习 题 二（A ）三、解答题1．一颗骰子抛两次，以X 表示两次中所得的最小点数 (1) 试求X 的分布律； (2) 写出X 的分布函数．解: (1)分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，共有1-612⨯C （这里12C 指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为612⨯C 多算了一次）或1512+⨯C 种，故{}36113615361-611212=+⨯=⨯==C C X P ,其他结果类似可得.(2)⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤=+=+=+=+=<≤=+=+=+=<≤=+=+=<≤=+=<≤=<=6165}5{}4{}3{}2{}1{54 }4{}3{}2{}1{43 }3{}2{}1{32}2{}1{21}1{1 0 )(x x X P X P X P X P X P x X P X P X P X P x X P X P X P x X P X P x X P x x F ，，，，，，，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤<≤<≤<=6 165363554 363243 36273236202136111 0 x x x x x x x ，，，，，，，2．某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各5只，抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖，以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求X 的分布律．解：注意，这里X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然{}1261299510===C X P . 3．设随机变量X 的分布律为0;,2,1,0,!}{>===λλΛk k ak X P k为常数，试求常数a ．解：因为1!==-∞=∑λλae k ak k，所以λ-=e a .4．设随机变量X 的分布律为(1) 求X 的分布函数；(2) 求}21{≤X P ，}2523{≤<X P ，}32{≤≤x P ．解：(1) ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 132432141-1x 03x 132}2{}1{21}1{-1x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x F ，(2) {}41121=-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤X p X P 、 {}2122523===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P , {}{}{}{}{}{}43323232==+=====≤≤X P X P X X P X P Y . 5．设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,21}{===k k X P k求： (1) P {X = 偶数} (2) P {X ≥ 5} (3) P {X = 3的倍数}解：(1) {}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i iX P ΛΛ偶数， (2) {}{}16116151212121211415432=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++-=≤-=≥X P X P ，(3) {}7121121121lim 21333313=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞=∑i i i i X P 的倍数.6. 某公安局在长度为t 的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计）(1) 求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率． (2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率． 解：(1) ()()5.15.0~P t P X = {}5.10-==e X P . (2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P .7. 某人进行射击，每次射击的命中率为0.02，独立射击400次，试求至少击中2次的概率．解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X , {}{}∑=--=≤-=≥10400400,98.002.01112k k k kC X P X P由于上面二项分布的概率计算比较麻烦，而且X 近似服从泊松分布P (λ)（其中λ=400×0.02），所以P {X ≥2}∑=--≈18!81k k e k ， 查表泊松分布函数表得：P {X ≥2}9972.028.01=-≈8. 设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号．现进行5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现的次数，().305~，B X 则指示灯发出信号的概率{}{})7.03.07.03.07.03.0(131********55005C C C X P X P p ++-=<-=≥=1631.08369.01=-=.9. 设顾客在某银行窗口等待服务的时间X （以分钟计）服从参数为5指数分布．某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开．他一个月要到银行5次，以Y 表示他未等到服务而离开窗口的次数．写出Y 的分布律，并求P {Y ≥ 1}． 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则51)(xex F --=，{}2)10(110-=-=>e F X P ，()25~-e B Y ，,则50,1,k ,)1()(}{5225Λ=-==---kk k e e C k Y P .0.516711}0{-1}1{52=--===≥-）（e Y P Y P 10．