P ABCDE1如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,30,1,o o ACB BAC BC AA ∠=∠===M 是棱1CC 的中点.(1)求证：1A B AM ⊥；(2)求直线AM 与平面11AA BB 所成角的正弦值.2图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形，90BAC ∠=，且1,,AB AA E F =分别是1,CC BC 的中点（1）求证：1B F ⊥平面AEF ； （2）求锐二面角1B AE F --的余弦值.3四棱锥P -ABCD 中，直角梯形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ∥CD ，∠APD =60°，PA =CD =2PD =2AB =2，且平面PDA ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求直线PD 与平面BDE 所成角的大小．FEC 1B 1A 1C B AEFA BCPD4如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，⊥PA 平面ABCD ，F E ,分别是PC AB ,的 中点，121==AD AB ． （1）求证：//EF 平面PAD （2）若4π=∠PDA ，求直线AC 与平面PCD 所成角的正弦值．5如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，∠ABC ＝45o，DC ＝1，AB ＝2，PA ＝1．(1)求PD 与BC 所成角的大小； (2)求证：BC ⊥平面PAC ； (3)求二面角A -PC -D 的大小．6如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA C C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AA C C ，3,5AB BC ==（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角111C A B C --的大小；（Ⅲ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 上是否存在点E ，使得DE ∥面11AA C C ？若 存在，请说明点E 的位置；若不存在，请说 明理由.A B C 11A BFP EDC7如图：在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，60=∠DAB ，ABCD PD 平面⊥，1==AD PD ，点F E ,分别为PD AB 和的中点.（Ⅰ）求证：直线AF ∥平面PEC ;（Ⅱ）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值.8如图，正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，90ADE ∠=，DE AF //，22===AF DA DE . (Ⅰ) 求证：//AC 平面BEF ；(Ⅱ) 求平面BEF 与平面ABCD 所成角的正切值．9直三棱柱111ABC A B C - 中，11AA AB AC ===，E ，F 分别是1CC 、BC 的中点，11AE A B ⊥，D 为棱11A B 上的点. （1）证明：DF AE ⊥;（2）是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为14?若存在，说明点D 的位置，若不存在，说明理由.ABC DF EB 11(1)因为C1C⊥平面ABC，BC⊥AC，所以以C为原点，射线CA,CB,CC1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,1,0),A1,0,0),M(0,0,2),所以1A B(3,1,6),AM(3,0,=--=-,所以1A B AM=3+0-3=0,所以1A B AM⊥，即A1B⊥AM.(2)由(1)知AB1A A),设面AA1B1B的法向量为n=(x,y,z),则3x y0,6z0.-+=⎧⎨-=⎩不妨取设直线AM与平面AA1B1B所成角为θ,则AM6sin|cos<AM,>|||.6|AM|||θ===nnn所以直线AM与平面AA1B1B2(1）连结AF，∵F是等腰直角三角形ABC∆斜边BC的中点，∴AF BC⊥.又 三棱柱111ABC A B C-为直三棱柱，∴面ABC⊥面11BB C C，∴AF⊥面11BB C C，1AF B F⊥. ……… 2分设11AB AA==，则1132B F EF B E===.∴22211B F EF B E+=，∴1B F E F⊥. ………4分又AF EF F=，∴1B F⊥平面AEF. ………6分（2）以F为坐标原点，,FA FB分别为,x y轴建立直角坐标系如图，设11AB AA==，则11(0,0,0),((0,(0,)2222F A B E-，CC1()2AE =-，1(AB =-. ………8分由（Ⅰ）知，1B F ⊥平面AEF ， ∴可取平面AEF的法向量1(0,2m FB ==. 设平面1B AE 的法向量为(,,)n x y z =，由110,0,0,222020,022x y z n AE z n AB z x y z ⎧--+=⎪⎧=+-=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=--=⎪⎪⎩-++=⎪⎩ ∴可取(3,1,n =-. ………10分 设锐二面角1B AE F --的大小为θ，则03(1)1cos |cos ,|||||m nmn m n θ⨯-+⨯=<>===∴所求锐二面角1B AE F --的余弦值为6………12分3解：（1）2,1,60,==∠=oQ PA PD PAD2222cos 3∴=+-⋅∠=AD PA PD PA PD PAD ，∴=AD 222∴=+PA AD PD∴⊥PD AD ，又⊂Q PD 平面PDA ，平面PDA I 平面=ABCD AD ，平面PDA ⊥平面ABCD ，∴⊥PD 平面ABCDL L 6‘（2）⊥Q AD CD ，∴以,,DA DC DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系1(0,0,0),(0,0,1),(0,1,),2D P EB 1(0,1,),2∴==uuu r uu ur DE DB ，设平面BDE 的一个法向量为(,,)=rn x y z ，则1020⎧+=⎪+=y z y ，令1=x ，(1∴=r ncos ,142∴〈〉==⨯uu u r r DP n ，设直线PD 与平面BDE 所成的角为θ，sin 2θ=，∴直线PD 与平面BDE 所成的角为60.o L L 12‘4【解析】：（1）证明：取PD 中点M ，连结FM AM ,1//,2MF CD MF CD =， 1//,2A E C D A E CD = //,MF AE MF AE ∴= ∴四边形AEFM 为平行四边形所以//,AM EF AM ⊂平面PAD ∴//EF 平面PAD （2）连结CM AM ,，由条件知PD AM ⊥，⊥CD 平面PADD CD PD AM CD =⊥∴ , 所以⊥AM 平面PCD ，∴ACM ∠就是直线AC 