浦东新区2019 学年第一学期初中学业质量监测初三数学试卷考生注意：1.本试卷共25 题，试卷满分150 分，考试时间100 分钟．2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无．效3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6 题，每题4 分，满分24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.在Rt△ABC 中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A 的值为5 5 12 12（A）；（B）；（C）；（D）．13 12 13 52.下列函数中，是二次函数的是（A）y = 2x -1 ；（B）y =2 ；x2（C）y=x2 +1；（D）y=(x-1)2-x2．3.抛物线y =x2- 4x + 5 的顶点坐标是（A）（−2,1）；（B）（2,1）；（C）（−2, −1）；（D）（2,−1）．4.如图，点D、E 分别在△ABC 的边AB、AC 上，下列各比例式不一定能推得DE∥BC 的是（A）AD =AE ；（B）AD=DE ；BD CE AB BC1210 10 10（C ） AB = AC ；（D ） AD = AE ．BD CE AB AC5. 如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为 1∶3，它把物体从地面点 A 处送到离地面 3 米高的 B 处，则物体从 A 到 B 所经过的路程为（A ） 3 米； （B ） 2 米；（C ） 米；（D ）9 米．6. 下列说法正确的是（A ） a + (-a ) = 0 ；（B ）如果a 和b 都是单位向量，那么a = b ；1 （C ）如果| a |=| b |，那么a = b ； （D ）如果 a = - b ( b 为非零向量)，那么a // b ．2二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】x + y7．已知 x =3y ，那么 x + 2 y = ▲ ．8. 已知线段 AB =2cm ，P 是线段AB 的黄金分割点，PA >PB ，那么线段PA 的长度等于 ▲ cm ．9. 如果两个相似三角形对应边之比是 2∶3，那么它们的对应中线之比是▲ ．10. 如果二次函数 y = x 2 - 2x + k - 3 的图像经过原点，那么 k 的值是▲．11. 将抛物线 y = - 3x 2 向下平移4 个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为 ▲ ．12. 如果抛物线经过点 A （−1,0）和点 B （5,0），那么这条抛物线的对称轴是直线 ▲．13. 二次函数 y = -2( x + 1)2 的图像在对称轴左侧的部分是 ▲ ．（填“上升”或“下降”）14. 如图，在△ABC 中，AE 是 BC 边上的中线，点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作 GF ∥ABEF交 BC 于点 F ，那么 EB =▲ ．15.如图，已知AB∥CD∥EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE 的长度等于▲．16.如图，将△ABC 沿射线BC 方向平移得到△DEF，边DE 与AC 相交于点G，如果BC = 6cm，△ABC 的面积等于9cm2，△GEC 的面积等于4cm2，那么CF= ▲cm．（第16 题图）17.用“描点法”画二次函数y =a x2+b x +c 的图像时，列出了如下的表格：x …0 1 2 3 4 …y =a x2+b x +c …−30 1 0 −3…那么当x = 5 时，该二次函数y 的值为▲．18.在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E 分别是边BC、AB 的中点，将△BDE 绕着点B 旋转，点D、E 旋转后的对应点分别为点D’、E’，当直线D’E’经过点A 时，线段CD’的长为▲ ．三、解答题：（本大题共7 题，满分78 分）19．（本题满分10 分）计算：tan 45︒- cos 60︒+ cot2 60︒．2 sin 30︒20．（本题满分10 分，其中每小题各5 分）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE=2ED，联结BE 并延长交边34bCD 的延长线于点 F ，设 BA = a ， BC =．（1）用 a 、 表示 、；b BE DF3（2）先化简，再求作： ( a + b ) + 2(a 2b) ．（不要求写作法，但要写明结论）21．（本题满分 10 分，其中每小题各 5 分）（第 20 题图）如图，在△ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、AC 上，且 AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．（1） 如果 BC =7，求线段 DE 的长；（2） 设△DEC 的面积为 a ，求△BDC 的面积．（用 a 的代数式表示）22．（本题满分 10 分）为了测量大楼顶上（居中）避雷针 BC 的长度，在地面上点 A 处测得避雷针底部 B 和顶部 C 的仰角分别为 55°58＇和 57°．已知点 A 与楼底中间部位 D 的距离约为 80 米．求避雷针BC 的长度．（参考数据： sin 55︒58' ≈ 0.83 ， cos 55︒58' ≈ 0.56 ， tan 55︒58' ≈ 1.48 ，5．sin 57︒ ≈ 0.84 ， cos 57︒ ≈ 0.54 ， tan 57︒ ≈ 1.54 ）23．（本题满分 12 分，其中每小题各 6 分）如图，已知△ABC 和△ADE ，点 D 在 BC 边上，DA =DC ，∠ADE =∠B ，边 DE 与 AC 相交于点 F ．（1） 求证： AB ⋅ AD = DF ⋅ BC ；（2） 如果 AE ∥BC ，求证：BD=DF ．DCFE24．（本题满分 12 分，其中每小题各 4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y = - x 2 + bx + c 与 x 轴的两个交点分别为A （−1,0）、B （3,0），与 y 轴相交于点C ．（1） 求抛物线的表达式；（2） 联结 AC 、BC ，求∠ACB 的正切值；（3） 点 P 在抛物线上且∠PAB =∠ACB ，求点 P 的坐标（第24 题图）25．（本题满分14 分，其中第（1）小题5 分，第（2）小题5 分，第（3）小题4 分）在Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D 为AB 边上一动点（点D 与点A、B 不重合），联结CD．过点D 作DE⊥DC 交边BC 于点E．（1）如图，当ED=EB 时，求AD 的长；（2）设AD=x，BE=y，求y 关于x 的函数解析式并写出函数定义域；（3）把△BCD 沿直线CD 翻折得△CDB’，联结AB’．当△CAB’是等腰三角形时，直接写出AD 的长．（备用图）（第25 题图）67浦东新区 2019 学年第一学期初中学业质量监测初三数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分）1．A ； 2．C ；3．B ；4．B ；5．A ；6．D ．