第三章、三角函数 第一节、三角函数的基本概念教学目标：1、理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算；2、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。

教学重点：三角函数的定义。

教学难点：角的推广及弧度制的引入。

考点一：角的概念1、角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

旋转开始时的射线叫叫的始边，旋转终止时的射线叫角的终边，射线的端点叫角的顶点。

2、角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫正角；按顺时针方向旋转形成的角叫负角；如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角。

3、终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合{}Z k k S ∈⋅,3600＋＝＝αββ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

4、深化：在直角坐标系内讨论角，要使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

此时角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。

正确理解：锐角、第一象限角、小于090的角，注意它们之间的区别与联系。

考点二：角的度量1、角度制：规定周角的3601为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

2、弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

弧度的单位符号是”“rad ，读作弧度。

3、公式：（1）角度与弧度的互化公式：rad rad rad rad 01745.01801,180,2360000≈===πππ，/000185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad（2）扇形的弧长、面积公式：3602121,18022r n r lr S r n r l παπα=====4、深化：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零。

角的概念推广之后，无论是用角度制表示还是用弧度制表示，都能在角的集合与实数集R 之间建立一个一一对应关系，每一个角都有唯一的一个实数和它对应；反之，每一个实数，也都有唯一的一个角与之对应。

在同一个角的表示之中，不能同时出现角度和弧度。

考点三：任意角的三角函数1、三角函数的定义：设α是任意一个角，在角α的终边上任取一点P （除端点），设其坐标为),y x P （，它与原点的距离为)0(2222>+=+=y x y x r r ，那么我们称比值ry叫做角α的正弦，记作r y =ααsin ,sin 即；比值r x 叫做角α的余弦，记作r x=ααcos ,cos 即； 比值xy叫做角α的正切，记作x y =ααtan ,tan 即；比值yx叫做角α的余切，记作y x =ααcot ,cot 即；比值x r 叫做角α的正割，记作xr=ααsec ,sec 即； 比值yr叫做角α的余割，记作y r =ααcsc ,csc 即。

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割分别可以看成是从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角作为自变量，以比值为函数值的函数，这六个函数统称为三角函数。

2、三角函数的定义域：R x x y ∈=,sin ；R x x y ∈=,cos ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈=Z k k x x x x y ,2,tan ππ3、三角函数值的符号：在第一象限内，各三角函数全为正数；在第二象限内，正弦、余割的函数值为正，其余全为负；在第三象限，正切、余切的函数值为正，其余全为负；在第四象限内，余弦、正割的函数值为正，其余全为负。

4、三角函数线5、深化：一个角的三角函数值与在其终边上所取的点的位置无关，只与角的大小有关，也就是说，只要角确定，上述六个比值也就确定。

例题讲解：例1、已知01690＝α。

（1）把α写成βπ+k 2的形式，其中[)πβ2,0,∈∈Z k ；（2）求θ，使θ与α的终边相同，其中()ππθ2,4-∈－。

解：（1）角α的弧度数为ππππ18258181681690180+==⨯，其中[)ππ2,01825∈ 所以，ππα182524+⨯=，其中πβ1825,4==k （2）由上可知，与角α终边相同的角可以表示为Z k k ∈+,18252ππ 由)(2182524Z k k ∈-<+<-ππππ，解得2-=k πππθ184718254-=+-=∴ 例2、写出下列角的集合：（1）终边在y 轴上的角的集合（用03600到的角表示）； （2）终边在第一、三象限平分线上的角的集合。

解：（1）在003600到范围内，终边在y 轴上的角有两个，即00270,90角，因此，所有与090角终边相同的角构成集合{}{}Z k k Z k k S ∈⋅+==∈⋅+==,180290,3609000001ββββ而所有与0270角终边相同的角构成集合{}{}Z k k Z k k S ∈⋅++==∈⋅+==,180)12(90,36027000002ββββ于是终边在y 轴上的角的集合{}Z n n S S S ∈⋅+===,1809021ββ（2）仿照（1），有终边在第一、三象限角平分线上的角的集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x Z k k x x Z k k x x S ,4,452,42ππππππ例3、（1）如果α为第一象限角，试问2α为第几象限的角？ （2）设α为第二象限的角，试问：απαπα+--,,分别是第几象限的角？解：（1）α 为第一象限角，Z k k k ∈+<<∴,222ππαπZ k k k ∈+<<∴,42ππαπ，∴当k 为偶数时，2α在第一象限；当k 为奇数时，2α在第三象限， 因此，2α是第一或第三象限角。

