J 0
x y z x0 x0 x0 J x y z 0 y0 y0 y0 x y z z0 z0 z0
有限大的正数
rr r0 , r
互为反函数。
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
2.两个参考系间的相互转换
若已知流线经过点 (x0,y0,z0) ,则参数方程的初始条件可定为，
《高等流体力学》电子课件
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
一、拉格朗日参考系
1.流动的描述
着眼于流体质点。 描述每个流体质点自始至终的运动，即位置随时间的变化。
r r r r(x 0,y0,z0,t) 式中x0 , y0 , z0 是t =t0 时刻流体质点的空间坐标，用来区分不同的流体质点。
二、流线
1.定义
某时刻，流场中的一条曲线，曲线上各点的速度矢量方向和曲线在 该点的切线方向相同。
2.流线方程的微分方程
d r d i x d j y d k z u u i v j w k
i dru dx u
j dy v
k dz0 w
2.流动物理量随时间的变化
加速度：
ai

ui t
uj
ui xj
其他物理量：
d dt

t uj
xj
dp dt

p t
uj
p xj
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相互转换
1.两个参考系间相互联系——雅可比行列式
0 初始时刻流体微团体积 T时刻变形后流体微团体积
1.流动的描述
着眼于空间点。 描述流过每个空间点上的流体质点的运动。
u r u r(x,y,z,t)
x , y , z , t是独立变量。
流体的物理量是空间位置和时间的函数。
pp(x,y,z,t) TT(x,y,z,t)
(x,y,z,t)
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
二、欧拉参考系
积分


x y

x(x0 , y0 , z0 ,t) y(x0 , y0 , z0 ,t)
z z(x0 , y0 , z0 , t)
请注意在以上方程组中 t 是自变量。 x,y,z 是流体质点的空间
坐标，因此都是 t 的函数。
§1.2 迹线 流线 脉线
一、迹线
例. 设两维流动，u x( 1 2 t),v y ,w 0求 t 通0过（1，1）点的迹线。

u (x, y,z,t)
dy

dt

v(x, y,z,t)

dz dt

w (x, y,z,t)
§1.2 迹线 流线 脉线
一、迹线
1.定义
流体质点在空间运动时描绘出来的曲线。
始终与同一流体质点的速度矢量相切的曲线。
2.迹线方程
dxdydzdt uvw 初始条件： t 0 时 ， x = x o ,y y o ,z z o
dx dy dz u(x,y,z,t) v(x,y,z,t) w (x.y.z.t)
请注意在以上方
程组中 t 是常数。
§1.2 迹线 流线 脉线
二、流线
3.流线方程的参数方程
选用s 作为参变量，
dxdydzds uvw
积分上式可得到流线参数方程， xi xi(x0j,t,s)
消去 s 即可得到流线方程。
x0 , y0 , z 0, t 是独立变量。
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
一、拉格朗日参考系
1.流动的描述
流体的物理量表示为流体质点和时间的函数。
pp(x0,y0,z0,t)
TT(x0,y0,z0,t)
(x0,y0,z0,t)
（x0 , y0 , z0） 固定，t 变化： 表示某一确定流体质点的空间位置及相 关物理量随时间的变化规律。
代入

u r u r ( r r , t ) u r r r ( r r 0 , t ) , t u r r r 0 , t
p p ( r r , t ) p r r ( r r 0 , t ) , t p r r 0 , t
dx

dt
解：
dx d t

x
(1
2t)


dy dt

y
积分以上方程得，

x y

c1et c2et
(1 t
)
由条件 t 0时， x，y可解1 出，
c1 c2 1
x e t (1t )

y

et
消去t 得， x y1lny
§1.2 迹线 流线 脉线
（x0 , y0 , z0）变化，t 固定： 表示同一时刻不同流体质点的空间位置 及相关物理量。
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
一、拉格朗日参考系
2.流动物理量随时间的变化
速度：
ui

xi t
其他物理量：

t
p ， ，T t t t
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
二、欧拉参考系
1.流动的描述
u r u r(x,y,z,t)
pp(x,y,z,t)
（x , y , z） 固定，t 变化： 表示某一空间点的流体速度及相关物理 量随时间的变化规律。
（x , y , z）变化，t 固定：
表示同一时刻流体速度及相关物理量在 空间的分布规律。
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
二、欧拉参考系

y
0

y0 ( x,
y, z,t)
z 0 z 0 ( x , y , z , t )
§1.1 拉格朗日参考系和欧拉参考系
三、两个参考系间的相 已知欧拉参考系的物理量
urur(rr,t)
drr ur(rr,t) dt
积分

r r r r c 1 ( r r 0 ) , c 2 ( r r 0 ) , c 3 ( r r 0 ) , t r r r r 0 , t
r rr r0r0(r,t)
x0i x0i(xj,t)
rr r0 , r
互为反函数。
(1) 已知拉格朗日参考系的物理量
urur(rr0,t) u rr r0(r r),t u r(r r,t)
p p (r r 0 ,t) p (r r,t)
x0 x0(x, y, z,t)