1.在直角 中， ，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点， 交射线AC于点F
（1）、求AC和BC的长
（2）、当 时，求BE的长。
（3）、连结EF,当 和 相似时，求BE的长。
2.在直角三角形ABC中， 是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合）， 与射线BC相交于点F.
(1)、当点D是边AB的中点时，求证：
(2)、当 ，求 的值
（3）、当 ，设 ,求y关于x的函数关系式，并写出定义域
3.如图，在 中， ， ， ， 是 边的中点， 为 边上的一个动点，作 ， 交射线 于点 ．设 ， 的面积为 ．
（1）求 关于 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）如果以 、 、 为顶点的三角形与 相似，求 的面积.
①当点F在线段CD的延长线上时，设BP= ，DF= ，求 关于 的函数解析式，并写出函数的定义域；
②当 时，求BP的长．
4、如图，已知边长为 的等边 ，点 在边 上， ，点 是射线 上一动点，以线段 为边向右侧作等边 ，直线 交直线 于点 ，
（1）写出图中与 相似的三角形；
（2）证明其中一对三角形相似；
（六）双垂型：
二：相似三角形判定的变化模型
旋转型：由A字型旋转得到
8字型拓展
共Hale Waihona Puke 性一线三等角的变形一线三直角的变形
2：相似三角形典型例题
（1）母子型相似三角形
例1：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，BE∥CD交CA延长线于E．
求证： ．
例2：已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上, ．
（1）求证：△BDE∽△CFD
（2）当BD=1，FC=3时，求BE
例2：（1）在 中， ， ，点 、 分别在射线 、 上（点 不与点 、点 重合），且保持 .
①若点 在线段 上（如图），且 ，求线段 的长；
②若 ， ，求 与 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）正方形 的边长为 （如下图），点 、 分别在直线 、 上（点 不与点 、点 重合），且保持 .当 时，求出线段 的长.
（3）设 ，求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（4）若 ，试求 的面积．
(5)一线三直角型相似三角形
例1、已知矩形ABCD中，CD=2，AD=3，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作 ，交边AB于点E,设 ，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。
例2、在 中， 是AB上的一点，且 ，点P是AC上的一个动点， 交线段BC于点Q，（不与点B,C重合），设 ，试求 关于x的函数关系，并写出定义域。
1：相似三角形模型
一：相似三角形判定的基本模型
（一）A字型、反A字型（斜A字型）
（平行）（不平行）
（二）8字型、反8字型
（蝴蝶型）
（平行）（不平行）
（三）母子型
（四）一线三等角型：
三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：
（1）求证：△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
3、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC=6，AB=DC=4，点E是AB的中点．
（1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD；
（2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交直线CD于点F，同时交直线AD于点M，那么
（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．
（2）双垂型
1、如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高
求证：（1）△ABD∽△ACE；（2）△ADE∽△ABC；(3)BC=2ED
2、如图，已知锐角△ABC，AD、CE分别是BC、AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别是27和3，DE=6 ，求：点B到直线AC的距离。
例3：已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AD＝5，AB＝DC＝2．
（1）如图8，P为AD上的一点，满足∠BPC＝∠A．
①求证；△ABP∽△DPC
②求AP的长．
（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么
①当点Q在DC的延长线上时，设AP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（五）一线三直角型：
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
3、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。
求证：EB·DF=AE·DB
4.在 中，AB=AC，高AD与BE交于H， ，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF，M是AH的中点。求证：
5已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB上的一个动点，PD⊥AB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且∠EPD=∠A．设A、P两点的距离为x，△BEP的面积为y．（1）求证：AE=2PE；
求证：（1） ；（2） ．
例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．
求证： ．
1、如图，已知AD为△ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线．求证： ．
2、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。求证：(1)△AME∽△NMD; (2)ND =NC·NB
4.如图,在梯形 中， , ， 是腰 上一个动点(不含点 、 ),作 交 于点 .(图1)
(1)求 的长与梯形 的面积；
(2)当 时,求 的长；(图2)
(3)设 ,试求 关于 的函数解析式,并写出定义域.
②当CE＝1时，写出AP的长．
例4：如图，在梯形 中， ∥ ， ， ．点 为边 的中点，以 为顶点作 ，射线 交腰 于点 ，射线 交腰 于点 ，联结 ．
（1）求证：△ ∽△ ；
（2）若△ 是以 为腰的等腰三角形，求 的长；
（3）若 ，求 的长．
1、如图，在△ABC中， ， ， 是 边上的一个动点，点 在 边上，且 ．
（3）共享型相似三角形
1、△ABC是等边三角形，DBCE在一条直线上,∠DAE=120°,已知BD=1，CE=3，求等边三角形的边长.
2、已知：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠DAE=45°．
求证：（1）△ABE∽△ACD；（2） ．
(4)一线三等角型相似三角形
例1：如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°
(1)求证：△ABD∽△DCE；
(2)如果 ， ，求 与 的函数解析式，并写出自变量 的定义域；
(3)当点 是 的中点时，试说明△ADE是什么三角形，并说明理由．
2、如图，已知在△ABC中，AB=AC=6，BC=5，D是AB上一点，BD=2，E是BC上一动点，联结DE，并作 ，射线EF交线段AC于F．