专题学习：一次方程与一次方程组的综合应用
【写在前面】
一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的， “消元”是解一次方程组的基本思想，即通过消元把一次方程组转化为一元一次方程来解，而代人法、加减法是消元的两种基本方法． 对于含有字母系数的二元一次方程组，我们可以进一步讨论解的特性、解的个数以及解与解和方程（组）与方程（组）的关系.基本思路是首先要进行分析，挖掘题目所隐含的条件，巧妙地列出相应的方程或方程组，再通过消元等方法转化，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨沦．
另外，一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在：首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决．其次，用于解应用题， 这不是本专题的内容，不做赘述.
【知识铺垫】
1.二元一次方程（组）的概念及解法；
2.含参数一次方程（组）.
【思想方法】
方程模型的构建，分类讨论，转化思想（消元），参数常数化
【例题精讲】
一、 不同情境下方程（组）的构建
【典型例题】
1. 已知-+-m n m n x y x y 131
2与2是同类项，则()-n m 2013=_______。
（同类项）
2. 若0)3(33252=++-+b a b a ，则a +b 的值为=_______。
（非负性）
3. 已知：++-+==x y x y x y 3221456
，求x 、y 的值.（连续等式的含义） 4. 已知一次式y =kx +b ，当x =20，30时，y 的值分别为68，86，求k ，b 的值.（方程到方程组） 5. 若++--+=m n m n x y 25942742是关于x 、y 的二元一次方程，求+(+)m n 20131的值.（方程的概念） 6. 若关于x 的方程m (x -1)＝2001-n (x -2)有无数个解，求m 2003+n 2003的值．（无数解的理解）
7. 若对任意有理数a 、b ，关于x 、y 的二元一次方程(a -b )x -(a +b )y =a +b 都有一组公共解，求此公共解.（公共解的理解）-
【思路点拨】
本组题目利用同类项、绝对值以及二元一次方程的概念等相关数学概念建立二元一次方程组解决问题．
【注意事项】
建立方程的组的关键要恰当理解题目中参变量之间的关系，即：借助于相关数学概念，找到建立方程组的联系点.
二、 关于方程（组）的解（特殊解）的讨论
【典型例题】
1. 写出二元一次方程4x +y =10的所有非负整数解.
2. 已知m 是整数，方程组
{436626x y x my -=+=有整数解，求m 的值． 3. k 、b 为何值时，方程组{(31)2y kx b y k x =+=-+ ,
(1)有惟一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解?
【思路点拨】
获得特殊解的根本还是求解一般解，而对于二元一次方程而言，获得一般解就是“用含有某一个未知数的代数式表示另一个未知数”，对于二元一次方程组而言，获得一般解的方法就是利用代入法或加减法进行消元，转化成一元一次方程解决，求得一般解后再进行有关特殊性的讨论.
【注意事项】
求解是关键，讨论时要抓住特殊性，利用相关知识解决.另外，应该注意在求解过程中，面对字母系数（参数）时，应将其看作已知常数对待.
三、 含字母系数的方程（组）的有关问题
（一）根据方程组的解求字母系数
【典型例题】
已知{21x y ==是二元一次方程组{101ax by bx ay +=-=的解，求-a b 3的值.
【变式训练】
小刚在解方程组
{1078ax by cx y +=-=时，本应解出{32x y ==-由于看错了系数c ，而得到的解为{22x y =-=，求++a b c 的值.
【思路点拨】
由方程组的解的概念入手，借助于解方程组，求得字母系数的值.
【注意事项】
解决此类问题的关键是理解方程组的解的含义以及会准确求解方程组.
（二）根据方程组解的关系求字母系数.
【典型例题】
已知方程组{
23342013x y k x y k +=-=-的解x ，y 满足方程5x -y =3，求k 的值. 【变式训练】
已知方程组{23342013x y k x y k +=-=-的解x ，y 互为相反数，求k 的值.
【思路点拨】
正确求解含参数的方程组是关键，构造关于参数的一元一次方程是目标.
