《现代控制理论》第1章习题解答1.1线性定常系统和线性时变系统的区别何在答：线性系统的状态空间模型为：x Ax Buy Cx Du=+=+线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和D 中有时变的元素。

线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。

现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下:线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式它们分别具有什么特点答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。

对于n 阶传递函数1212101110()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有⑴ 能控标准型： []012101210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du---⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩ ⑵ 能观标准型： []0011221100100010001001n n n b a b a x a x u b a b y x du---⎧-⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥-⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪-⎣⎦⎣⎦⎪=+⎪⎩ ⑶ 对角线标准型： []1212001001001n n p px x u p y c c c x du⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩ 式中的12,,,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出，12121012111012()n n n n nn n n nb s b s b s bc c c G sd d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=++++++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。

能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。

对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。

对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。

单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零，其参数如何确定 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。

转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数1110111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n nn n n n ++++++++=---- 可得：d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----01110111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。

在例1.2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图的串联分解，试问：若将图中的两个环节前后调换，则对结果有何影响 答: 将图中的两个环节调换后的系统方块图为：图中，3221011()a s s a s a s a =+++，2210()b s b s b s b =++。

由于3s y -相当于对y 作3次积分，故1()y m a s =可用如下的状态变量图表示：因为2s b 相当于对b 作2次微分，故()m b s u=可用如下的状态变量图表示:因此，两个环节调换后的系统状态变量图为进一步简化，可得系统状态变量图为取3y x =，2y x =，1y x =，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为001122001001[001]a b x a x b ua b y x-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=两个环节调换前的状态空间模型是：012012010000101[]x x u a a a y b b b x⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦=显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。

已知系统的传递函数2()6()56Y s s U s s s +=++ 试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。

答： 系统的能控标准形为:[]01065161x x u y x⎧⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎨⎪=⎩系统的能观标准形为:[]06615101x x u y x⎧-⎡⎤⎡⎤=+⎪⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎨⎪=⎩考虑由下图描述的二阶水槽装置，图 二阶水槽装置图该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是：图 二阶水槽系统的方块图试确定其状态空间模型。

答：图中两个环节的状态空间模型分别为:⎩⎨⎧=+-=2222222x y u b x a x 和 ⎩⎨⎧=+-=11111x y u b x a x又因为21x u u +=，所以1121111u b x b x a x++-= 22222u b x a x+-= 1x y =进一步将其写成向量矩阵的形式，可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212121121000u u b b x x a b a x x []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2101x x y考虑以下单输入单输出系统:61166+++=y y y y u试求该系统状态空间模型的对角线标准形。

答： 由微分方程可得:321)3)(2)(1(661166)(32123+++++=+++=+++=s c s c s c s s s s s s s G 其中，3)3)(2(6lim11=++=-→s s c s6)3)(1(6lim 22-=++=-→s s c s3)2)(1(6lim 33=++=-→s s c s故该系统状态空间模型的对角线标准形为:u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡111300020001321321 []⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=321363x x x y已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:()4()3()()6()8()++=++y t y t y t u t u t u t试求:（1）建立此系统状态空间模型的对角线标准形；（2）根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。

答: （1）由微分方程可得:345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s G记12122525()(1)(3)1343c c s s G s s s s s s s ++===+++++++， 其中，23352lim11=++=-→s s c s ，21152lim 32=++=-→s s c s 。

从输入通道直接到输出通道上的放大系数1=d ，由此可得:u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1130012121 u x x y +⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212123 （2） 由于⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=3001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2123C ，1=D ，因此 1()()3011311011(1)(2)221.50.5113G s C sI A B Ds s s s s s -=-++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦=++++ 已知系统的传递函数为25()(3)(5)+=++s G s s s（1）采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；（2）采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。

答:（1）将()G s 重新写成下述形式：125()35s G s s s +=⋅++ 每一个环节的状态空间模型分别为：⎩⎨⎧=+-=11113x y u x x 和 ⎩⎨⎧+-=+-=12122255u x y u x x又因为11y u =， 所以⎩⎨⎧-=+-=2121153x x x u x x2152x x y -=因此，若采用串联分解方式，则系统的状态空间模型为：u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0151032121 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2152x x y对应的状态变量图为：（2）将()G s 重新写成下述形式：0.5 2.5()35S G s s -=+++ 每一个环节的状态空间模型分别为：111130.5x x uy x =--⎧⎨=⎩ ⎩⎨⎧=+-=22225.25x y u x x又由于⎰52x x -1x ⎰31x -⎩⎨⎧+-=--=u x xu x x5.255.032211 1212y y y x x =+=+因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为：u x x x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡5.25.050032121 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111x x y对应的状态变量图为：已知系统的状态空间模型为,x Ax Bu y Cx =+=，写出该系统的特征多项式和传递函数矩阵。

答: 系统的特征多项式为det()sI A -， 传递函数为1()()G s C sI A B -=-。

一个传递函数的状态空间实现是否惟一由状态空间模型导出的传递函数是否惟一 答: 一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。

已知系统的状态空间模型为Cx y Bu Ax x=+=, ，写出其对偶状态空间模型。

答: 其对偶状态空间模型为:--5⎰1x ⎰2x x⎩⎨⎧=+=xB y uC x A x T T T ~~~ 两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系答: 对于互为对偶的 ⎩⎨⎧=+=Cx y Bu Ax x 与 ⎩⎨⎧=+=xB y uC x A x T T T ~~~ ，它们对应的特征多项式分别为det()sI A -和det()T sI A -。

由于一个矩阵和其装置的特征多项式是相同的，故互为对偶的两个状态空间模型具有相同的特征多项式。

它们对应的传递函数分别为11()()()det()C sI A BG s C sI A B sI A *--=-=-12()()()det()T T TTT TT B sI A C G s B sI A C sI A *--=-=-由于det()det()T sI A sI A -=-，()()()TT T T C sI A B B sI A C **-=-，故对偶状态空间模型之间的传递函数关系为12()()T G s G s =，即互为转置。