:相似三角形判定的基本模型（一）A字型、反A字型（斜A字型）（二）8字型、反8字型（四）一线三等角型:1:相似三角形模型A（平行）（蝴蝶型）三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示:精品文档（五）一线三直角型:三直角相似可以看着是"一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似,这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

（六）双垂型::相似三角形判定的变化模型■t/a c----- 1————a b c¥旋转型：由A字型旋转得到8字型拓展B CA K /I / /x/ *B C ———£------ d一线三直角的变形2:相似三角形典型例题(1) 母子型相似三角形例1 :如图，梯形ABCD中，AD // BC,对角线AC、BD交于点O, BE// CD交CA延长线于E.2求证：OC = OA OE .例2:已知：如图，A ABC中，点E在中线AD上，.DEB二.ABC .求证：(1) DB2= DE DA; (2) . DCE 二/DAC .例3 :已知：如图，等腰A ABC中，AB= AC, AD丄BC于D, CG// AB, BG分别交AD、AC于E、F . 求证：BE2 = EF EG .21、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线•求证：FD FB FC .2、已知：AD是Rt△ABC中/ A的平分线，/ C=90° , EF是AD的垂直平分线交AD于M , EF、BC的延长线交于一点N。

求证：⑴ AAME NMD; (2)ND2=NC・NBA3、已知：如图，在△ABC中，/ ACB=90°, CD丄AB于D, E是AC上一点，CF丄BE于F。

求证：EB-DF=AE DB4. 在ABC中，AB=AC，高AD与BE交于H , EF_BC，垂足为F,延长AD到G,使DG=EF , M是AH的中点。

求证：- GBM = 90G5已知：如图，在Rt△ABC中，/ C=90 °, BC=2 , AC=4, P是斜边AB上的一个动点，PD丄AB，交边AC 于点D (点D与点A、C都不重合)，E是射线DC上一点，且/ EPD = / A.设A、P两点的距离为x, △BEP 的面积为y.(1)求证：AE=2PE;(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3) 当ABEP与△ABC相似时，求A BEP的面积.(2)双垂型1 如图，在△ABC中，/ A=60° BD、CE分别是AC、AB上的高求证：(1)AABD ACE ; (2) A ADE ABC ; (3)BC=2EDDE=6 2，求：点B到直线AC的距离。

1、A ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上，/DAE=120 ° ,已知BD=1 , CE=3，求等边三角形的边长2、已知：如图，在Rt A ABC 中，AB=AC ,Z DAE=45 °(2) BC2=2BE CD .2、如图，已知锐角△ABC , AD、CE分别是BC、AB边上的高, △ABC 和ABDE的面积分别是27和3,B(3)共享型相似三角形求证：(1) △ABE S MCD ;精品文档(4) 一线三等角型相似三角形①若点P在线段CB上(如图)，且BP =6，求线段CQ的长；②若BP = x , CQ = y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;(2)正方形ABCD的边长为5 (如下图)，点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合)，且保持NAPQ =90。

当CQ =1时，求出线段BP的长•例 3 :已知在梯形ABCD 中，AD // BC, AD V BC ,且AD = 5, AB = DC = 2 .(1)如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC = Z A.①求证；MBP S A DPC②求AP的长.(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合)，且满足/ BPE =Z A, PE交直线BC于点E, 同时交直线DC于点Q,那么①当点Q在DC的延长线上时，设AP = x, CQ = y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；②当CE = 1时，写出AP的长.例2: (1)在:ABC 中，AB = AC点B重合)，且保持.APQ =/ABC.A例1 :如图，等边△KBC中，边长为(1)求证：A BDE CFDC例4:如图，在梯形ABCD中，AD // BC ,M为顶点作.EMF二/B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF •(1) 求证：△ MEF BEM ；(2) 若A BEM是以BM为腰的等腰三角形，求EF的长;(3) 若EF _CD，求BE的长.2、如图，已知在A ABC中，AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结DE, 并作• DEF二/B，射线EF交线段AC于F.(1)求证：ADBE ECF;(2)当F是线段AC中点时，求线段BE的长；(3)联结DF，如果ADEF 与△DBE相似，求FC的长.AB二CD二BC =6 , AD =3 •点M为边BC的中点，以1、如图，在△ABC中，AB=AC=8 , BC =10 , D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且(1) 求证：△ABDDCE ；⑵如果BD = x , AE = y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的定义域;⑶当点D是BC的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由.BE C3、已知在梯形 ABCD 中，AD // BC , AD < BC ,且 BC =6, AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点.(1)如图，P 为BC 上的一点，且 BP=2 .求证：A BEPCPD ;2)如果点P 在BC 边上移动(点 P 与点B 、C 不重合)，且满足/ EPF = / C , PF 交直线CD 于点F ,同时交直线 AD 于点M ,那么①当点F 在线段CD 的延长线上时，设 BP=X , DF= y ，求y 关于X 的函数解析式，并写出函数的定义域；9②当S DMF S BEP 时，求BP 的长.4、如图，已知边长为3的等边AB C ，点F 在边BC 上, CF 二1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG ，直线EG, FG 交直线AC 于点M , N ,(1) 写出图中与 BEF 相似的三角形；(2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设BE =x,MN = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(4) 若AE =1，试求GMN 的面积.(5)—线三直角型相似三角形B例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE _ CP , 交边AB于点E,设PD =x,AE =y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

例2、在:ABC 中，.C =90°, AC =4,BC =3,0 是AB 上的一点，且AC 2=—，点P是AC上的一个动点，PQ _ CP交线段BC于点Q,（不AB 5与点B,C重合），设AP二x,CQ二y，试求y关于x的函数关系，并写出定义域。

31•在直角ABC中，/C =90°, AB =5,tanB ，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF _ DE4交射线AC于点F（1）、求AC和BC的长（2）、当EF // BC时，求BE的长。

（3）、连结EF,当也DEF和AABC相似时，求BE的长。

2•在直角三角形ABC中，• C =90：AB二BC,D是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），DF _ DE , DF与射线BC相交于点F.（1）、当点D是边AB的中点时，求证：DE二DF.AD DE砧/古⑵、当m，求的值DB DFAD 1（3）、当AC =BC =6,——=一，设AE = x,BF =y,求y关于x的函数关系式，并写出定义域DB 23.如图，在 ABC 中，.C =90 , AC =6 , ta nB =? , D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点,4作.DEF -90 , EF 交射线BC 于点F •设BE =x , . BED 的面积为y .(1 )求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；(2)如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与 BED 相似，求 BED 的面积.4•如图，在梯形 ABCD 中，AB CD , AB = 2, AD = 4, tanC 二彳， ADC = DAB 二 90°, P 是腰 BC 上 一个动点(不含点B 、C ),作PQ _ AP 交CD 于点Q •(图1)⑴求BC 的长与梯形 ABCD 的面积；(2) 当PQ = DQ 时，求BP 的长；(图2)(3) 设BP =x,CQ 二y ,试求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域•C B CB。