函数零点
一、知识点回顾
1函数零点的定义：对于函数 y 二f(x),我们把使f(x) =0的实数x 叫做函数y 二f (x)的零点。

注意：(1)零点不是点；
(2)方程根与函数零点的关系：方程f(x) =0有实数根=函数y = f(x)的图象与x 轴有交点=函 数八f (x)有零点.
2、 零点存在性定理：如果函数y = f(x)在闭区间［a, b ］上的图象是连续曲线，并且有f(a) f (b) ：：： 0,那 么，函数y = f (x)在区间(a, b)内至少有一个零点.
3、 一个重要结论：若函数 y = f (x)在其定义域内的某个区间上是单调的，则 f (x)在这个区间上至多有
一个零点。

4、 等价关系：函数F(x) = f (x) -g(x)有零点二 方程F(x) = f (x)-g(x) =0有实根=方程组
V " = f (x) ............. 一，,
,,
有实数根二 函数比=f (x)与y 2 = g(x)的图像有交点。

y =g(x)
二、 求函数y 二f (x)零点的方法 1解方程f(x) 0的根；
2、 利用零点存在性定理和函数单调性:
3、 转化成两个函数图像的交点问题。

三、 典例分析
例2若函数f(x) =2x 2 -x • a 有两个零点，且一个在(—
2, 0)内，另一个在(1, 3)内，求a 的取值
范围.
变式
2
1、 已知关于x 的方程3x —5x+a=0的两根x , x 2满足治丘(—2,0) , x 2丘(1,3)，求实数a 的取值范围.
2、 已知函数 f (x) =(x-a)(x-b) • 2(a ：：：b)，若〉，-1 )是方程 f(x)=0的两个根，则实数
a, b,〉，：之间的大小关系是(
)
A 一 ::: a ::: b ：：： -
B. a ：： ： :: - :: b C . a ：： ： :: b ：： ： D. ： :: a ：： - ::: b
例1二次函数y =ax 2 • bx • c 的部分对应值如下表:
则不等式ax 2 bx c 0的解集是
3.函数f (x) =ax • 2a • 1, a = 0，若在- x 乞1上，f (x)存在一个零点，则实数 a 的取值范围是
2
x
例3 函数y =石和y=|log 2x 的图象的交点有
(A ) 1 个
(B )2 个
(C ) 3 个
变式：
1、若方程x = x b 有两个不相等的实数根，求 b 的取值范围.
2、已知函数 l 2x _1 x 0
f(x)
若函数g(x)=f(x)_m 有3个零点，则实数 m m 的取值范围是
卜x -2x,x w 0.
练习
1.已知函数 f (x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于
2.函数f(x) =x 2 -1,g(x^a|x -1| •若关于x 的方程|f(x)|=g(x)只有一个实数解，求 a 的取值范围;
3.方程lgx+x=3的解所在区间为(
1 4. f (x) = lg x
零点所在区间是( ).
x
A. (0,1]
B. (1,10]
C. (10,100]
D. (100,：：)
5.若 a b c ,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)，(x-b)(x-c)，(x-c)(x-a)两个零点分别位于区间
(A ) (a,b)和(b,c)内
(B )(Y ；a)和(a,b)内(C ) (b,c)和(c,=)内
(D )(Y ，,a)和(c,：：)内
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(D ) 4 个
A . (0 , 1)
B (1 , 2)
C . (2 , 3) D
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