
2.(2013·温州中考)如图,在☉O中,OC⊥弦AB于点C,AB=4,OC=1,则OB的长是
( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.∵OC⊥弦AB,
∴BC=AB=2,
在Rt△OBC中,∵OB2=BC2+OC2,
∴OB==.
3.(2013·佛山中考)半径为3的圆中,一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是
( ) A.3 B.4 C. D.
【解析】选C.如图,过圆心O作OC⊥弦AB于点C,连接OB,
在Rt△OCB中,OB=3,
BC=AB=2,
所以OC==.
4.如图,以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两点,点P的坐标为(4,2),点A的坐标为(2,0),则点B的坐标为.
【解析】如图,过点P作PC⊥x轴于C,则OC=4.
又OA=2,所以AC=2.
根据垂径定理可得BC=AC=2.
因此,点B的坐标为(6,0).
答案:(6,0)
5.已知:如图,AB是☉O的弦,☉O的半径为5,OC⊥AB于点D,交☉O于点C,且CD=2,那么AB的长为.
【解析】连接OA,在Rt△ODA中,OA2=AD2+OD2,即52=(5-2)2+AD2,解得:AD=4.∵OC⊥AB,∴AB=2AD=8.
答案:8
6.如图,已知AB是☉O的弦,P是AB上一点,若AB=10,PB=4,OP=5,求☉O的半径的长.
【解析】连接OB,过O作OM⊥AB于M,则AM=BM=5,在Rt△OPM中,
PM=BM-PB=1,OM===2在Rt△OBM中,
OB===7.
即☉O的半径为7.
垂径定理及其推论的应用
1.(2013·兰州中考)如图是一圆柱形输水管的横截面,阴影部分为有水部分,如果水面AB宽为8cm,水的最大深度为2 cm,则该输水管的半径为( )
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
【解析】选C.如图所示:过点O作OD⊥AB于点D,
连接OA,∵OD⊥AB,
∴AD=AB=×8=4(cm),
设OA=r,则OD=r-2,
在Rt△AOD中,
OA2=OD2+AD2,即r2=(r-2)2+42,解得r=5cm.
【变式训练】(2013·襄阳中考)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1 m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为m.
【解析】如图,设圆柱形排水管道的圆心为点O,作OD⊥AB于点C,交☉O于点D,连接OA.根据垂径定理可得AC=AB=0.4m.
在Rt△OAC中,OA=0.5m,
∴OC===0.3(m),
∴CD=OD-OC=0.5-0.3=0.2(m),
即排水管内水的深度为0.2m.
答案:0.2
【方法技巧】1.过圆心作弦的垂线,交圆周于一点,垂足和这一点的连线为最大深度.
2.运用垂径定理和勾股定理,求出相应的线段长.
2.(2013·绍兴中考)绍兴是著名的桥乡,如图,圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为5m,则水面宽AB为( )
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
【解析】选D.连接OA,则OA=OC=5m,OD=CD-OC=8-5=3(m),
在Rt△OAD中,OA2-OD2=AD2,
即52-32=AD2,解得AD=4m.
∵OD⊥AB,由垂径定理可得AB=2AD=8m.
3.如图是一个小孩荡秋千的示意图,秋千链子OB的长度为2m,当秋千向两边摆动时,摆角∠BOD恰好为60°,且两边的摆动角度相同,则它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差AC是( )
A.(2-)m
B.m
C.(2-)m
D.m
【解析】选A.∵点A为的中点,O为圆心,由垂径定理知:BD⊥OA,BC=DC.
∵∠BOD=60°,∴∠BOA=30°,∵OB=OA=OD=2m,∴BC=1m,在Rt△OBC中,根据勾股定理知OC=m,∴AC=OA-OC=2-(m).
4.“五段彩虹展翅飞”,横跨南渡江的琼州大桥如图,该桥的两边均有五个红色的圆拱,如图(1).最高的圆拱的跨度为110m,拱高为22 m,如图(2),那么这个圆拱所在圆的直径为m.
【解析】设所在圆的圆心为O,作OE⊥CD于点F,
连接OC.设圆拱的半径为Rm,则OF=(R-22)(m).
∵OE⊥CD,∴CF=CD=×110=55(m).
根据勾股定理,得OC2=CF2+OF2,即R2=552+(R-22)2.
解这个方程,得R=79.75.
所以这个圆拱所在圆的直径是79.75×2=159.5(m).
答案:159.5
【知识归纳】1.垂径定理是证明线段相等、弧相等的重要依据,同时也为圆的计算和作图问题提供了思考的方法和理论依据.
2.利用垂径定理和勾股定理,用列方程的方法解决几何问题,会带来许多方便. 【错在哪？】作业错例课堂实拍
如图,底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上,向桶内加油后,量得长方形油面的宽度为8 cm,求油的深度(指油的最深处即油面到水平地面的距离).
(1)错因: .
(2)纠错:
答案：(1)油的深度为CD,不是OD;漏掉了当AB在圆心O的上方的情况.
(2)当AB在圆心O的下方时,油的深度为CD=5-3=2(cm);当AB在圆心O的上方时,油的深度为CD=5+3=8(cm).。