存在，则称
此极限为函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 x的
偏导数，记为
z x
， f xx0 x
y y0
xx0 ， zx
y y0
xx0 或
y y0
f x ( x0 , y0 ).
f x
lim
xx0 x0
f ( x0 x, y0 ) x
f ( x0 , y0 ) .
y y0
导数
z x
、
z y
必存在，且函数
z
f (x, y)
在点(x, y)的全微分为
dz
z x
x
z y
y.
dz
( x, y) 可微分， Ax By 称为函数 z f ( x, y) 在点( x, y)的全微分，记为dz ，即
dz Ax By.
函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分.
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)可微分, 则函数在该 点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 x 求导数即可。
求
f y
时， 只要把 y
之外的其他自变量暂时看成
常量，对 y 求导数即可。
其它情况类似。
例 求 z x2 3xy y2在点(1, 2)处的偏导数．
解
z x
2x 3 y;
z y
3x2y.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
z x
x1 21 32 8,
偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、 y的函数，
它就称为函数z f (x, y)对自变量 x的偏导数，记作
z x
，
f x
，
z
x
或
fx(x, y).
同理可定义函数z f ( x, y)对自变量 y的偏导数，记作
z y
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
二元函数 对 x和对 y的偏增量
二元函数 对 x和对 y的偏微分
全增量的概念
如果函数z f (x, y)在点(x, y)的某邻域内有定义， 设 P( x x, y y)为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差 f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全增量， 记为z，即
0
lim f ( x x, y y)
x0
y0
lim [ f ( x, y) z]
0
f (x, y)
故函数 z f ( x, y) 在点 ( x, y) 处连续.
二、可微的条件
定理 1（可微分必要条件） 如果函数z f ( x, y)在
点(x, y)可微分，则该函数在点(x, y)的偏
同理可定义函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )处对 y的偏导
数为
lim
y0
f ( x0 , y0 y) y
f
( x0 , y0 )
记为
z y
， f xx0 y
y y0
xx0 ， z yy y0xx0 或来自f y ( x0 , y0 ).
y y0
如果函数z f (x, y)在区域 D内任一点(x, y)处对 x的
x2 y2 0, ,
x2 y2 0.
依定义知在(0, 0)处， f x (0, 0) f y (0, 0) 0.
但函数在该点处并不连续.
偏导数存在
连续.
偏导数的几何意义
设 M0( x0, y0, f ( x0, y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点,
如图
z f ( x0, y)
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
lim
z0
f
( x, y,zz) z
f
(x, y,z) .
由偏导数的定义可知，偏导数本质上是一元函数的 微分法问题。
求
f x
时， 只要把 x
定理 如果函数z f (x, y)的两个二阶混合偏导数
2z yx
及
2z xy
在区域
D 内连续，那末在该
区域内这两个二阶混合偏导数必相等．
2u x 2
x2
x
y2
x
(x2 y2) x 2x ( x2 y2 )2
y2 x2 ( x2 y2 )2
,
2u y2
x2
y
y2
y
(x2 y2) y ( x2 y2 )2
z f ( x x, y y) f ( x, y).
全微分的定义
如果函数z f (x, y)在点(x, y)的全增量 z f ( x x, y y) f ( x, y)
可以表示为 z Ax By o( )，
其中 A, B不依赖于x、y而仅与 x、y有关，
(x)2 (y)2 ，则称函数 z f ( x, y) 在点
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 )就是曲面被平面 x x0所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Ty对 y轴的斜率.
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
y2
z y
x1 31 22 7.
y2
例 2 求 z x2sin2 y的偏导数．
解
z x
2
xsin 2
y;
z y
2
x
2
cos2
y
.
把 y 看成常量 把 x 看成常量
偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导
连续。
多元函数中在某点偏导数存在
连续。
例如，函数
f
( x,
y)
xy x2 y2
,
0,
2y
x2 y2 ( x2 y2 )2
.
于是，
2u x 2
2u y2
y2 x2 ( x2 y2 )2
x2 y2 ( x2 y2)2
0.
全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x, y) f ( x, y) f x ( x, y)x
f ( x, y y) f ( x, y) f y ( x, y)y
偏导数的定义及其计算法
定义
设函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )的某一邻域内有
定义，当 y固定在 y0而 x在 x0处有增量x时，
相应地函数有增量
函数对 x 的偏增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim
x0
f
( x0 x, y0 ) x
f
( x0 , y0 )