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=2||,02||,cos )(ππx x x a x f ，试求： (1) 系数a ； (2) X 落在区间)4,0(π内的概率．解：(1) 由归一性知：⎰⎰-∞+∞-===222cos )(1ππa xdx a dx x f ，所以21=a .(2) .42|sin 21cos 21}40{404===<<⎰πππx xdx X P . 11．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=1,110,0,0)(2x x Ax x x F 试求：(1) 系数A ；(2) X 落在区间(0.3，0.7)内的概率；(3) X 的概率密度． 解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-→+→，即A=1.（2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F .（3）X 的概率密度⎩⎨⎧<<='= ,010,2)()(x x x F x f .12．设随机变量X 服从(0，5)上的均匀分布，求x 的方程02442=+++X Xx x 有实根的概率．解：因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他05051)(x x f若方程024422=+++X Xx x 有实根，则03216)4(2≥--=∆X X ，即0)1)(2(≥+-X x ，得2≥X 或1-≤X ，所以有实根的概率为{}{}53510511252152==+=-≤+≥=⎰⎰-∞-x dx dx X P X P p 13．设X ～N (3，4)(1) 求};3{},2{},104{},52{>>≤<-≤<X P X P X P X P (2) 确定c 使得};{}{c X P c X P ≤=>(3) 设d 满足9.0}{≥>d X P ，问d 至多为多少? 解: (1) 因为4)(3~，N X所以}1235.0{}23523232{}52{≤-<-=-≤-<-=≤<X P X P X P5328.016915.08413.01)5.0()1()5.0()1(=-+=-+=--ΦΦΦΦ{}=≤<-104X P )234()2310(----=ΦΦ 9996.019998.021)5.3(2)5.3()5.3(=-⨯=-=--=ΦΦΦ{}{}212≤-=>X P X P {}221≤≤--=X P[])2()2(1---=F F [])5.2()5.0(1-Φ--Φ-= [])5.0()5.2(1Φ-Φ-=3023.01-=6977.0={}{}313≤-=>X P X P )3(1F -=)0(1Φ-=5.01-=5.0=.(2){}{}c X P c X P ≤-=>1，则{}21=≤c X P 21)23()(=-Φ==c c F ，经查表得21)0(=Φ，即023=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

(3) {}{}d X P d X P ≤-=>1)(1d F -=9.0)23(1≥-Φ-=d ，则1.0)23(≤-Φd ，即9.0)23-(≥-Φd ，经查表知9015.0)29.1(=Φ，故29.123-≥-d ，即42.0≤d . 14．设随机变量X 服从正态分布),0(2σN ，若1.0}{(=>k X P ，试求}{k X P <． 解：{}{}k X P k X P ≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1)()(1σσkk -Φ+Φ-=)(22σkΦ-=1.0=所以 95.0)(=Φσk，}{95.0)()(=Φ==<σk k F kX p ；由对称性更容易解出.15．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，试问：随着σ的增大，概率P {|X – μ | < σ}是如何变化的？解：),(~2σμN X 则 {}}{σμσμσμ+<<-=<-X P X P)()(σμσμ--+=F F )()(σμσμσμσμ--Φ--+Φ= )1()1(-Φ-Φ=0.68261)1(2=-Φ=.上面结果与σ无关，即无论σ怎样改变，{}σμ<-X P 都不会改变； 16．已知离散随机变量X 的分布律为试求2X Y =与X Z =的分布律． 解：由X 的分布律知所以 Y 的分布律是Z 的分布律为17．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，求Y = e X 的概率密度． 解：因为X 服从正态分布),(2σμN ，所以222)(21)(σμσπ--=x X ex f ，{}y e P y F X Y ≤=)(，当0≤y 时，0)(=y F Y ，则0)(=y f Y 当0>y 时，{}{})lny (ln )()(X XY Fy X P y eP y Y P y F =≤=≤=≤=222)(ln ''211)(ln 1)](ln [)()(σμσπ--====y X X Y Y yy f y y F y F y f e所以Y 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=--00,e 211)(222)(ln y y y y f y Y ，σμσπ；18．设X ～U (0，1)，试求Y = 1 – X 的概率密度． 解 因为)1,0(~U X ，1001)(<<⎩⎨⎧=x x f ，{}{})1(111)()(y F Y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤= 所以])1(1[)()(''--==y F y F y f X Y Y⎩⎨⎧<<=⎩⎨⎧<-<=-=其他其他)1(0,101,0,1101,y y y f X 19．设X ～U (1，2)，试求X e Y 2=的概率密度． 解：)2,1(~U X ，则其他2101)(<<⎩⎨⎧=x x f{}{}y e P y Y P y F X Y ≤=≤=2)(当0≤y 时，{}0)(2=≤=y e P y F XY ，当0>y 时，)(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=， 其他其他42''212ln 210021)ln 21(21)]ln 21([)()(e x e y y y y f y y F y F y f X Y Y <<⎪⎩⎪⎨⎧=<<⎪⎩⎪⎨⎧====20．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,011,23)(2x x x f 试求下列随机变量的概率密度： (1) ;31X Y = (2) ;32X Y -= (3) 23X Y =．