【注意事项】
求解含参数的方程组始终要有一个观点：即：面对参数时，应将其看作已知常数对待.
（三）根据方程组的解相同求字母系数.
【典型例题】
若关于的方程组
{237453x y x y +=-=与方程组{64ax by ax by +=-=有相同的解，求a 、b 的值. 【变式训练】
1、若关于,x y 的方程组{2374x y ax by +=-=与方程组{
6453ax by x y +=-=有相同的解，求a 、b 的值.
2、若关于,x y 的方程组
{2433x my nx my n +=+=和{21334x my mx ny m +=-=有相同的解，求m 、n 的值.
【思路点拨】 首先理解两方程组同解的含义，这里有两层含义：
一是相应两个方程组的公共解；二是构成这两个方程组的所有四个方程的公共解.
有了上述理解，可以基于四个方程轻松组建易于求解的方程组，打开问题解决的突破口.
【注意事项】
易于求解的方程的组建基本原则是：参数越少越好，最好不好参数.
【总结】
1.上述问题实际上都是以二元一次方程组的解的含义为核心。
2.从题目中要设法求出关于x 与y 的解，然后根据解的含义，满足每个方程，从而代入求得字母系数：即满足如下思路：求解→代入→求值.
（四）根据不定方程组的一般解，求代数式（分式）的值.
【典型例题】
若方程组{23403450x y z x y z +-=++=，求代数式 z
y x z y x +-++的值. 【变式训练】
已知：4x －3y －6z ＝0，x ＋2y －7z ＝0，且x ，y ，z 都不为零．求
z
y x z y x 3223++++的值． 【思路点拨】
不定方程组往往由少于未知数的个数的若干个方程构成，其本质想法是：将其中某个未知数看作参数，组建关于另外两个未知数的二元一次方程组，然后求解之.
【注意事项】
得到的二元一次方程的解，往往是利用含第三个未知数表示的代数式，这样所求代数式中所含有的未知数减少为一个，通过约分等运算可以轻松得到所求的代数式的值.
【巩固练习】
1、已知代数式b a b a y x y x +---23132
1与是同类项，那么a = ，b = . 2、若1543=x +2z =z -2y =y -x ，求x 、y 、z 的值.
3、a 取哪些正整数值，方程组{25342x y a x y a +=-=的解x 和y 都是正整数，求a 、b 的值.
4、若⎩⎨⎧-==23y x ,是二元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+5
3121ny mx ny mx ,的解，求m 、n 的值. 5、已知方程组⎩⎨⎧=+=+4535y ax y x ,与⎩⎨⎧=+=-1
552by x y x ,有相同的解，求a 、b 的值.
6、关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=+=+2
32343y mx y x ,的解中x 与y 的和等于1，则m 的值是 .
7、小明和小言同时解方程组⎩⎨⎧=+=+②1①16.,ay bx by ax
小明把方程①抄错了，求得的解为⎩
⎨⎧=-=;,31y x 小言把方程②抄错了，求得的解为⎩⎨⎧==.,23y x 求原方程组的解.
【思维拓展】
1、已知关于,x y 的二元一次方程()()22420m x m y m -+++-=，求证：无论m 取何值方程都有一公共解，并求出这个公共解.
2、求方程组⎩⎨⎧=++=++36
75352975z y x z y x 的正整数解.
3、已知x 、y 、z 是非负实数，且满足03,30=-+=++z y x z y x ，求z y x u 245++=的最大值和最小值.
【附录】
整体代换在方程组求解中的应用
【典型例题】若方程组111222a x b y c a x b y c ì+=ïí+=ïî的解是1415x y ì=-ïí=ïî，求方程组111222
759759a x b y c a x b y c ì+=ïí+=ïî的解。
【变式训练】如果关于x 、y 的二元一次方程组
{316215x ay x by -=+=的解是⎩⎨⎧==17y x ，那么关于x 、y 的二元一次方程组
⎩⎨⎧=-++=--+15)()(216)()(3y x b y x y x a y x 的解是什么？。