大一高数期末考试试题一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1． 21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰.3．设函数()y y x =由方程21x y t e dt x+-=⎰确定，则x dy dx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k exx x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos 2y Ax x *=;（C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=.3．下列结论不一定成立的是（ ）.（A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤ba d c dx x f dx x f ;（B ）若)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0ba f x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）.(A) 连续点;(B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分2230x x e dx-2．2．计算不定积分dx xxx ⎰5cos sin .求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设nn n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .本页满分 12分 本页得分四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分）1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分） 设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ' 一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1．21lim()xx x e x →-=21e.2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e4.3．设函数()y y x =由方程21x y t e dt x+-=⎰确定，则x dy dx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e .5．微分方程44=+'+''y y y 的通解为x e x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数k e xx x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ B ）.(A) 3个; (B) 2个;(C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos 2y Ax x *=； （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *=3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) (A)若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cdx x f dx x f ;(B) (B)若)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) (C)若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) (D)若可积函数()x f 为奇函数,则()0x t f t dt⎰也为奇函数.4. 设()xx eex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）.(A) 连续点 (B) 可去间断点; (C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（每小题6分，5题共30分）：1．计算定积分⎰-2032dxe x x .解： ⎰⎰⎰----===2202322121,2t t x tde dt te dx e x t x 则设-------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------22223210221----=--=ee et --------22．计算不定积分dx xxx ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin--------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424-----------33．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)cos 1(sin π=-=t t a ta 1= -------2切线方程为 )12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=.-------24. 设⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设nn n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解： )1ln(1ln 1∑=+=n i n ni n x---------2⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x ni n n n --------------2=12ln 211)1ln(110-=+-+⎰dx xxx x ------------2故 nn x ∞→lim =ee 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分）1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),0y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),0y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3过原点和点)2,4(的切线方程为22xy=-----------------------------3面积dyyys)222(22⎰-+==322-------------------3 或322)2221(221242=--+=⎰⎰dxxxxdxs2．设平面图形D由222x y x+≤与y x≥所确定，试求D绕直线2=x旋转一周所生成的旋转体的体积.解：法一：21VVV-=[][]⎰⎰⎰---=-----=12212122)1(12)2()11(2dyyydyydyyπππ-------6)314(21)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy--------3 法二：V=⎰---12)2)(2(2dxxxxxπ⎰⎰----=1122)2(22)2(2dxxxdxxxxππ------------------ 5[]⎰--+--=12234222)22(ππdxxxxxxππππππππ32213421323414121)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=xx------------- 43. 设1,a >ata t f t -=)(在(,)-∞+∞内的驻点为().t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(aaa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 3 0)(ln 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(ee e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕.--------------3。