解: (1) {}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=3)(11⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=y X P 31)31(y F X = )31(31)]31([)()(''11y f y F y F y f X Y Y ===因为其他11023)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f X所以)31(31)(1y f y f X Y =其他,1311,01812<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y 其他,33,01812<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y (2) {}{}{})3(133)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=，)3()]3(1[)()(''22y f y F x F y f X X Y Y -=--== 因为其他11023)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x xx f X ，所以)3()(2y f y f X Y -=⎪⎩⎪⎨⎧<-<--=其他0,131,)3(232y y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他0,42,)3(232y y（3）{}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=23)(3当0≤y 时，{}0)(23=≤=y XP y F Y ，0)()('33==x F y fY Y当0>y 时，{}())()(3y F y F y X y P y F XXY --=≤≤-=， ()())]([21)]([)()(''33y f y f yy F y Fx F y f XXY Y -+=--==所以 ()0,0,)]([21)(3≤>⎪⎩⎪⎨⎧-+=y y y fy f yy f XX Y ，因为其他11023)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x xx f X ，所以其他,10,023)(3<<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y f Y四、应用题1. 甲地需要与乙地的10个电话用户联系，每一个用户在1分钟内平均占线12秒，并且各个用户是否使用电话是相互独立的．为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99，应至少有多少电话线路？解：设X 为同时打电话的用户数，由题意知().20,10~B X 设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则99.0!8.02.0}{01010=≈=≤∑∑=-=-ki iki iiie i C k X P λλ，其中,2=λ查表得k=5.2. 在一个电子仪器系统中，有10块组件独立工作，每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为λ5-e，其中λ 是与工艺、系统复杂性有关的因子．若该系统中损坏的组件不超过一块，则系统仍能正常工作，那么，5小时后系统不能正常工作的概率（λ = 0.08）是多少？ 解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-4.0-e，记X 为10块组件中不能正常工作的个数，则)1,10(~4.0--e B X ，5小时后系统不能正常工作，即{}2≥X ，其概率为{}{}.8916.0 )()1()()1(1 1121104.014.0110104.004.0010=----=≤-=≥-----e e C e e C X P X P3. 测量距离时，产生的随机误差X 服从正态分布N (20，402)，做三次独立测量，求： (1) 至少有一次误差绝对值不超过30m 的概率； (2) 只有一次误差绝对值不超过30m 的概率． 解：因为)40,20(~2N X ，所以)30()30(}3030{}30{--=≤≤-=≤F F X P X P3149.018944.05187.01)25.1()25.0()402030()402030(=-+=-Φ+Φ=--Φ--Φ=设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数，则)4931.0,3(~B X ，(1) 8698.00.5069-1)4931.01(4931.01}0{1}1{33003==--==-=≥C Y P Y P .(2) 3801.05069.04931.0}1{2113=⨯==C Y P .4. 假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数为5的指数分布，设备定时开机，出现故障时自动关机，而无故障的情况下工作2小时便关机．试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数．解：当0<y 时，}{y Y ≤是不可能事件，知0)(=y F ，当20<≤y 时，Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布，知55151)(yyxe dx e y F ---==⎰，当2≥y 时，}{y Y ≤为必然事件,知1)(=y F ，因此，Y 的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=-2,120e -10, 0)(5y y y y F y，；5. 有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全挑出来，算是试验成功一次．(1) 某人随机去挑，问他试验成功的概率是多少？(2) 某人声称他通过品尝能区分两种酒，他连续试验10次，成功3次，试推断他是猜对的还是确有区分的能力（设各次试验是相互独立的）． 解：(1) 挑选成功的概率701148==C p ； (2) 设10随机挑选成功的次数为X ，则该⎪⎭⎫ ⎝⎛70110~，B X ， 设10随机挑选成功三次的概率为：0.00036)7011()701(}3{7310≈-==k C X P ， 以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。