（2）α 为第二象限角，)(22Z k k k ∈+<<∴ππαπ ①)(222Z k k k ∈--<-<-ππαπk 是整数，α-∴为第三象限角②)(222Z k k k ∈+-<-<-ππαππαπ-∴为第一象限角③)(22232Z k k k ∈+<+<+ππαπππ απ+∴为第四象限角。

例4、已知α为第二象限角，且2tantan sin αθθ=，则θ为第几象限角。

解：α 为第二象限角，2α∴为一、三象限角02tantan sin ,02tan>=>∴αθθα又θθtan sin 与∴同号，当0tan ,0sin >>θθ时，θ为第一象限角；当θθθ时，0tan ,0sin <<为第四象限角。

综上，角θ为第一或第四象限角。

例5、一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大》并求此扇形的最大面积。

解：设扇形的半径为rcm ，则弧长为cm r l )220(-=，扇形的面积25)5()220(212+--=-=r r r S当2,105====rll r α时，（弧度） 故当2=α弧度时，())(252maxcm S =扇形也可用基本不等式求解：25210)10()220(212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≤⋅-=-=r r r r r r S 当且仅当cm r r r 510==-，即时上式取等号。

例6、已知扇形OAB 的中心角为4弧度，其面积为2平方厘米，求扇形周长和弦AB 的长。

解：设AmB 长为r OA l =,，221,21=∴=lr lr S 扇形设扇形的中心角AOB ∠的弧度数为α，则4==rlα 由上可得4,1==l r∴扇形的周长为)(61242cm r l =⨯+=+)(2sin 2)2sin(2242sin2cm r r AB =-=-ππ＝ 例7、用定义法求060的正弦、余弦和正切值。

解：设单位圆与060的角的终边交于),(y x P ，则由平面几何知识得：3212360tan ,21160cos ,23160sin ,23211,212100022========⎪⎭⎫ ⎝⎛-===x y x y y OP x 例8、求满足下列条件的角x 的集合： （1）23sin ≤x ；（2）21cos -<x ；（3）33tan -≤x解：（析：解题步骤：找终边、画区域、写集合）（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,32342ππππ （2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k k x k x ,342322ππππ （3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-≤<-Z k k x k x ,62ππππ 例9、有100个扇形，其半径分别为,,,,10021r r r 且成等差数列，扇形所含圆心角100321,,,,αααα 也成等差数列，公差分别为100,2πα==d d r ，又10,111πα==r ，求这100个扇形面积的和解：122)1(1)1(1-=⋅-+=-+=n n d n r r r n)9(100100)1(10)1(1+=⋅-+=-+=n n d n n πππααα)935324(200)9(100)1221212322+-+=+⋅-==∴n n n n n r S n n n ππα（ 从而，）913513214(2002310021+⨯-⨯+⨯=+++πS S S ＋)923523224(20023+⨯-⨯+⨯π)910035100321004(20023+⨯-⨯+⨯++π＝()()()[]100910021351002132100214200222333⨯+++-+++++++ π＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯900210110035205101100613210110041420022π ＝π08.564383知识运用：第二节、同角三角函数关系式及诱导公式教学目标：1、掌握同角三角函数基本关系式：1cot tan ,tan cos sin ,1cos sin 22=⋅==+ααααααα； 2、掌握正弦、余弦的诱导公式。

教学重点：同角三角函数的基本关系式和诱导公式。

教学难点：三角公式的运用。

考点一：同角三角函数的基本关系式1、关系式：（1）平方关系：1cos sin 22=+αα；αα22cos 1tan 1=+；（2）商数关系：αααtan cos sin =； （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα 2、变形：αα22cos 1sin -=，αααtan cos sin ⋅=，ααcot 1tan =，αα22sin 1cos -=。

3、深化：（1）正确理解“同角”的含义：只要是“同一个角”那么基本关系式就成立，不拘泥于“角的形式”，如：14cot 4tan ,14cos 4sin22=⋅=+αααα等都是成立的，但1cos sin 22=+βα就不一定成立。