西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期
1 2()0 ()
x t x t ⎤⎡
=
⎥⎢-
⎣⎦
设系统的传递函数为－1＋j，－1
[210a x y b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。

1221x x kx x x kx =-=--1
)()t t -=Φ证明：非奇异性变换后，线性定常系统S
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案
第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分）
（1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分）
（1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-=Φ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-
+-+-
+-+-
++-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+-=------------t t t
t t t t
t e e e
e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221
11
2222}){()(22112
21221112112
213)2)(1(1
)(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分
⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+++-+++-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-++++-=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡+--+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-Φ+Φ=------------------------------⎰⎰t t t t t t t t t t t t t t t t
t t t t t
e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222
21
22212
21111122)(02222210
2344}2414)1(42212)1(4
{2)()(}
)2()1(4)
2()1()3(2{)}0(){()()
()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者
ττ
τττττττ
第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果）
（1） 系统动态方程（3分）
[]x
y u x x 0010
1003201
00010=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=
（2） 状态反馈矩阵（5分，公式正确3分） []
kx v u k k k k -==21
由闭环极点和闭环系统特征多项式有
4
64)
1)(1)(2()2()3()(2
3
01223+++=++-++=+++++=--λλλλλλλλλλj j k k k BK A I
比较，[]144
=k 。

（3）闭环系统的动态方程（3分）：
[]x
y v x x 0010100464100010=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= （4）闭环系统的传递函数（4分）：4
6410
U(s)Y (s)G (s)2
3+++==
s s s 第四题（15分）已知系统传递函数
3
42
)()(2+++=s s s s U s Y ，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出相应的系统状态图。

答：（1）可观标准型及状态图（5分）
[][]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=212121211012413012104310
x x y u x x x x x y u x x x －观标准型为：根据对偶原理，系统可可控标准型为：
（2）系统可观测标准型状态变量图如下：（5分）
（3）对角标准型（5分，答案不唯一，两种常见形式如下）
[][]⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=+=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=+=++
+=+++=+++==
21212121212122121111003)(11)(),(31)(112121
1003)(121)(),(321)(1
21321)1)(3(2
342U(s)Y(s)G(s)x x y u x x x s u s s x s u s s x x x y u x x x s u s s x s u s s x s s s s s s s s －时，当－时，当
第五题（15分）
已知[]⎪⎩
⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x b y u x a x 011012。

，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完全可观。

[][]。

且观的条件是系统完全可控、完全可；
系统可观，；
系统可控010.
02det ,201.
01)2(1B
det ,,1211B 2≠-≠∴≠∴≠=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-≠∴≠--=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+==b a b b CA C b ab b CA C V a a a AB a AB S
可控部分正确――7分：公式正确4分，可控性矩阵计算正确2分，a 值正确1分；
可观部分正确――7分：公式正确4分，可观性矩阵计算正确2分，b 值正确1分； 总结论正确1分。

第六题（15分）
（1）（5分） 原点021==x x 是系统唯一的平衡状态 （2）（6分）222
212
2
2
1)(2)()(x x k X V x x X V +-=+= （)(x V 答案不唯一，仅供参考） （3）（4分）K>0 时系统大范围一致渐近稳定；K=0时 系统是李雅普诺夫意义下稳定的(或系统一致稳定)；K 〈0时 系统不稳定。

写对平衡状态表达式2分；求出原点021==x x 是系统的平衡状态2分；说明唯一性1分。

写对李雅普诺夫函数3分；求导正确3分；正确分析出上述（3）中的3种情况分别为2分、1分、1分，其中K>0时未说明大范围和一致性稳定各扣0.5分。

第七题（15分，（1）和（2）小题任选一题）
（1）小题：证明过程引用的公式正确7分，证明过程严谨正确8分。

证明：由2121210)()()(t t I t t t t ==Φ-ΦΦ=-Φ令）（和，有
I t t =-ΦΦ)()( 所以)()(1t t -Φ=Φ-证毕。

(2)小题：写对变换后的可观测性矩阵8分，仅写对非奇异变换公式4分；证明过程正确严谨7分。

证明：[
]
T T n T T T
CP AP P CP AP P CP V )(}){()()()
(111---=
[
]
[
]
.
)()(}){()()()(1111rankV V rankP C A C A C rankP CP AP P CP AP P CP rank V rank T T
T n T
T T
T T
T n T T T ====----。