因式分解培优
分解因式
一、分解因式的定义：（关键：看等号右边是否为几个整式的积的形式）
二、分解因式一般步骤：一提、二套、三分、四查
三、分解因式常用方法：
Ⅰ、提公因式法：（关键：确定公因式） ma +mb +mc = 。

Ⅱ、运用公式法：（关键：确定a 、b ）
①平方差公式：22a b -= ②完全平方公式： 22
2a ab b ±+= 。

（一）将下列多项式因式分解（填空）
1、
_______________________2、322363x x y xy -+=___________________ 3、=__________________4、
=________________
5、= ___________________
6、= （二）分解因式（写出详细过程）
1、)()()(23m n n m n m +--+
2、
3、 4、2222224)(b a b a c ---
（三）已知x 、y 都是正整数，且，求x 、y 。

（四）化简：，且当时，求原式的值。

Ⅲ、十字相乘法：
（一）二次项系数为1的二次三项式：))(()(2
q x p x pq x q p x ++=+++
特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

1、分解因式：（1）652++x x （2）276m m -+ (3)1522--y y
(4)245a a +-
2、分解因式(1)2
223y xy x +- (2)2286n mn m +- (3)226b ab a --
（4）221288b ab a -- （5）10)(3)(2
-+-+y x y x
（二）二次项系数不为1的二次三项式：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++
条件：（1）21a a a = 1a 1c
（2）21c c c = 2a 2c
（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=
1、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x （3）317102+-x x （4）101162++-y y
2、分解因式（1）17836--x x （2）8622+-ax x a （3）2
2151112y xy x --
（4）222265x y x y x -- （5）2
222)(10)(23)(5b a b a b a ---++
Ⅳ、用分组法分解因式
（一）两项、两项分组（两项分别先用提公因式法或平方差公式，再提公因式）
1、将下列多项式因式分解（填空）
（1）_________________（2）12
35-+-x x x = ______________________
（3）_____________（4）
2ax a b ax bx bx -++--2=______________
2、因式分解（写出详细过程）：
3、已知,01200520042=+++++x x x x 则.________2006=x
（二）三项、一项分组（三项用完全平方公式，再与剩下的一项用平方差公式）
1、因式分解（1）9x 2－y 2－4y －4 （2）x 2－y 2
－2y －1 （3）2
2414y xy x +-- （4）2212m n mn --+
2、已知三条线段长分别为a 、b 、c ，且满足
证明：以a 、b 、c
为三边能构成三角形
（三）三项、两项分组（三项用完全平方公式，再提公因式）
1、2
2424y x y xy x ++--有一个因式是y x 2-，另一个因式是（ ）
A ．12++y x
B ．12-+y x
C ．12+-y x
D ．12--y x
2、分解因式：222x xy y x y -++-=_______________________
（四）三项、两项、一项分组（三项用完全平方公式或十字相乘法，再十字相乘法）
1、因式分解：（1）2634422++-+-n m n mn m （2）3424422---++y x y xy x
2、因式分解：（4）2910322-++--y x y xy x （5）61362
2-++-+y x y xy x
四、分解因式其他方法
待定系数法（假设法）
1、如果823+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

2、已知多项式有一个因式是，求的值。

4、分解因式61362
2-++-+y x y xy x
5、当m 为何值时，多项式652
2-++-y mx y x 能分解因式，并分解此多项式。

【对应训练】1、分解因式（1）291032
2-++--y x y xy x
（2）6752322+++++y x y xy x
3、若有一因式。

求a ，
4、已知：p y x y xy x +-+--146322
2能分解成两个一次因式之积，求常数p 并且分解因式。

5、k 为何值时，25322
2+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。

五、分解因式综合题
（一）求代数式的值
1、已知3
12=-y x ，2=xy ，求 43342y x y x -=________ 2、不解方程组，求代数式
=__________ 3、先分解因式，然后计算求值：（a 2+b 2－2ab ）－6（a －b ）+9，其中a=10000，b=9999。

4、计算下列各式：
211__________2-=2311(1)(1)__________23--= 232111(1)(1)(1)____________234
---= 你能根据所学知识找到计算上面式子的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
)11()1111)(1011()411)(311)(211(222232n
------
（二）倍数问题（整除问题）
1、证明：对于任意自然数n ，一定是10的倍数。

2、证明：若
是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则是49的倍
数。

（三）判断三角形的形状
1. 已知a, b, c 是△ABC 的三条边长,当 b 2 +2ab = c 2
+2ac 时,试判断△ABC 属于哪一类三角形
2.若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2+b 2+c 2
－ab －bc －ca=0。

探索△ABC 的形状，并说明理由。

（四）拆项、添项思想
1、分解因式：（1）4323+-x x
（2）893+-x x
（3）4224)1()1()1(-+-++x x x
（4）1724+-x x
2求方程的整数解
（五）换元思想
1、计算：
2、把下列各式分解因式：
（1）2005)12005(200522---x x
（2）2)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++
（3）)(4)(22222y x xy y xy x +-++
（4）90)384)(23(22+++++x x x x
（5）2
22222)3(4)5()1(+-+++a a a
已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222
a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（C ） A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形
（1）若x 2-8x+m 是完全平方式,则m=
（2） 若9x 2+axy+4y 2是完全平方式,则a=( )
A. 6
B. 12
C. ±6
D. ±12
1．2
3616x kx ++是一个完全平方式，则k 的值为（ ）
A ．48
B ．24
C ．－48
D ．±48 3．分解因式n n n +-2344＝ ．
在多项式2a +1中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式为 ．
⑶22(52)(53)12x x x x ++++- ⑷226136x xy y x y +-++-
1．分解因式：
⑴2224912x y z yz --- ⑵224443x x y y --+-
⑶236ab a b --+ ⑷(1)(2)(3)(4)1x x x x +++++
若218x ax ++能分解成两个因式的积，则整数a 的取值可能有（
） A ．4个 B ．6个 C ．8个 D ．无数个
7．已知224250
a b a b
++-+=，则a b
a b
+
-
的值为（）
A．3 B．1
3C．3-D．1
3
-
．求证：7913
81279
--能被45整除
17．已知9621
－可被在60到70之间的两个整数整除，求这两个整数
2
2014。