与平面PCD 所成的角经计算得5,3,2===AC CM AM ∴510sin ==∠AC AM ACM 5（Ⅰ）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH//CD ，且BD=CD ………………………1分 所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC//DH所以∠PDH 为PD 与BC 所成角………………………………2分 因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC=45o， 所以⊥DA ⊥AB又因为AB=2DC=2，所以AD=1， 因为Rt △PAD 、Rt △DAH 、Rt △PAH 都为等腰直角三角形，所以，故∠PDH=60o……………………………………………………………4分 （II ）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形， ∴AH=DC 又AB=2，∴BH=1在Rt △BHC 中，∠ABC=45o， ∴CH=BH=1，∴AD=CH=1，∴AC 2+BC 2=AB 2∴BC ⊥AC …………………………………6分 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ……………………………………7分 ∵PA ∩AC=A ∴BC ⊥平面PAC …………………………………8分（Ⅲ）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则由题设可知：A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(1，0，0)， ∴AP =(0，0，1)，PC =(1，1，-1) …………………………9分设m =(a ，b ，c)为平面PAC 的一个法向量， 则00AP PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即00c a b c =⎧⎨+-=⎩设1a =，则1b =-，∴m =(1，-1，0) …………………10分同理设n =(x ，y ，z) 为平面PCD 的一个法向量，求得 n =(1，1，1) …………………………………………………11分∴1cos ,2===m n m n m n所以二面角A-PC-D 为60o………………………………… 12分FPD6（Ⅰ）因为四边形11AA C C 是边长为4的正方形，所以1AA AC ⊥， ……1分 因为平面ABC ⊥平面11AA C C 且平面ABC 平面11AAC C AC =，……2分 所以1AA ⊥平面ABC……3分（Ⅱ）解：以A 为坐标原点，以1,,AC AB AA所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系如图所示：(图略) 则111,,,,,A B C A B C 点坐标分别为：(0,0,0)A ；(0,3,0)B ；(4,0,0)C ；1(0,0,4)A ；1(0,3,4)B ；1(4,0,4)C……5分则3(2,,0)2D 设平面11CA B 的法向量'''(,,)m x y z =所以111,m AC m A B ⊥⊥且 ，所以'''44030x z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩ ……6分令'1x =，所以(1,0,1)m =，又易知平面111A B C 的法向量为(0,0,1)n = ……7分所以2cos ||||m n m n θ⋅==所以二面角111C A B C --的大小为45︒……8分（Ⅲ）设111(,,)E x y z ；平面11AA C C 的法向量(,,)u x y z =．因为点E 在线段1AB 上，所以假设1AE AB λ=，所以111034x y z λλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩ (01)λ<≤即(0,3,4)E λλ，所以3(2,3,4)2DE λλ=--． ……10分又因为平面11AA C C 的法向量易知(0,3,0)u =． 而//DE 面11AA C C ，所以0DE u ⋅=，所以12λ= ……11分 所以点E 是线段1AB 的中点．……12分 若采用常规方法并且准确，也给分。

7证明：（Ⅰ）取PC 上的中点H ，则//,FH AE FH AE = ∴//,,AF EH AF PEC EH PEC ⊄⊂面面 ∴//AF PEC 平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）连接DE ，知DE DC ⊥所以以D 为坐标原点，分别以,DE DC DP ，为x y z 轴，轴，轴建立坐标系．．．．6分∴11(0,0,1),,0),,0),(0,1,0)22P A B C - 设平面PAB 的法向量为=,,)n x y （1则有00n PA n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⇒12102x y x y -=+-=⇒=,0,2n （1．．．．．．．．．．．．．10分 则有42sin cos 14PC n PC nθα⋅===⋅．．．．．．．．．．．．．12分8解：(Ⅰ) 证明：方法一：设AC BD O =I ，取BE 中点G ，连结OG FG 、， 则OG ∥DE 且OG ＝12DE ， ∵DE AF //，AF DE 2=， ∴AF ∥OG 且AF ＝OG ，∴AFGO 是平行四边形，∴AO FG //.∵FG ⊂平面BEF ，AO ⊄平面BEF ，∴//AO 平面BEF ，即//AC 平面BEF . 方法二：∵90ADE ∠=，∴DE AD ⊥∵正方形ABCD 与直角梯形ADEF 所在平面互相垂直，平面ABCD I 平面ADEF AD =，DE ⊂平面ADEF ，∴DE ⊥平面ABCD以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在的直线为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则00n FE n FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uur r uu r ，而(2,0,1)(0,2,1)FE FB ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩uur uu r ，∴2020x z y z -+=⎧⎨-=⎩，令1x =，则1y =，2z =，(1,1,2)n =r. ∵(2,2,0)AC =-uu u r ， ∴0n AC ⋅=r uuu r ，∴n AC ⊥r u u u r，而AC ⊄平面BEF ，∴//AC 平面BEF .(Ⅱ) 设平面ABCD 与平面BEF 所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角由 (Ⅰ) 知平面BEF 的法向量为( 1,1,2)n =r，又平面ABCD与z轴垂直，所以平面ABCD的法向量可取为1(0,0,1)n= u r所以111cos|cos,|||3||||n nn nn nα⋅=<>===⋅u r ru r ru r r，所以tan2α=即为所求.。