【押题背景】取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.【押题典例】典例1 已知椭圆C：2222x ya b+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2292y⎛+=⎝⎭过点F2．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．【答案】（1）22184x y+=；（2）．【解析】（1）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），又因为212OE F P=，所以P点坐标为(2，所以122a PF PF=+=则a=b＝2，因此椭圆的方程为22184x y+=；（2）设直线l1：y=k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为()42k，设A（x A，y A），D（x D，y D），将直线l1代入椭圆方程得（1+2k2）x2+（﹣8k2）x+8k2﹣k﹣4＝0，所以x P x A228412kk--=+，所以x A224212kk--=+，直线l2的方程为y1k=-（x﹣3），所以点D坐标为14k⎛⎫⎪⎝⎭，押题第37道椭圆中与面积有关的取值范围问题所以S △ABD 12=（4﹣x A ）|y B ﹣y D |12=•12k k +＝2k 3k ++≥，当且仅当2k 3k =，即k =时取等号，综上，△ABD 面积的最小值． 典例2如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1,0)，左准线方程为x ＝－2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若A ，B 两点满足OA ⊥OB (O 为坐标原点)，求△AOB 面积的取值范围． 【答案】 (1)x 22＋y 2＝1；(2)S ∈⎣⎡⎦⎤23，22.【解析】 (1)由题设知，c ＝1，a 2c ＝2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝a 2－c 2＝1, 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)解法一：当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22； 当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1k x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 得到x 2＋2k 2x 2＝2，所以x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1， 同理x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2，△AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝(k 2＋1)2(2k 2＋1)(k 2＋2).令t ＝k 2＋1∈(1，＋∞)，S ＝t 2(2t －1)(t ＋1)＝12＋1t －1t2， 令u ＝1t∈(0,1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22.综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为OAOB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0.①当直线AB 的斜率不存在时，△AOB 是等腰直角三角形．所以， 可设A (t ，t )，B (t ，－t )，则t 22＋t 2＝1，得t 2＝23.此时△AOB 面积S ＝t 2＝23；②当直线AB 的斜率存在时，设AB 方程为y ＝kx ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 22＋y 2＝1.得1＋2k 2x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0.所以Δ＝8(1＋2k 2－m 2)>0，且⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－2－2k 21＋2k2，所以m 2＝23(1＋k 2)． 又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|，O 到AB 的距离h ＝|m |1＋k 2，所以△AOB 面积S ＝12AB ·h ＝12|m ||x 1－x 2|＝2|m |·1＋2k 2－m 21＋2k 2＝ 2 3· 1＋5k 2＋4k 4 1＋2k 2＝ 23· 1＋k 21＋4k 2 ＋4k 4，当k ＝0时，S ＝ 2 3，当k≠0时，S ＝231＋ 14k 2＋1 k2＋4，∵4k 2＋1k 2≥4，当且仅当k 2＝12取“＝”，∴0＜ 1 4k 2＋1k 2＋4≤18∴S ∈(23，22]，综上，△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.【押题匹配】(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，12)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图所示．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求△PCD 面积的最大值． 【答案】 (1)x 24＋y 2＝1；(2)2－1.【解析】（1）设c 2＝a 2－b 2，则c a ＝ 32，所以a 2＝4b 2.又点⎝ ⎛⎭⎪⎫ 3，12在椭圆上，所以3a 2＋14b 2＝1.解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1. （2）由题意，AP 直线斜率存在，所以设直线AP ：y ＝k(x ＋2)，P 在第四象限，所以－12<k <0.令x ＝0得y C ＝2k ，所以C (0,2k )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.所以x A x P ＝16k 2－41＋4k 2.又x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2－21＋4k 2，y P ＝k (x P＋2)＝4k 1＋4k 2.即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2－21＋4k 2，4k 1＋4k 2. 设D(m,0)，因为B(0,1)，P ，B ，D 三点共线，所以m －00－1＝－8k 2－21＋4k 24k 1＋4k 2－1，解得m ＝2(1＋2k )1－2k .即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k )1－2k ，0.所以S △PCD ＝S △P AD －S △CAD ＝12·AD ·||y P －y C ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2(1＋2k )1－2k ＋2⎪⎪⎪⎪4k 1＋4k 2－2k ＝4||k (1＋2k )1＋4k 2. 因为－12<k <0，所以S △PCD ＝－8k 2－4k 1＋4k 2＝－2＋2(1－2k )1＋4k 2.令t ＝1－2k ，则1<t <2，所以2k ＝1－t ，所以S △PCD ＝－2＋2t t 2－2t ＋2＝－2＋2t ＋2t－2≤－2＋22 2－2＝2－1.当且仅当t ＝2时取等号，此时k ＝1－22，所以△PCD 面积的最大值为2－1.【押题变式】1、（2020江苏无锡高三）若椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，则△F 1BF 2的面积的最大值是________．2、（2020江苏盐城高三）椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1()a >b >0的长轴端点为A ，B ，短轴端点为C ，D ，动点P 满足P APB ＝2，△P AB 面积的最大值为163，△PCD 面积的最小值为23，则此椭圆的离心率为_________．3、（2020江苏镇江高三）已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积最大值为3b 2，则椭圆的离心率为________．4、（2020江苏连云港高三）过椭圆x 216＋y 24＝1上一点P 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 面积的最小值为________．5、（2020江苏泰州高三）椭圆两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 为椭圆上的动点，直线PF 2与椭圆的交点为Q ，若△PF 1Q 面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为________．6、（2020江苏通州高三）如图所示，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2n ＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点． (1)求椭圆的标准方程；(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．7、（2020江苏扬州高三）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，与x 轴平行的直线与椭圆E 交于B ，C 两点，过B ，C 两点且分别与直线AB ，AC 垂直的直线相交于点D .已知椭圆E 的离心率为53，右焦点到右准线的距离为455. (1)求椭圆E 的标准方程；(2)证明点D 在一条定直线上运动，并求出该直线的方程； (3)求△BCD 面积的最大值．8、（2020江苏徐州高三）已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．如图37­6所示．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时， 求l 的方程．9、（2020江苏南京高三）如图所示，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，△MSN 的面积，求S 1S 2的最大值．10、（2020江苏苏州高三）设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，过点P 的直线y ＝kx＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .如图所示．(1)求OQOP的值；(2)求△ABQ 面积的最大值．。