二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）47． ；8． ( 5- 1) ；9．2∶3； 10．k =3；11． y = -3x 2 - 4 ；1712．x =2； 13．上升； 14． ；15． ；16．2； 17．-8；18． 2 32或6 5 ．5三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分）1- 1⎛⎫219．解： 原式=2 +3 ⎪ ……………………………………………………（各 2 分）2 ⨯ 12⎝ 3 ⎭= 1 + 1 2 35 ………………………………………………………………（1 分）=． .......................................................................................................（1 分）620．解：（1）∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AD = BC ．∵ AE=2ED ，∴ AE = 2 AD ．∴ AE = 2BC ． ........................................... （1 分）3 35 583∵ BC = ，∴ = 2． ........................................................................... （1 分）b AE b3∵ BA = a ，∴ BE = BA + AE = a + 2b ． ..................................................... （1 分）3 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB // CD ．∴ DF = DE = 1 ．∴ DF = 1AB ． ............................................................. （1 分） AB AE 2 2∵ BA = a ，∴ DF = 1a ． ......................................................................... （1 分）2（2）原式= - 3a +b + 2a - 2b ...............................................................（1 分） 2= - a + 2a + b - 2b = 2 1 a -b 2． ................................................. （1 分）作图正确． .................................................................................................. （2 分）结论． ........................................................................................................ （1 分）21. 证明：（1）∵AD =3，AC =6，AE =4，AD =8，∴ AD = AE = 1． ..................... （2 分）AC AB 2∵∠A=∠A ，∴△ADE ∽△ACB ． ............................................................... （1 分）∴ DE = AD ． .............................................................................................. （1 分） BC AC ∵BC =7，∴ DE = 7． ................................................................................... （1 分）2（2）∵AE =4，AC =6，∴EC =2．∵△ADE 与△CDE 同高，∴ S △ A DE = AE = 2． ..................................... （1 分）S △DEC EC 1∵S △DEC =a ，∴S △ADE =2a ． ................................................................................ （1 分）S ⎛ AD ⎫21 ∵△ADE ∽△ACB ，∴ △ ADE = ⎪ = ． .............................................. （1 分） S △ ACB ⎝ AC ⎭ 49∴S △ACB =8a ． .................................................................................................... （1 分）∴S △BDC =8a ―2a ―a =5a ． ............................................................................ （1 分）22．解：根据题意，得∠ADC=90°，∠BAD=55°58＇，∠CAD=57°，AD =80．（各 1 分）在 Rt △CAD 中，∵∠ADC=90°，tan 57︒ ≈ 1.54 ，∴ CD≈ 1.54 ，即 CD≈ 1.54 ． …（1 分） AD 80∴CD =123.2． ................................................................................................. （1 分）在 Rt △BAD 中，∵∠ADC=90°， tan 55︒58' ≈ 1.48 ，∴ BD ≈ 1.48 ，即BD≈ 1.48 ．… （1 分） AD 80∴BD =118.4． ................................................................................................... （1 分）∴BC=DC ―BD =123.2―118.4=4.8． ........................................................... （1 分）答：避雷针 BC 的长度为 4.8 米． .............................................................. （1 分）23. 