Y=f(x) B
直线AB 的斜率
f(x1) O
A
x2-x1=△xx
x1
x2
【例1】（1）求 y x2 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率．
解：当自变量从 x0 变到 x0 x 时，函数的平均变化率为
f
( x0
x) x
f
(x0 )

( x0
x)2 x
x02
25 3t
1.函数的平均变化率
2.利用导数定义求导数三步曲：
(1)求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
(3)取极限，得导数 f′(x0)＝Δlixm→0
Δy Δx
简口记诀为一：差一，二差比、，三二趋化近．、三极限
特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔΔxy，保证使 Δx→0 时分
气球的平均膨胀率为 r(2) r(1) 0.16(dm / L) 2 1
随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率 逐渐变小。
显然 0.62>0.16
思考? 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?
r(V2 ) r(V1) V2 V1
高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位： 米)与起跳后的时间t（单位秒）存在函数关系
x
变式训练2
已知曲线 y x2 1上两点 A(2,3), A(2 x,3 y). 当 x 1时，割线 AA 斜率是___5____； 当 x 0.1 时，割线 AA 斜率是__4_._1___．
【例3】某市2004年4月20日最高气温为33.4℃，而此前的两天，

2x0
x ．
当 x 取定值，x0 取不同数值时，该函数的平均变化率也不一样， 可以由图看出变化．
(2)已知某质点按规律 s 2t2 2t （s：单位为 m，t 单位为 s）做 直线运动，求： ①该质点在前3s 内的平均速度； ②该质点在前2s 到3s 内的平均速度．
解： ①由题意知 t 3， s s(3) s(0) 2 32 2 3 (2 02 2 0) 24 ，
2.若函数f(x)为常函数时，△y=0
3.变式 y f (x2 ) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x
x2 x1
x
观察函数f(x)的图象平均变化率 y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
表示什么?
y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y
在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究 相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设 置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材 施教。
背景介绍
早在十七世纪，欧洲资本主义发展初期，由于工场
的手工业向机器生产过渡，提高了生产力，促进了
科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学研
微积究分中的取奠得基了人丰是硕牛的顿成和果莱―布―尼―兹微，积他分们的分产别生从。运动学和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助，成 为十七世纪最伟大的数学发现，此后，微积分得到了广泛的 应用。例如，在军事上，战争中涉及炮弹的最远射程问题， 天文学上，行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。
动，求：
（1）该质点在前3s 内的平均速度；
（2）该质点在2s 到3s 内的平均速度．
选做题
如图是函数
的图象，求函数
在区间 上的平均变化
率．
4 3 2 1 1 123
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δ x=x2-x1, Δ y=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δy=f(x2)-f(x1)
1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘； 式子中△x 、△ y的值可正、可负， 但△x值不能为0，△y的值可以为0; 因此，平均变化率可正，可负，也可为零；
℃，由此可知
．
变式训练3
已知函数
，分别计算 在自变量 从1变化到2和从3变化
到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化的较快．
答案：
，
；
1.质点运动规律s=t2 +3,则在时间(3,3+t)中
相应的平均速度为( A )
A. 6+t C.3+t
B. 6+t+ 9 t
D.9+t
2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化率.
导数研究的问题ຫໍສະໝຸດ 变化率问题研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以 发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 思函考数:关这系一是现象V (中r)， 4哪些r3 量在改变？变量的变化情况？
(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况 是运动员仍然运动，并非静止．
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映他在这段时间里运 动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f (x2 ) f (x1) 表示 x2 x1
解：因为 y f (1 x) f (1)
，
所以割线 PQ 的斜率为 y (x)3 3(x)2 3x (x)2 3x 3.
x
x
当 x 0.1 时，设割线 PQ 的斜率为 k， 则 k y (0.1)2 3 0.1 3 3.31.
叹．这是什么原因呢？原来前者变化得“太快”，而后者变化
得“缓慢”． T(℃)
C(34, 33.4)
30
20
B(32, 18.6)
10
2 A(1, 3.5)
02
10
20
30 34 t(天)
问题：当自变量表示由3月18日开始计算的天数，表示气温， 记函数表示温度随时间变化的函数，那么气温变化的快慢情 况应当怎样表示？
T(℃) 30
C(34, 33.4)
20
B(32, 18.6)
10
2 A(1, 3.5)
02
10
20
30 34 t(天)
分析：如上图： （1）选择该市2004年3月18日最高气温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，
℃，由此可知
；
（2）选择该市2004年4月18日最高气温 ℃与4月20日 ℃进行比较，
0.5 0 在1 t 2这段时间里， v h(2) h(1) 8.2(m / s)
2 1
h
o
t
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
并思考以下问题：
h( 65) h(0) 10 49
v h 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗?
在到
之间的平均变化率．
（2）如果函数 则 __________．
在区间 上的平均变化率为3，
答案：（1）当自变量从 变到
时，函数的平均变化率为
；（2）3．
【例2】过曲线 y f (x) x3 上的两点 P(1,1) 和 Q(1 x,1 y) 作曲线 的割线，求出当 x 0.1 时割线的斜率．
母不为 0.
②函数在 x0 处的导数 f′(x0)只与 x0 有关，与 Δx 无关．
③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛．
必做题
1．已知函数
，分别计算 在自变量 从1变到2和从4变到
6时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．
2．已知某质点按规律
( ：单位为 m， ：单位为 s)做直线运
3
如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r(V ) 3 3V 4
3V 我们来分析一下: r(V ) 3
4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 r(1) r(0) 0.62(dm)
气球的平均膨胀率为 r(1) r(0) 0.62(dm / L) 1 0
当V从1增加到2时,气球半径增加了 r(2) r(1) 0.16(dm)
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
h
如何用运动员在某些时间段内的平均 速度粗略地描述其运动状态?
o
t
请计算 0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v : h(t)=-4.9t2+6.5t+10
在0 t 0.5这段时间里， v h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天 时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气
热得太快了！”但是，如果我们将该市2004年3月18日最高气 温3.5℃与4月18日最高气温18.6℃进行比较，我们发现两者温
差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃．而人们却不会发出上述感
所以平均速度为 s 24 8(m / s). t 3
②由题意知 t 3 2 1， s s(3) s(2) 2 32 2 3 (2 22 2 2) 12 ，
所以平均速度为 s 12 12(m / s). t 1
变式训练1 （1）求
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）