1习 题 二（A ）三、解答题 1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律；(2) 写出X 的分布函数．解: (1)X 123456p i3611369367365363361分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有（这里指任选某1-612⨯C 12C 次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为多算了一次）或种，故,其612⨯C 1512+⨯C {}36113615361-611212=+⨯=⨯==C C X P 他结果类似可得.(2)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6 165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{10 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F 于于于于于于于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x 于于于于于于于 2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．解：X -199p i1261251261注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然.{}1261299510===C X P3．设随机变量X 的分布律为为常数，试求常数a ．0;,2,1,0,!}{>===λλ k k ak X P k解：因为，所以.1!==-∞=∑λλae k ak kλ-=e a 4．设随机变量X 的分布律为X -123p i1/41/21/4(1) 求X 的分布函数；(2) 求，，．}21{≤X P }2523{≤<X P }32{≤≤x P解：3(1) ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(于于于于于于于于x x x X P X P x X P x F(2) 、,{}41121=-==⎭⎫⎩⎨⎧≤X p X P {}2122523===⎭⎫⎩⎨⎧≤<X P X P.{}{}{}{}{}{}43323232==+=====≤≤X P X P X X P X P 5．设随机变量的分布律为求：X ,2,1,21}{===k k X P k (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5}(3) P {X = 3的倍数}解：(1) ，{}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i iX P 于于(2) ，{}{}16116151212121211415432=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-=≤-=≥X P X P(3) .{}7121121121lim 21333313=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞=∑i i i i X P 于于于6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计） (1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率．(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率．解：(1) .()()5.15.0~P t P X ={}5.10-==e X P(2) .5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率．解：设射击的次数为X ，由题意知,().20400~，B X {}{}∑=--=≤-=≥10400400,98.002.01112k k k kC X P X P 由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X 近似服从泊松分布P (λ)（其中λ=400×0.02），所以P {X ≥2}，∑=--≈18!81k k e k 查表泊松分布函数表得：P {X ≥2}9972.028.01=-≈ 8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~于B X 则指示灯发出信号的概率{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=.1631.08369.01=-= 9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y ≥ 1}．解：因为X 服从参数为5的指数分布，则，51)(x ex F --=，,{}2)10(110-=-=>e F X P ()25~-e B Y 于则.50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---kkke e C k Y P0.516711}0{-1}1{52=--===≥-于于e Y P Y P 10．设随机变量的概率密度为，试求：X ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2||,02||,cos )(ππx x x a x f (1) 系数a ；(2) X 落在区间内的概率．)4,0(π解：(1) 由归一性知：，所以.⎰⎰-∞+∞-===222cos )(1ππa xdx a dx x f 21=a5(2) ..42|sin 21cos 21}40{4040===<<⎰πππx xdx X P 11．设连续随机变量的分布函数为X ⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F 试求： (1) 系数A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度．解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得，即A=1.)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-→+→（2）.{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F （3）X 的概率密度.⎩⎨⎧<<='= ,010,2)()(x x x F x f12．设随机变量X 服从(0，5)上的均匀分布，求x 的方程有实根02442=+++X Xx x 的概率．解：因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他05051)(x x f若方程有实根，则，即024422=+++X Xx x 03216)4(2≥--=∆X X ，得或，所以有实根的概率为0)1)(2(≥+-X x 2≥X 1-≤X {}{}53510511252152==+=-≤+≥=⎰⎰-∞-x dx dx X P X P p 13．设X ～N (3，4)(1) 求};3{},2{},104{},52{>>≤<-≤<X P X P X P X P (2) 确定c 使得};{}{c X P c X P ≤=> (3) 设d 满足，问d 至多为多少?9.0}{≥>d X P解: (1) 因为 所以4)(3~于N X}1235.0{}23523232{}52{≤-<-=-≤-<-=≤<X P X P X P5328.016915.08413.01)5.0()1()5.0()1(=-+=-+=--ΦΦΦΦ{}=≤<-104X P )234()2310(----=ΦΦ9996.019998.021)5.3(2)5.3()5.3(=-⨯=-=--=ΦΦΦ{}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P [])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-=[])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0=.{}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0= (2) ，则，{}{}c X P c X P≤-=>1{}21=≤c X P 2123()(=-Φ==c c F经查表得，即，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