证明：（1）∵DA =DC ，∴∠DCA=∠DAC ． ....................................................... （1 分）∵∠B=∠ADE ，∴△ABC ∽△FDA ． ......................................................... （3 分）∴ AB = BC ． ................................................................................................. （1 分） FD DA∴ AB ⋅ DA = FD ⋅ BC ． ................................................................................... （1 分） （2）∵AE // BC ，∴ DF =DC ，∠BDA=∠DAE ． ................................. （2 分） EF EA∵∠B=∠ADE ，∴△ABD ∽△EDA ． ........................................................... （1 分）∴ AD = BD ． .............................................................................................. （1 分） AE AD10∵DA =DC ，∴ BD =DC． ........................................................................... （ 1 分） DC AE∴ BD = DF ． ...............................................................................................（1 分） DC FE24．解：（1）把 A （−1,0）、B （3,0）分别代入 y = - x 2 + bx + c 得-1-b +c =0,-9+3b +c =0 ． ....................................................................................... （2 分）解得 b =2，c =3． ............................................................................................. （1 分）∴抛物线的表达式是 y = - x 2 + 2x + 3 ． ................................................. （1 分）（2） 过点 A 作 AH ⊥BC ，垂足为点 H ．∵抛物线 y = - x 2 + 2x + 3 与 y 轴相交于点 C ,∴C （0, 3）． .................. （1 分）∵B （3,0）、A （−1,0）、C （0, 3），∴OC =OB =3， AB =4．在 Rt △BOC 中，BC = 3 ，∠ABC =45°．在 Rt △HAB 中，∵sin ∠ABH = AH ，AB =4，∴ AH = BH = 2 AB． ................................. （1 分）∵ BC = 3 ，∴ CH = ． .................................................................... （1 分）∴ tan ∠ACB = AH = 2 ．............................................................................. （1 分） CH（3） 过点 P 作 PM ⊥x 轴，垂足为点 M ．设 P （x ，-x 2+2x +3），则 PM = - x 2 + 2x + 3 ，AM ＝x ＋１．∵∠PAB=∠ACB ， tan ∠ACB = 2 ，∴ tan ∠PAB = 2 ． ..........................（1 分）（i ）P 在 x 轴上方时，-x 2+2x +3=2(x +1) .解得：x 1=1，x 2= -1（舍） ...................................................................... （1 分）2 2 2 2 {（ii）P 在x 轴下方时，-（-x2+2x+3）=2(x+1) .解得：x1=5，x2= -1（舍）..................................................................... （1 分）∴P 的坐标为（1，４）或（5，-12）.......................................................... （1 分）25．解：（1）∵ED=EB，∴∠B=∠BDE． .................................................................. （1 分）∵DE⊥CD，∴∠BDE+∠ADC=90°．∵∠A=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°．∴∠BDE=∠ACD． ...................................................................................... （1 分）∴∠ACD=∠B． .............................................................................................. （1 分）在Rt△ABC 中，AB=4，AC=3，∴ tan B =AC=3 ．AB 4∴ tan ∠ACD =3 ． ....................................................................................... （1 分）4在Rt△ADC 中，tan ∠ACD =AD=3 ，AC=3，AC 4∴ AD =9 ． .................................................................................................... （1 分）4（2）过点 E 作EH⊥AB，垂足为点H．∴∠EDH=∠A=90°．∵∠BDE=∠ACD，∴△ACD∽△DEH．..................................................... （1 分）∴ HD =HE ．AC AD在Rt△BEH 中，可得EH =3y ，BH =4y ．....................................... （1 分）5 5∴DH = 4 -x -4 y ．................................................................................... （1 分）511124 - x - 4 y 3 y ∴5 = 5 ．∴ y = 3 20x - 5x 2 4x + 9x ． .................................................................................... （1 分） （0 < x < 4） ． ........................................................................................ （1 分）（3）AD = 72 + 15 11 或 AD = 72 - 15 11 ． ..........................................（各 2 分）43 4313。