22例题：如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1（a>b>0）的左焦点为F（－1，0），左准线方程为x ab＝－ 2.（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）若A，B两点满足OA⊥OB（O为坐标原点），求△ AOB 面积的取值范围．2 2 2变式2设椭圆E：x＋y＝1，P为椭圆C：x＋y2＝1上任意一点，过点P的直线y＝16 44kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.(1)求O O Q P的值；(2)求△ ABQ 面积的最大值．椭圆中与面积有关的取值范围问题范围问题类似于函数的值域，解析几何中几何量的范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.2串讲1如图，已知椭圆C：x2＋y2＝1，设A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线x ＝2 2上一动点（不在x轴上），直线 A 1S交椭圆C于点M，直线 A 2S交椭圆于点N，设△MSN 的面积，求S1的最大值．S2x 2y23串讲2已知点A（0 ，－2），椭圆E：2＋2＝1（a>b>0）的离心率为，F是椭圆 E 的右a b 2焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．（1）求 E 的方程；（2）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△ OPQ的面积最大时，求l的方程．S1，S2 分别为△ A 1SA2，2（2018·广西初赛改编 ）已知椭圆 C ：x＋ y 2＝1，设不过原点 O 的直线 l 与椭圆 C 交于 4两点 P ，Q ，且直线 OP ，PQ ， OQ 的斜率成等比数列 ，求△ OPQ 面积的取值范围．22 （2018·南通泰州一模 ）如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 x 2＋y 2＝1（a >b >0） ab 的离心率为 22， 两条准线之间的距离为 4 2.（1）求椭圆的标准方程；2 2 8（2）已知椭圆的左顶点为 A ， 点 M 在圆 x 2＋y 2＝9上，直线 AM 与椭圆相交于另一点 B ，且△ AOB 的面积是△ AOM 的面积的 2 倍， 求直线 AB 的方程．22答案： （1）x 4 ＋ y 2＝ 1；（2）y ＝x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.解析： （1）设椭圆的焦距为 2c ，由题意得 ，c ＝ 2，2a ＝4 2，2分 a 2 c 22解得 a ＝2， c ＝ 2，所以 b ＝ 2，所以椭圆的标准方程为 x4＋y 2＝1.4 分（2）解法 1：因为 S △AOB ＝ 2S △AOM ，所以 AB ＝2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分 22因为椭圆的方程为 x 4 ＋ y2 ＝ 1，所以 A （ －2，0）．设 M （x 0，y 0），则 B （2x 0＋2，2y 0），22所以 x 02＋y 02＝89，①（2x04＋2） ＋（2y 20）＝1，②10 分2 2 8 由①② ，得 9x 02－18x 0－16＝0，解得 x 0＝－ 3或 x 0＝3（舍去 ）．3322把 x 0＝－ 23代入① ，得 y 0＝±32，12 分所以 k AB ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝±21（x ＋2），即 x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14 分解法 2：因为 S △AOB ＝2S △AOM ，所以 AB ＝ 2AM ，所以点 M 为 AB 的中点.6分22x 42＋y 22＝1，设直线 AB 的方程为 y ＝k （x ＋ 2），由 4 2y ＝k （x ＋2），得（1＋2k 2）x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，即 （7k 2＋2）（4k 2－1）＝0，解得 k ＝±12， 因此 ，直线 AB 的方程为 y ＝ ±21（x ＋ 2）， 即 x ＋2y ＋2＝0，x －2y ＋2＝0.14 分例题2答案： （1）x 2＋ y 2＝ 1；所以 （x ＋2）［（1＋2k 2）x ＋4k 2－2］＝0， 解得 x B ＝12＋－24k k2，8分B1＋ 2k 2 所以 x M ＝x B ＋（－ 2） －4k 22，1＋2k 210 分 2k y M ＝k （xM ＋2）＝1＋2k2，化简得 28k 4＋ k 2－2＝0，2 2 8 代入 x ＋y ＝ 9， －4k 2 21＋ 2k 2 ＋2k 2 81＋ 2k2 ＝9，12 分（2）S ∈ 32， 22.解析： （1）由题设知 e ＝ 22， a 2＝2c 2＝b 2＋c 2， 即 a 2＝2b 2，将 1，－ 22 代入椭圆 C 的 2方程得到 12＋ 12＝1，则 b 2＝ 1，a 2＝ 2，所以椭圆 C ：x ＋y 2＝1. 