1 圆的第二定义——阿波罗尼斯圆

一、问题背景

苏教版《数学必修2》P112第12题：

已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线．

二、阿波罗尼斯圆

公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：

到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．

如图，点A，B为两定点，动点P满足PA＝λPB.

则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆．

证：设AB＝2m(m＞0)，PA＝λPB，以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－m,0)，B(m,0)．

又设P(x，y)，则由PA＝λPB得x＋m2＋y2＝λx－m2＋y2，

两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．

当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；

当λ＞1时，x－λ2＋1λ2－1m2＋y2＝4λ2m2λ2－12，轨迹为以点λ2＋1λ2－1m，0为圆心，2λmλ2－1为半径的圆．

上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．

三、阿波罗尼斯圆的性质

1．满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比λ内分AB和外分AB所得的两个分点．

2．直线CM平分∠ACB，直线CN平分∠ACB的外角． 2 3.AMBM＝ANBN.

4．CM⊥CN.

5．当λ＞1时，点B在圆O内；

当0＜λ＜1时，点A在圆O内．

6．若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B.

7．若过点B做圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分∠EAF.

四、范例欣赏

例1 设A(－c,0)，B(c,0)(c＞0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a＞0)，求P点的轨迹．

解 设动点P的坐标为(x，y)，

由PAPB＝a(a＞0)，得x＋c2＋y2x－c2＋y2＝a.

化简得(1－a2)x2＋2c(1＋a2)x＋c2(1－a2)＋(1－a2)y2＝0.

当a≠1时，得x2＋2c1＋a21－a2x＋c2＋y2＝0，整理得x－1＋a2a2－1c2＋y2＝2aca2－12.

当a＝1时，化简得x＝0.

所以当a≠1时，P点的轨迹是以a2＋1a2－1c，0为圆心，

2aca2－1为半径的圆；

当a＝1时，P点的轨迹为y轴．

例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O2＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PM＝2PN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．

3 解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，

则O1(－2,0)，O2(2,0)，

由已知PM＝2PN，得PM2＝2PN2，

因为两圆的半径均为1，

所以PO21－1＝2(PO22－1)，

设P(x，y)，则(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]．

即(x－6)2＋y2＝33，

所以所求轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.

例3 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

解 (1)联立 y＝x－1，y＝2x－4，得圆心为C(3,2)．

切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.

d＝|3k＋3－2|1＋k2＝r＝1，

得k＝0或k＝－34.

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

(2)设点M(x，y)，由MA＝2MO，知

x2＋y－32＝2x2＋y2，

化简得x2＋(y＋1)2＝4.

即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.

又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切． 4 故1≤CD≤3，其中CD＝a2＋2a－32.

解得0≤a≤125.

例4 在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数12？如果存在，求出点A，B坐标；如果不存在，请说明理由．

解 假设在x轴正半轴上存在两个定点A，B，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数12，设P(x，y)，A(x1,0)，B(x2,0)，其中x2＞x1＞0.

即x－x12＋y2x－x22＋y2＝12对满足x2＋y2＝4的任何实数对(x，y)恒成立，

整理得，2x(4x1－x2)＋x22－4x21＝3(x2＋y2)，将x2＋y2＝4代入得，

2x(4x1－x2)＋x22－4x21＝12，这个式子对任意x∈[－2,2]恒成立，

所以一定有 4x1－x2＝0，x22－4x21＝12，因为x2＞x1＞0，

所以解得x1＝1，x2＝4.

所以在x轴正半轴上存在两个定点A(1,0)，B(4,0)，使得圆x2＋y2＝4上任意一点到A，B两点的距离之比为常数12.

五、跟踪演练

1．满足条件AB＝2，AC＝2BC的△ABC的面积的最大值是________．

答案 22

解析 以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，

由AC＝2BC，得x＋12＋y2＝2·x－12＋y2.

平方化简整理得y2＝－x2＋6x－1＝－(x－3)2＋8≤8.

∴|y|≤22，则

S△ABC＝12×2|y|≤22，∴S△ABC的最大值是22.

2．在△ABC中，边BC的中点为D，若AB＝2，BC＝2AD，则△ABC的面积的最大值是________．

答案 42

解析 以AB中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，

由BD＝CD，BC＝2AD知，AD＝2BD，D的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为(x－3)2＋y2＝8，设C(x，y)， 5 得Dx＋12，y2，所以点C的轨迹方程为x＋12－32＋y22＝8，即(x－5)2＋y2＝32.

所以S△ABC＝12×2|y|＝|y|≤32＝42，故S△ABC的最大值是42.

3．在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，使得PA＝2PB，PC＝PD，则实数a的取值范围是________．

答案 [－22－1,22－1]

解析 设P(x，y)，则x－12＋y2＝2·x－32＋y2，

整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5,0)为圆心，22为半径的圆上运动．

另一方面，由PC＝PD知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．

所以|a＋1|≤22，

故实数a的取值范围是[－22－1，22－1]．

4.如图，在等腰△ABC中，已知AB＝AC，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于________．

答案 4π

解析 因为AB＝2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0)．

设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4－x，－y)，所以C的轨迹方程为(4－x－3)2＋(－y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，所求的面积为4π.

5．如图，已知平面α⊥平面β，A，B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，AD＝4，BC＝8，AB＝6，在平面α上有一个动点P，使得∠APD＝∠BPC，求△PAB的面积的最大值．

解 ∵DA⊥α，PA⊂α，

∴DA⊥PA，

∴在Rt△PAD中，tan∠APD＝ADAP＝4AP，

同理tan∠BPC＝BCBP＝8BP. 6 ∵∠APD＝∠BPC，

∴BP＝2AP.

在平面α上以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(－3,0)，B(3,0)，

设P(x，y)，则有x－32＋y2＝2x＋32＋y2(y≠0)．

化简得(x＋5)2＋y2＝16，

∴y2＝16－(x＋5)2≤16.

∴|y|≤4.

△PAB的面积为S△PAB＝12|y|·AB＝3|y|≤12，当且仅当x＝－5，y＝±4时取得等号，则△PAB的面积的最大值是12.

6．已知⊙O：x2＋y2＝1和点M(4,2)．

(1)过点M向⊙O引切线l，求直线l的方程；

(2)求以点M为圆心，且被直线y＝2x－1截得的弦长为4的⊙M的方程；

(3)设P为(2)中⊙M上任一点，过点P向⊙O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由．

解 (1)直线l的斜率存在，

设切线l方程为y－2＝k(x－4)，

易得|4k－2|k2＋1＝1，解得k＝8±1915.

∴切线l的方程为y－2＝8±1915(x－4)．

(2)圆心到直线y＝2x－1的距离为5，设圆的半径为r，则r2＝22＋(5)2＝9，

∴⊙M的方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9.

(3)假设存在这样的点R(a，b)，点P的坐标为(x，y)，相应的定值为λ.

根据题意可得PQ＝x2＋y2－1，

∴x2＋y2－1x－a2＋y－b2＝λ，

即x2＋y2－1＝λ2(x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2)．(*)

又点P在圆M上，∴(x－4)2＋(y－2)2＝9，即x2＋y2＝8x＋4y－11，代入(*)式得

8x＋4y－12＝λ2[(8－2a)x＋(4－2b)y＋(a2＋b2－11)]，

若系数对应相等，则等式恒成立，