21)0(=Φ023=-c 3=c (3) ，{}{}d X P d X P ≤-=>1)(1d F -=9.0)23(1≥-Φ-=d 则，即，经查表知，1.0)23(≤-Φd 9.0)23-(≥-Φd 9015.0)29.1(=Φ故，即.29.123-≥-d 42.0≤d 14．设随机变量X 服从正态分布，若，试求．),0(2σN 1.0}{(=>k X P }{k X P <解：{}{}k X P k X P ≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1((1σσkk-Φ+Φ-= (22σkΦ-=1.0= 所以 ，；由对称性更容易解出.95.0(=Φσk}{95.0)()(=Φ==<σk k F kX p15．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，试问：随着σ的增大，概率P {|X – μ | < σ}是如何变化的？解：则 ),(~2σμN X {}}{σμσμσμ+<<-=<-X P X P)()(σμσμ--+=F F)((σμσμσμσμ--Φ--+Φ=)1()1(-Φ-Φ=7.0.68261)1(2=-Φ=上面结果与σ无关，即无论σ怎样改变，都不会改变；{}σμ<-X P16．已知离散随机变量的分布律为X X -2-1013p i1/51/61/51/1511/30试求与的分布律．2X Y =X Z =解：由X 的分布律知p 5161511513011x-2-10132X 41019X2113所以 Y 的分布律是Z 的分布律为17．设随机变量服从正态分布),(2σμN ，求Y = e X 的概率密度．X解：因为X 服从正态分布，所以，),(2σμN 222)(21)(σμσπ--=x X ex f ，{}y e P y F X Y ≤=)(当时，，则0≤y 0)(=y F Y 0)(=y f Y 当时，0>y {}{})lny (ln )()(X XY F y X P y eP y Y P y F =≤=≤=≤=Y 0149p51307513011Y 0123p51307513011222)(ln ''211)(ln 1)](ln [)()(σμσπ--====y X X Y Y yy f y y F y F y f e所以Y 的概率密度为；⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--00,e 211)(222)(ln y y y y f y Y 于σμσπ 18．设X ～U (0，1)，试求Y = 1 – X 的概率密度． 解 因为，，)1,0(~U X1001)(<<⎩⎨⎧=x x f{}{})1(111)()(y F Y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=所以])1(1[)()(''--==y F y F y f X Y Y ⎩⎨⎧<<=⎩⎨⎧<-<=-=他他他他)1(0,101,0,1101,y y y f X 19．设X ～U (1，2)，试求的概率密度．X e Y 2=解：，则)2,1(~U X 其他2101)(<<⎩⎨⎧=x x f {}{}ye P y Y P y F X Y ≤=≤=2)(当时，，0≤y {}0)(2=≤=y e P y F XY 当时，0>y ，)(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=于于于于42''212ln 210021)ln 21(21)]ln 21([)()(e x e y y y y f y y F y F y f X Y Y <<⎪⎩⎪⎨⎧=<<⎪⎩⎪⎨⎧==== 20．设随机变量X 的概率密度为9⎪⎩⎪⎨⎧<<-=于于,011,23)(2x x x f 试求下列随机变量的概率密度： (1) ;31X Y = (2) ;32X Y -= (3) ．23X Y =解: (1) {}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=3)(11⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=y X P 31)31(y F X =)31(31)]31([)()(''11y f y F y F y f X Y Y ===因为于于11023)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f X 所以)31(31)(1y f y f X Y =于于,1311,01812<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y 于于,33,01812<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y(2) ，{}{}{})3(133)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=)3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y -=--==因为，于于11023)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x xx f X 所以)3()(2y f y f X Y -=⎪⎩⎪⎨⎧<-<--=他他0,131,)3(232y y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=他他0,42,)3(232y y （3）{}{}yXP y Y P y F Y ≤=≤=23)(3 当时，，0≤y {}0)(23=≤=y XP y F Y 0)()('33==x F y fY Y 当时，，0>y {}())()(3y F y F y X y P y F X XY --=≤≤-=()())]([21)]([)()(''33y f y f yy F y Fx F y f XXY Y -+=--==所以 ，()0,0,)]([21)(3≤>⎪⎩⎪⎨⎧-+=y y y fy f yy f XX Y 因为，于于11023)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x xx f X 所以于于,10,023)(3<<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y f Y 四、应用题1. 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在1分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的．为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，应至少有多少电话线路？解：设X 为同时打电话的用户数，由题意知().20,10~ B X 设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则，其中99.0!8.02.0}{01010=≈=≤∑∑=-=-ki iki iiie i C k X P λλ,2=λ查表得k=5.2. 在一个电子仪器系统中，有10块组件独立工作，每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为λ5-e ，其中λ 是与工艺、系统复杂性有关的因子．若该系统中损坏的组件不超过一块，则系统仍能正常工作，那么，5小时后系统不能正常工作的概率（λ = 0.08）是多少？解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-，记X 为10块组件中不能正常工作的个数，则4.0-e，)1,10(~4.0--e B X5小时后系统不能正常工作，即，其概率为{}2≥X {}{}.8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.0110104.004.0010=----=≤-=≥-----e e C e e C X P X P 3. 测量距离时，产生的随机误差X 服从正态分布N (20，402)，做三次独立测量，求： (1) 至少有一次误差绝对值不超过30m 的概率； (2) 只有一次误差绝对值不超过30m 的概率．解：因为，所以)40,20(~2N X)30()30(}3030{}30{--=≤≤-=≤F F X P X P113149.018944.05187.01)25.1()25.0(402030(402030(=-+=-Φ+Φ=--Φ--Φ=设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则，)4931.0,3(~B X (1) .8698.00.5069-1)4931.01(4931.01}0{1}1{333==--==-=≥C Y P Y P (2) .3801.05069.04931.0}1{2113=⨯==C Y P4. 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数．解：当时，是不可能事件，知，0<y }{y Y ≤0)(=y F当时，Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布，知20<≤y ，505151)(yyx e dx e y F ---==⎰ 当时，为必然事件,知，2≥y }{y Y ≤1)(=y F 因此，Y 的分布函数为；⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=-2,120e -10, 0)(5y y y y F y于 5. 有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全挑出来，算是试验成功一次．(1) 某人随机去挑，问他试验成功的概率是多少？(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）．解：(1) 挑选成功的概率；701148==C p (2) 设10随机挑选成功的次数为X ，则该，⎪⎭⎫ ⎝⎛70110~，B X 设10随机挑选成功三次的概率为：，0.00036)7011()701(}3{7310≈-==k C X P12以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。