2b 2b 2（2）当直线 OA ，OB 分别与坐标轴重合时 ，易知△ AOB 的面积 S ＝ 22.当直线 OA ，OB 1的斜率均存在且不为零时 ，设 OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－ k x.设 A （x 1， y 1） ，B （x 2， y 2），将 y ＝22kx 代入椭圆 C 得到 x 2＋2k 2x 2＝2， 所以 x 12＝ 2k 22＋ 1， y 12＝ 2k 22k ＋ 1，同理 x 22＝22＋k k 2，y 222＋2k 2，△ AOB 的面积 S ＝OA ·2OB2＋ k2k 2＋1）2（ 2k 2＋ 1）（ k 2＋2）. 令 t ＝k 2＋1∈ [1， ＋∞），变式联想变式 1答案： 2.解析：①当直线 AB 的斜率不存在时 ，不妨取 A 1， 22， B 1， 2，－2 ，－1，－22. 则C此时 S △ABC ＝21×2× 2＝ 2；②当直线 AB 的斜率存在时 ，设直线 AB 方程为 y ＝ k （x －1）， 联立y x ＝2＋k 2（y 2x ＝－21.），化简得 （2k 2＋1）x 2－4k 2x ＋ 2k 2－2＝0，设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有 Δ＝ 16k 4－4（2k 2＋ 1）（2k 2－2）＝8（1＋ k 2），x 1，2＝2（4k 1＋±2k Δ2） ，∈23， 22 .所以 AB ＝ （1＋k 2）·2|x 1－x2|＝ 1＋k 2·（1＋2k 2）＝2 211＋ 2kk 2.（弦长公式 ） 另一方面点 O 到直线 y ＝k （x － 1）的距离 d＝ |2k| ，k 2＋1因为 O 是线段 AC 的中点 ，所以点 C 到直线 AB 的距离为 2d ＝ 2|2k| ， k 2＋12|k|k 2（k 2＋ 1）k 2＋1＝2 2（2k 2＋1）2＝4（ 2k2＋ 1） 2< 2.综上 ，△ABC 面积的最大值为 2. 说明： O 为 AC 中点，所以△ ABC 的面积是△ OAB 面积的两倍 ，而△ OAB 的面积可1以用公式 S △OAB ＝ 2OF ·|y 1－ y 2|得出 ，所以 S△ABC＝ 2S △OAB ＝|y 1－y 2|＝|k| |x ·1－x 2|＝2 2 k （（2kk2＋＋11））2.这样计算可以简洁一些．变式 2 答案： （1）2； （2）6 3.22解析：（1）设 P （x 0，y 0），OP ＝ λ，由题意知 Q （－ λx 0，－ λy 0），因为 4 ＋ y 0 ＝ 1，又16＝1，所以 λ＝2，即O O Q P ＝2.22（2）设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．将 y ＝kx ＋ m 代入椭圆 E 的方程 ，可得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0. 由 Δ>0， 可得1的面积 S ＝2|m| ·|x 1－ x2|2 16k 2＋ 4－ m 2|m| 1＋4k 2 2 （16k 2＋4－m 2） ·m 21＋4k 2m 2<4＋16k 2①28km4m － 16则有 x 1＋ x 2＝－ ， x 1x 2＝ 2 .所以1＋4k 2 1＋4k 4 16k 2＋ 4－ m 2|x 1－ x 2|＝ 1＋4k 2.因为直线 y ＝kx ＋m 与 y 轴交点的坐标为 （0，m ），所以△ 4－1＋m 4k 2 ·1＋m 4k 2.令1＋m 4k 2＝ t ，将 y ＝kx ＋m 代入椭圆 C 的方程可得 （1＋ 2. 11 ∴S △ABC ＝21AB ·2d ＝121＋k 2·1＋ 2k 2 ·22 2 2 2 24k 2）x2＋8kmx ＋ 4m 2－4＝0.由 Δ≥ 0，可得 m 2≤1＋ 4k 2.② 由①②可知 0< t ≤ 1. 因此 S ＝ 2 （ 4－ t ） t ＝2 －t 2＋2t ，故 S ≤2 3.当且仅当 t ＝1，即 m 2＝1＋4k 2时取得最大值 2 3.由①知 ，△ABQ 的面积为 3S ， 所以△ ABQ 面积的最大值为 6 3.串讲激活串讲 1 答案： 43.3解析：设S （2 2，t ），则 t ≠0，直线 SA 1：y ＝ t （x ＋ 2），直线SA 2：1S 1＝12SA 1·SA 2·sin ∠S ＝SA 1·SA 2S2＝21SM ·SN ·sin ∠S ＝SM ·SN|x |S x －－xA x1||||x x S －－x x A |2|，这样运算就简单了．|x S － x M ||x S － x N |还有，用直线 SA 1的方程求点 M 坐标时 ，要注意方程组一定有一个解 x A1，所以，也 可以用韦达定理求出 x M .串讲 2y ＝ t 2（x － 2）．2 x2＋y2＝1，2 t 2 2由 t 得 x 2＋ t 9（x ＋ 2）2＝ 2， 解得x 1＝y ＝3t 2（x ＋ 2）， 9－ 2，x 2＝－ 22t 2＋9 2，即 x M ＝－ 2t 2＋9 2x 2＝ t 2＋92 x2＋ y 2＝ 1， 同理 ， 由 2y ＝ t 2（ x － 2） ，t 2＋9 可得 x N ＝ 2t－ 2t 2＋ 1 .