1.如图,已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .(1)求A 、B 、C 三点的坐标;(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积;(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥x 轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似.若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由. 解:(1)令0y =,得210x -= 解得1x =±令0x =,得1y =-∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分 (2)∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45 ∵A P ∥CB , ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ,则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ,则P E =1a + ∴P (,1)a a +∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =,21a =-(不合题意,舍去)∴P E =3……………………………………………………………………………5分∴四边形ACB P 的面积S=12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分(3). 假设存在∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G , ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中,O A =O C =1 ∴AC =2在Rt △P AE 中,AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分设M 点的横坐标为m ,则M 2(,1)m m -①点M 在y 轴左侧时,则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时,有AG PA =MGCA∵A G=1m --,MG=21m -即2322=解得11m =-(舍去) 23m =(舍去)………9分 GMC ByPAox(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即 2232=解得:1m =-(舍去) 22m =-∴M (2,3)- ………………………………………………………………………10分② 点M 在y 轴右侧时,则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +,MG=21m -∴ 2322=解得11m =-(舍去) 243m =∴M 47(,)39………………………11分(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即2232=解得:11m =-(舍去) 24m =∴M (4,15) ………………………………12分∴存在点M ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似M 点的坐标为(2,3)-,47(,)39,(4,15)…………………………………13分2.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1,OC =4,抛物线2y x bx c =++经过A ,B 两点,抛物线的顶点为D .(1)求b ,c 的值;(2)点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外),过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ,当线段EF 的长度最大时,求点E 的坐标;(3)在(2)的条件下:①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积;②在抛物线上是否存在一点P ,使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在,求出所有点P 的坐标;若不存在,说明理由.G MC ByP Aox解:(1)由已知得:A (-1,0) B (4,5)…………………1分∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A (-1,0)B(4,5)∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩…………………………………………………2分解得:b=-2 c=-3…………………………………………………3分 (2)如26题图:∵直线AB 经过点A (-1,0) B(4,5)∴直线AB 的解析式为:y=x+1……………………………………4分 ∵二次函数223y x x =--∴设点E(t , t+1),则F (t ,223t t --)………………………5分 ∴EF= 2(1)(23)t t t +---………………………………………6分 =2325()24t --+∴当32t =时,EF 的最大值=254∴点E 的坐标为(32,52)………………………………7分(3)①如26题图:顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形EBFD.可求出点F 的坐标(32,154-),点D 的坐标为(1,-4) S EBFD 四边行 = S BEF+ SDEF=12531253(4)(1)242242⨯-+⨯- =758………………………………………………10分②如26题备用图:ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,223m m --)则有:25232m m --=解得:1226m =-,2226m +=∴12265(,)2p -, 22265(,)22p + ⅱ)过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ,设3P (n ,223n n --)则有:215423n n --=- 解得:112n = ,232n =(与点F 重合,舍去)∴3P 11524(,-) 综上所述:所有点P 的坐标:12265(,)22p -,22265(,)2p +3P (11524(,-). 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形.…………………………………… 13分26题备用图3.如图,已知二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点P ,顶点为C (1,-2).(1)求此函数的关系式;(2)作点C 关于x 轴的对称点D ,顺次连接A 、C 、B 、D.若在抛物线上存在点E ,使直线PE 将四边形ABCD 分成面积相等的两个四边形,求点E 的坐标;(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得△PEF 是以P 为直角顶点的直角三角形?若存在,求出点F 的坐标及△PEF 的面积;若不存在,请说明理由. (1)∵c bx x y ++=2的顶点为C (1,-2),∴2)1(2--=x y ,122--=x x y . ……………2分(2)设直线PE 对应的函数关系式为b kx y += 由题意,四边形ACBD 是菱形.故直线PE 必过菱形ACBD 的对称中心M . ………3分由P (0,-1),M (1,0),得⎩⎨⎧=+-=01b k b .从而1-=x y , …5分设E (x ,1-x ),代入122--=x x y ,得1212--=-x x x .解之得01=x ,32=x ,根据题意,得点E (3,2) …………………………………7分 (3)假设存在这样的点F ,可设F (x ,122--x x ).…………………………………8分过点F 作FG ⊥y 轴,垂足为点G .在Rt △POM 和Rt △FGP 中,∵∠OMP +∠OPM =90°,∠FPG +∠OPM =90°,∴∠OMP =∠FPG ,又∠POM =∠PGF ,∴△POM ∽△FGP . ……………………………………9分∴GFGP OP OM =.又OM =1,OP =1,∴GP =GF ,即x x x =----)12(12. 解得01=x ,12=x ,根据题意,得F (1,-2).故点F (1,-2)即为所求. 322211221=⨯⨯+⨯⨯=+=MFE MFP PEF S S S △△△.4如图,已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-,且与y 轴交于点C ()3,0,与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的右侧),点P 是该抛物线上一动点,从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合),过点P 作PD ∥y 轴,交AC 于点D .(1)求该抛物线的函数关系式;(2)当△ADP 是直角三角形时,求点P 的坐标;(3)在问题(2)的结论下,若点E 在x 轴上,点F 在抛物线上,问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形?若存在,求点F 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵抛物线的顶点为Q (2,-1)∴设()122--=x a y将C (0,3)代入上式,得()12032--=a1=a ∴()122--=x y , 即342+-=x x y …(3分)(2)分两种情况:①当点P 1为直角顶点时,点P 1与点B 重合(如图) 令y =0, 得0342=+-x x解之得11=x , 32=x∵点A 在点B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P 1(1,0) (5分)②解:当点A 为△APD 2的直角顶点是(如图) ∵OA=OC, ∠AOC=90, ∴∠OAD 2=45当∠D 2AP 2=90时, ∠OAP 2=45, ∴AO 平分∠D 2AP 2 又∵P 2D 2∥y 轴, ∴P 2D 2⊥AO, ∴P 2、D 2关于x 轴对称设直线AC 的函数关系式为b kx y += 将A(3,0), C(0,3)代入上式得⎩⎨⎧=+=bbk 330, ∴⎩⎨⎧=-=31b k ∴3+-=x y ……………(7分) ∵D 2在3+-=x y 上, P 2在342+-=x x y 上,∴设D 2(x ,3+-x ), P 2(x ,342+-x x )∴(3+-x )+(342+-x x )=00652=+-x x , ∴21=x , 32=x (舍)∴当x =2时, 342+-=x x y =32422+⨯-=-1 ∴P 2的坐标为P 2(2,-1)(即为抛物线顶点)∴P 点坐标为P 1(1,0), P 2(2,-1) …………………………………………………(9分) (3)解: 由题(2)知,当点P 的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形……………………(10分)当点P 的坐标为P 2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交x 轴于点E,交抛物线于点F. 当AP=FE 时,四边形PAFE 是平行四边形 ∵P(2,-1), ∴可令F(x ,1)∴1342=+-x x解之得: 221-=x , 222+=x ∴F 点有两点,即F 1(22-,1), F 2(22+,1) ……………(13分)。