所以|2 2＋ 2| |·2 2－ 2|2 2＋2t t 22＋－ 99 22 2－2t 2－ 2t 2＋1t 2＋ 9）（ t 2＋1） ＝ 1 ＋t 2＋3）22t 4＋46tt 2＋9＝ 1 ＋t 2＋t 92＋6≤1＋ 4＝4， 1＋12＝3，等号当且仅当 t 2＝ 3， 即t ＝ ± 3时成立． 所以， 当 S （2 2 ， ± 3）时， S S1的最大值为 4. 3.说明： 1本题用三角形面积公式 S 1＝12SA 1· SA 2· sin ∠S ，最后得到 S1 S 2cos α ）2＝ 2，所以 sin α－sin β＝sin α＋cos α＝±27.②同理 ，当 α－β＝2k π－π2（k ∈Z ）时， sin α － sin β ＝±27，所以 k PQ ＝ ±27.（以下同解法 1）新题在线答案： （0， 1）．答案：x27 7(1)x 4 ＋ y2＝ 1； (2)y ＝ 27x －2或y ＝－ 27x －2.解析： （1）设 F （c ，0），由条件知 2＝2 3，得 c ＝ 3，又c ＝ 3，所以 a ＝2， b 2＝a 2－c 2c 3 a 22（2）解法 1：依题意 ，当 l ⊥x 轴不合题意 ， 故设直线 l ：y ＝kx －2，设 P （x 1，y 1），Q （x 2， 2y 2），将 y ＝kx －2 代入x 4 ＋y 2＝1，得（1＋4k 2）x 2－16kx ＋12＝0，当 Δ＝ 16（4k 2－ 3）> 0，即k 2>3时，x 1，2＝48k ±2 4k － 3 2 4 k ＋1· 4k － 3 8k ±2 4k ，从而 PQ ＝ k 2＋1|x 1－x 2|＝4 k 2 ，又点 O 到直线 PQ 的距1＋4k 2 1＋ 4k 2 离 d ＝ k 22＋ 1，1 4 4k －32 所以△ OPQ 的面积 S △OPQ ＝21d ·PQ ＝41＋4k 4k 23，设 4k 2－3＝t ，则 t >0，S4t△OPQ ＝t 2＋444≤ 1，当且仅当 t ＝2，k ＝±27时等号成立 ，且满足 t＋4t2Δ>0， 所以当△ OPQ的面积最大时 ，l 的方程为 y ＝ 27x －2 或 y ＝－ 27x － 2.解法 2 由题意知直线 l 的斜率必存在．则 S △ OPQ ＝12 OP2· OQ 2－（ O →P ·O →Q ）2，设 P （2 cos α ， sin α ），Q （2cos β ，sin β )．所以 S △OPQ ＝1 2·2·|sin （ α－β≤）| 1，当 sin （ α－ β＝）±1 时，等号成立． 此时 α＋π2或 α－β＝2k π－π2 (k∈ Z) ．又 P(2cos α ，Q(2cos β，sin β)与 A(0， － 2)共线 ，则s 2in c βos ＋β2＝s 2in c αos＋α2sin(α－β)＝2(cos α－cos2cos β 2cos αβ)＝±11 sin α－ sin βcos α－cos β＝±2.又 k PQ ＝2(cos α－cos β)±(sin α－sin β)．①若 α－β＝ 2kππ＋ 2 (k ∈Z)， 则 sin α ＝ sin 2k π ＋ ＋cos β， 同理 cos α ＝－ sin β .所以 sin α － sinβ＝ sin α＋ cos α .因为 cos α －cos β＝21得到 cos α － sin α ＝2.且(sin α＋ cos α 2) ＋ (sin α － ＝1，故 E 的方程为 x ＋ y 2＝ 1.4解析： 由题意 ， 直线 l 的斜率存在且不为 0，故设 l ： y ＝kx ＋ m （m ≠ 0）． 设 P （x 1， y 1）， Q （x 2， y 2），则 x 1≠x 2，且 x 1· x 2≠0. y ＝kx ＋ m ，2 2 2联立 2 2 消去 y 得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4（m 2－1）＝0.x ＋ 4y ＝ 4.4（m2－1）1＋4k 2因为直线 OP ， PQ ， OQ 的斜率成等比数列所以y x 11·y x 22＝ （kx1＋m ）x （x kx2＋m ）＝k 2，得－18＋k24m k 22＋m 2＝0. x 1x 2 1＋4k 2因为 m ≠0，所以 k 2＝ 1，所以 k ＝±1.42 因为 Δ>0，且 x 1·x 2≠0，所以 0<m 2<2 且 m 2≠ 1. 设点O 到直线l 的距离为 d ，则d ＝ |m|2，1＋k 2所以 S △OPQ＝ 12·d ·PQ ＝21d · 1＋k 2|x 1－x 2|＝ m 2（2－m 2）＝ －（ m 2－ 1） 2＋ 1.所以△ OPQ 面积的取值范围是 （0，1）．说明：命题人用直线 OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列 ，是为了告知直线 PQ 斜率为±12.2变式 1在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 E ：x 2＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端 点的任一点 ，F 为椭圆的右焦点 ，直线 AF 与椭圆交于 B 点，直线 AO 与椭圆交于 C 点，求 △ABC 面积的最大值．Δ＝64k 2m 2－16（1＋4k 2）（m 2－1）＝16（4k 2－ m 2＋1）>0，且 x 1＋x 2＝ － 8km 2， 1＋4k 2x 1x 2＝。